|
s
= 1, 2,...,
r
j
). Напротив, исполь-
зование более простой записи (
s
= 1, 2,...,
r
) будет соответствовать наличию об-
щего набора технологий, пригодных для производства любого вида продукции.
Интерпретируем приведенный выше числовой пример как задачу макси-
мизации прибыли от добычи топлива одного вида, например, угля двумя раз-
личными технологическими способами: открытым (карьер) и подземным (шах-
та). При практической близости норм затрат электроэнергии (1,1 и 1) и трудо-
вых ресурсов (0,225 и 0,25) в двух столбцах два технологических способа отли-
чаются главным образом величиной затрат оборотных средств (десятикратное
увеличение в расчете на тонну угля при переходе к подземной добыче, в шахте)
и существенными различиями в прибыльности (почти пятикратное уменьшение
в расчете на тонну угля при переходе к открытой добыче). Последнее может
быть объяснено, например, дифференциацией цен в связи с лучшими качества-
ми глубокозалегающих углей (меньшая зольность, низкое содержание серы и
т.д.).
Следует отметить, что в экономико-математической задаче для выделе-
ния разных технологических способов производства одноименной продукции
достаточно различий в величине нормы затрат лишь одного какого-либо ресур-
са либо различий в величине только критериального показателя. Так, томаты,
выращенные в июле и августе по одной и той же технологии, с одинаковыми
нормами затрат ресурсов, в задаче будут представлены двумя модельными тех-
нологиями, отличающимися лишь величиной
p
j
s
—
различной прибыльностью
единицы продукции в июле и августе вследствие различий сезонных цен.
В процессе составления плана производства приходится учитывать не
только ограниченность выделяемых ресурсов, но и возможные директивные за-
дания по выпуску продукции. Введем в наш первоначальный пример плановые
задания по добыче не менее 90 тыс. т. торфа и 30 тыс. т. угля. Модель (2.1) —
(2.6) дополнится ограничениями по выпуску:
х
1
90 000;
(2.10)
х
2
30 000.
(2.11)
Выражения (2.10) и (2.11) означают, что добыча торфа и угля должна
быть не меньше плановых заданий.
Следует отметить, что как здесь, так и далее термин «плановое задание»
упоминается лишь для краткости, это могут быть и обязательные объемы вы-
пуска. Например, в размере выигранного по конкурсу государственного заказа
или заранее заключенных договоров с потребителями продукции при рыночной
системе хозяйствования.
18
Введем обозначения:
b
j
— план выпуска
j
-й продукции. С учетом ранее введенных обозначений
численной модели (2.1) — (2.6), (2.10) — (2.11) будет соответствовать модель в
общем виде:
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
→ max
𝑛
𝑗=1
;
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i
= 1, 2,...,
m
);
x
j
b
j
0, (
j
= 1, 2,...,
n
).
Если в задаче (2.7) — (2.9) оптимизация шла за счет отбора наиболее вы-
годных видов продукции, то в последней модели свобода выбора существенно
снижается. Действительно, в любом допустимом плане выпуска величина каж-
дого
x
j
в основном складывается из обязательной фиксированной величины
планового выпуска
b
j
. Оптимизация же, т.е. выбор различных вариантов, идет
лишь за счет сверхплановых выпусков продукции того или иного вида. Пусть
x
j
— искомый сверхплановый выпуск
j
-й продукции
.
Тогда
x
j
=
b
j
+ x
j
.
Подста-
вим это выражение в модель:
∑
𝑝
𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1
+ ∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
→ max
𝑛
𝑗=1
;
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑏
𝑖
+ ∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
≤ 𝑏
𝑖
,
(
i
= 1, 2,...,
m
);
b
j
+
x
j
b
j
0
,
(
j
= 1, 2,...,
n
).
Уменьшив правую и левую части последнего выражения на
b
j
, получим
x
j
— условие неотрицательности вновь введенных переменных.
Общая величина дохода от планового выпуска продукции в строгом соот-
ветствии с планом постоянна и может быть получена прямым счетом:
∑
𝑝
𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1
const
.
Таким образом, максимизация общего объема дохода зависит лишь от
сверхпланового выпуска, т.е. величины —
∑
𝑝
𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1
.
Учитывая, что
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1
const
, обозначим через
𝑏
𝑖
= 𝑏
𝑖
− ∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
остаток
i-
го ресурса после строгого выполнения плана. Тогда вся задача сведет-
ся к задаче по максимизации прибыли от сверхпланового выпуска продукции за
счет свободного остатка ресурсов, которой будет соответствовать модель:
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
→ max
𝑛
𝑗=1
;
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i
= 1, 2,...,
m
);
x
j
0, (
j
= 1, 2,...,
n
).
По своей записи она точно повторяет первоначальную модель (2.7) —
(2.9). Штрихи при символах лишь напоминают о наличии в данном случае
«предмодельного», «дооптимизационного» этапа, содержанием которого явля-
ется прямой счет некоторых расчетных показателей. Здесь мы видим пример
того, как двум различным экономическим задачам, т.е. максимизации дохода от
использования ресурсов с учетом плановых заданий по выпуску продукции или
же при полной свободе выбора плана выпуска, соответствуют однотипные эко-
номико-математические задачи, решаемые по одной и той же оптимизационной
модели. Таким образом, самостоятельного значения третья модель не имеет, и в
ее непосредственном использовании смысла нет.
19
Введем ограничения по формированию производственной программы в
модель, учитывающую наличие разных технологических способов производ-
ства одноименной продукции. Тогда ее запись будет выглядеть так:
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
→ max
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
;
(2.12)
∑
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
≤ 𝑏
𝑖
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,…,m);
(2.13)
∑
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
, (j = 1, 2,…,n);
(2.14)
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 0
; (j = 1, 2,…,n); (s = 1, 2,…,
𝑟
𝑗
).
(2.15)
Условия (2.14) означают, что во всех технологических способах, произ-
водящих данную продукцию, ее суммарный выпуск должен быть не менее за-
планированного объема. Один и тот же плановый выпуск продукции в размере
b
j
может быть получен различными сочетаниями величин
x
j
s
, т.е. различными
вариантами «технологической» структуры выпуска. В данном случае, в отличие
от предыдущей постановки задачи, упрощение модели невозможно. В задаче
(2.12) — (2.15) оптимизируются не только сверхплановые выпуски, но и выпус-
ки в строгом соответствии с заданиями
b
j
за счет подбора наиболее выгодных
технологий из всех возможных для производства данного вида продукции.
Действительно, даже запись условия (2.14) в виде строгого равенства:
∑
𝑥
𝑗
𝑠
= 𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
,
(
j
= 1, 2,…,
n
)
оставляет свободу выбора величины каждого из слагаемых
x
j
s
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
