28-ma’ruza. I va II tur sirt intеgrallari. Sirt intеgrallarining tatbiqlari

2. II tur sirt intеgrali

Uch oʻlchovli fazoda L kontur bilan chegaralangan S silliq sirt berilgan boʻlsin. Uning hаr bir nuqtаsidаn shu sirtga normal oʻtkazamiz va mumkin boʻlgan yoʻnalishdan birini olamiz. Agar sirtning ixtiyoriy nuqtasidan oʻtuvchi va L chegara bilan kesishmaydigan har qanday yopiq kontur olinganda ham, dan chiqib uni aylanib ga qaytilganda normalning yoʻnalishi dastlabki yoʻnalishda qolsa, u holda S sirt ikki tomonli sirt deyiladi. Aks holda bir tomonli sirt deyiladi. Demak, ikki tomonli sirtning bitta nuqtasida normal yoʻnalishni tanlash bilan biz sirtnig barcha nuqtalaridagi yoʻnalishni tanlagan boʻlamiz. S silliq sirt tenglamasi oshkor funksiya bilan berilgan, ya’ni funksiya Oxy tekislikning D sohasida uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega boʻlsin. Bu holda normalning yoʻnaltiruvchi kosinuslari

formulalar yordamida topiladi.
Ildizlar oldida ma’lum bir ishorani tanlab olish bilan biz sirtning aniq bir tomonini tanlab olgan boʻlamiz. Agar normal Oz oʻqi bilan oʻtkir burchak hosil qilsa, ya’ni boʻlsa, S sirtning “yuqori” tomonini tanlab olgan boʻlamiz. Aksincha, , oʻtmas burchak boʻlsa, S sirtning “quyi” tomonini tanlagan boʻlamiz.
S silliq sirt tenglamasi oshkormas tenglama bilan berilgan boʻlsin. Bunda funksiya V sohada uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega boʻlsin. Bu holda normalning yoʻnaltiruvchi kosinuslari

formulalar yordamida topiladi.
Ikki tomonli silliq yoki boʻlakli silliq sirt berilgan boʻlib, uning tomonidan biri tanlangan, ya’ni sirtning “yuqori” - musbat tomoni tanlangan boʻlsin. Bu sirtning har bir nuqtasida uzluksiz funksiya aniqlangan boʻlsin. Sirtni ixtiyoriy chiziqlar bilan n ta ixtiyoriy boʻlaklarga boʻlamiz. Bu boʻlaklardan ixtiyoriy nuqtalar tanlaymiz va bu nuqtalardagi funksiya qiymati ni hisoblaymiz. Sirtning boʻlaklarining Oxy tekislikdagi proyeksiyalarini deb belgilaymiz va

integral yigʻindi tuzamiz. Bu integral yigʻindining dagi chekli limitiga ikkinchi tur sirt integral deyiladi va quyidagicha belgilanadi
(28.9)
Xuddi shu kabi va integrallarni ta’riflash mumkin, bu yerda soha mos ravishda Oxz va Oyz tekisliklarga proyeksiyalanadi.
Agar silliq yoki boʻlakli silliq S sirt tenglamasi oshkor funksiya bilan berilgan boʻlsa va sirtning yuqori( ya’ni ) tomoni tanlangan boʻlsa, hamda funksiya S da uzluksiz funksiya boʻlsa, u holda
(28.10)
tenglik oʻrinli. Bu yerda - S sirtning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi. Oʻng tomondagi ikki karrali integral mavjud boʻlsa, ikkinchi tur sirt integrali ham mavjud boʻladi. Agar S sirtning quyi(ya’ni ) tomoni boʻyicha integral hisoblansa,
(28.11)
formula oʻrinli boʻladi. Xuddi shu kabi, S sirt tenglamasi yoki tenlamalar bilan berilsa, mos ravishda quyidagi tengliklar oʻrinli:
(28.12)
. (28.13)
Bu yerdagi “+” ishora (mos holda ) boʻlganda, “-” ishora esa (mos holda ) boʻlganda olinadi.
Umumiy II tur sirt integrali deb quyidagi integralga aytiladi:
(28.14)
Uchta , , uzluksiz funksiyalar va normal bilan xarakterlanuvchi silliq sirtning tomoni boʻlsa, u holda ikkinchi tur sirt integral birinchi tur sirt integral orqali quyidagi formula bilan ifodalanadi:
. (28.15)