Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

4.1 Gradient ta’rifi. Yo‘nalish bo‘yicha hosila bilan gradient orasidagi bog’lanish.
skalyar tnaydon berilgan bo’lsin.
Ta’rif 4.1.1. Skalyar maydonning nuqtadagi gradienti deb, simvol bilan belgilanuvchi vektorga aytilib, uning proyeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari bajaradi, ya’ni

Gradientning proeksiyalari nuqtani tanlashga bog‘liq bo‘ladi va shu nuqtaning koordinatalari o‘zgarishi bilan o‘zgaradi. Binobarin, funksiya bilan berilgan skalyar maydonning har bir nuqtasiga ma’lum bir vektor - shu funksiyaning gradienti mos qo‘yiladi.
Sath sirtda nuqtadan o‘tuvchi ixtiyoriy biror chiziq joylashgan bo'lib uning parametrik tenglamasi

ko‘rinishda bo'lsin. Radius vektor differensiali chiziq bo'ylab cheksiz kichik siljishni aniqlaydi. Sath sirtda bo’lganligidan

Bundan kelib chiqadi. chiziqning ixtiyoriyligidan nuqtadagi gradient sath sirtga ortogonal ekanligi kelib chiqadi
Yo‘nalish bo‘yicha hosila bilan gradient orasidagi bog’lanish. Gradientning ta’rifidan foydalanib, yo‘nalish bo‘yicha hosilani ifodalovchi (4.1.1) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

bu yerda vektor yo'nalishidagi birlik vektor bo’ib u quyidagiga teng:

Demak, berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosila funksiya gradienti bilan shu yo‘nalishning birlik vektori ko‘paytmasiga teng. Skalyar ko‘paytma ta’rifidan foydalanib, (4.1.2) formulani

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bunda birlik vektor bilan gradient orasidagi burchak. bo‘lgani uchun

bo‘ladi. Dernak, biror nuqtada olingan yo‘nalish bo‘yicha hosila gradientning shu yo‘nalishdagi proyeksiyasiga teng ekan.
(4.1.3) tenglikdan yo‘nalish bo‘yicha hosila bo‘lganda, ya’ni da eng katta qiymatga erishadi. Shu bilan birga bu eng katta qiymat ga teng, ya’ni bu holda

Shunday qilib, kattalik hosilaning nuqtadagi mumkin bo‘lgan eng katta qiymati bo‘ladi, ning yo‘nalishi esa nuqtadan chiquvchi shunday nurning yo‘nalishi bilan mos tushadiki, u bo‘ylab funksiya hammasidan ko‘ra tezroq o‘zgaradi, ya’ni gradientning yo‘nalishi funksiyaning eng tez ortishidagi yo‘nalishidir. Bu yuqorida keltirilgan gradientning koordinatalar sistemasidan foydalanilgan ta’rifi o‘rniga endi boshqa koordinatalar sistemasini tanlashga bog‘liq bo‘lmagan invariant ta’rifni berishga imkon beradi.
Ta’rif 4.1.2. skalyar maydonning gradienti deb, bu maydon o‘zgarishining eng katta tezligini ifodalovchi vektorga aytiladi.
Agar bo‘lsa, u holda yo‘nalish bo‘yicha hosila ga teng eng kichik qiymat bo‘ladi. Bu yo‘nalishda (qarama-qarshi yo‘nalishda) funksiya hammasidan tezroq kamayadi.
Agar bo‘lsa, yo‘nalish bo‘yicha hosila nolga teng.
Endi skalyar maydonning gradienti yo‘nalishi bilan sath sirtlari orasidagi bog‘lanishni o‘rganamiz.
4.2 Sirtga o’tkazilgan normal tenglamasi
Sirtga normal tenglamasini keltirishdan oldin sirtning maxsus va oddiy nuqtalari bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik sirt tenglamasi oshkor bo’lmagan

ko'rinishidagi tenglama bilan berilgan bo'lsin.
Agar sirtdagi nuqtada xususiy hosilalarning uchalasi nolga teng bo'lsa yoki ulardan birortasi mavjud bo'lmasa, nuqta sirtning maxsus nuqtasi deb aytiladi
Agar sirtdagi nuqtada xususiy hosilalarning uchalasi mavjud va uzluksiz bo'lib, ulardan bittasi noldan farqli bo'lsa, nuqta sirtning oddiy nuqtasi deb aytiladi.



funksiya bilan berilgan sirtning nuqtasiga
o‘tkazilgan normal

tenglama bilan aniqlanadi.
funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining yo‘nalishi shu nuqtadan o‘tuvchi skalyar maydonning sath tekisligiga o‘tkazilgan normalning yo‘nalishi bilan mos tushishini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy nuqtani tanlab olamiz. Bu nuqtadan o‘tuvchi sath sirti tenglamasi

ko‘rinishda yoziladi, bu yerda .
nuqtadan shu tekislikka o‘tkazilgan normalning tenglamasini tuzamiz:

Bundan,

proeksiyalarga ega bo‘lgan normalning yo‘naltiruvchi vektori funksiyaning nuqtadagi gradienti bo‘ladi.
Shunday qilib, har bir nuqtadagi gradient berilgan nuqtadan o‘tuvchi sath sirtiga o‘tkazilgan urinma tekislikka perpindikulyar bo‘ladi, ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. Demak berilgan nuqtadan o‘tuvchi sath sirtiga urinma bo‘lgan istalgan yo‘nalish bo‘yicha hosila nolga teng.
4.3 Gradientning xossalari. Gradientning diflerensial xossalari

1. 
   skalyar maydon biror nuqtada eng tez o‘sadigan yo‘nalishi yo'nalishi bilan mos keladi va u ga teng.
   

Isbot: Agar bo‘lsa, (4.1.3) formuladan ning qiymati ga tengligi kelib chiqadi. Ya'ni va vektor orasidagi burchak nolga teng.

2. 
   skalyar maydon biror nuqtada eng tez kamayadigan yo‘nalishi yo‘nalishiga teskari yo‘nalish bilan mos keladi va bu kamayish tezligi ga teng.
   

Isbot: ning eng kichik qiymatiga bo'lganda erishadi. Ya’ni bo’ladi va bilan vektor parallel bo’lib qarama-qarshi yo‘nalgan bo’ladi.

3. 
   maydonning nuqtasidan o'tadigan sath sirtga o'tkazilgan normal bo'ylab yo‘nalgan.
   

3- xossani yuqorida biz isbot qildik. Shuni aytib o‘tish kerakki gradient vektor funksiya bo’lib u faqat skalyar funksiyadan olinadi.
Gradientning diflerensial xossalari:

1. 
   
   

Isbot: Gradient ta’rifidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz,


bo‘lganligi uchun 1-xossa o‘rinlidir.

2. 
   
   

Isbot:




Demak, 2-xossa o’rinli.

3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   , bu yerda
   

3-, 4- va 5-xossalarning to‘g‘riligini tekshirish 1- va 2- xossalar kabi amalga oshiriladi.

6. 
   
   

Isbot: 6-xossani tekshirish uchun


bo‘ladi. Shuning uchun

bo’ladi.

7. 
   
   

Isbot: 7-xossaning isboti

tenglikdan kelib chiqadi.