Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

1 -misol: skalyar maydon gradientini toping.
Yechish:

(4.1.1) formulaga asosan skalyar maydon gradientini topamiz:

2-misol: funksiyaning nuqtadagi gradientini hisoblang.
Yechish: Avval xususiy hosilalarni hisoblaymiz:



Ixtiyoriy nuqtadagi gradientning ifodasi (4.1.1) formulaga asosan quyidagicha bo’ladi:

Skalyar maydonning sath sirtlari konsentrik sferalardan iborat bo’lgani uchun uning radiusi bo’ylab yo’nalgan bo’ladi, shu bilan birga

bo’ladi. Ya’ni funksiya o’sishining eng katta tezligi 1 ga teng.
3-misol: maydonning nuqtadagi maksimal o‘sish qiymatini toping.
Yechish: Maydon gradientini topamiz:

Maydonning nuqtadagi maksimal o‘sish qiymati

ga teng bo’ladi.
4.4 Sirt normalining yo‘naltiruvchi kosinuslari
tenglama ko‘rinishda berilgan sirtni skalyar maydonning sath sirti sifatida qarash mumkin. Bu maydonnig gradienti

berilgan sirtning ixtiyoriy nuqtasida normal bo‘ylab yo‘nalgan bo’ladi. Shuning uchun sirtga o‘tkasilgan normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari quyidagi ko'rinishda bo’ladi:



Demak, sirtga o‘tkazilgan birlik normal vektomi qisqacha quyidagicha yozish mumkin:

Bu formulada ishorani tanlash sirtga o‘tkazilgan normalning tanlanishiga qarab olinadi.
Izoh. sirtning yo‘naltiruvchi kosinuslari funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, xususiy hosilalar bir vaqtda nolga teng bo‘lmagan nuqtalardagina aniqlangan bo‘ladi. Agar biror nuqtada xususiy hosilalar bir vaqtda nolga teng bo'lsa normal aniqlanmaydi. Normali mavjud bo'lmagan sirtning nuqtalariga sirtning maxsus nuqtalari deyiladi. Masalan, konus sirtning uchi konus sirt uchun maxsus nuqtadir.
Sirt tenglamasi biror o‘zgaruvchiga nisbatan oshkor ko‘rinishda ifodalangan bo‘lsin, masalan, . Buni quyidagicha yozish mumkin:

Demak, deb qarash mumkin, shuning uchun

bo’ladi. Demak, ko‘nishda berilgan sirtning yo‘naltiruvchi kosinuslari



ko‘rinishda bo‘ladi, yoki qisqacha

1-misol: paraboloidning tashqi tomoniga yo'nalgan birlik normal vektorni toping.
Yechish: bo’lgani uchun,

yo‘naltiruvchi kosinuslari


Paraboloidga o‘tkazilgan tashqi normal o‘qi bilan o‘tmas burchak tashkil qilgani uchun “-” ishorasini olamiz. Shunday qilib paraboloidga o‘tkazilgan birlik normal vektor

ko'rinishda bo’ladi.