Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

1.2 Sath sirtlari
Skalyar maydonlarning xossalarini sath sirtlari yoki sath chiziqlari yordamida o‘rganish mumkin, ular shu maydonlarning geometrik tasviri hisoblanadi.
Faraz qilaylik, funksiya bir qiymatli va uchala erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin.
Ta'rif 1.2.1. Skalyar maydonning sath sirti deb fazoning shunday nuqtalari to‘plamiga aytiladiki, unda maydon funksiyasi o‘zgarmas qiymatga ega bo‘ladi.
Bu sirtlar

tenglama bilan aniqlanadi.
ga turli qiymatlar berib, sath sirtlari oilasini hosil qilamiz. Bu sirtlarda skalyar funksiya o‘zgarmas bo‘lib qoladi.
1-misol: Skalyar maydon

funksiya bilan ifodalangan bo‘lsa, u holda sath sirtlari tenglamasi

Bu markazi koordinatalar boshida bo‘lib, radiusi ga teng bo’lgan sferalar oilasini aniqlaydi.

2-misol: Ushbu

skalyar maydonning sath sirtlarini toping.
Yechish: Berilgan skalyar maydonning aniqlanish sohasi

tengsizlikdan aniqlanadi. Bundan, . Demak, berilgan skalyar maydon sohada aniqlangan. Sath sirt ta’rifiga ko‘ra

Demak, maydonning sath sirtlari uchlari koordinatalar boshida bo’lgan, sirt va undan tashqaridagi konus sirtlardan, z=0 tekislikdan iborat ( nuqta kirmaydi).
3-misol: skalyar maydonning sath chizig’larini toping.
Yechish:

Agar bo’lsa, ni olarniz. Agar bo’lsa, giperbolaga o'xshab ketadi
1.3 Sath chiziqlari
Yassi skalyar maydon geometrik jihatdan sath chiziqlari yordamida tasvirlanadi.
Ta'rif 1.3.1. Skalyar maydonning sath chizig‘i deb tekislikning shunday nuqtalari to‘plamiga aytiladiki, unda maydon funksiyasi o‘zgarmas qiymatga ega bo‘ladi.
Bu chiziqlar

tenglama bilan aniqlanadi. ga turli qiymatlar berib, satx chiziqlari oilasini xosil qilamiz. Bu chiziqlarda skalyar funksiya doimiy bo‘lib qoladi.
1-Misol: Skalyar maydon funksiya bilan berilgan bo’lsa, satx chiziqlari tenglama bilan aniqlanadi. Bu giperbolalar oilasini aniqlaydi.

2-Misol: skalyar maydon funksiya bilan berilgan bo‘lsa, ular uchun sath chiziqlari tenglama bilan aniqlanadi. Bu aylanalar oilasini aniqlaydi.

Y

X

3-Misol: funksiyasi bilan berilgan skalyar maydonni nuqtadan o’tuvchi sath chizig’i tenglamasini yozing.
Yechish: , berilgan nuqtadan foydalanib, topamiz:





Bu markazi nuqtada, radiusi bo’lgan aylana.
4-Misol:

yassi skalyar maydonning sath chiziqlarini toping.
Yechish: Maydonning sath chiziqlarini tenglama orqali ifodalanadi. Chap tomondan to‘liq kvadrat ajratib tenglamaga kelamiz. Demak, sath chiziqlar shartlar uchun markazi nuqtada joylashgan konsentrik aylanalar oilasidan iborat bo’ladi.

2.