Российский экономический

s 
= 1, 2,...,
r
j
). Напротив, исполь-
зование более простой записи (
s
= 1, 2,...,
r
) будет соответствовать наличию об-
щего набора технологий, пригодных для производства любого вида продукции. 
Интерпретируем приведенный выше числовой пример как задачу макси-
мизации прибыли от добычи топлива одного вида, например, угля двумя раз-
личными технологическими способами: открытым (карьер) и подземным (шах-
та). При практической близости норм затрат электроэнергии (1,1 и 1) и трудо-
вых ресурсов (0,225 и 0,25) в двух столбцах два технологических способа отли-
чаются главным образом величиной затрат оборотных средств (десятикратное 
увеличение в расчете на тонну угля при переходе к подземной добыче, в шахте) 
и существенными различиями в прибыльности (почти пятикратное уменьшение 
в расчете на тонну угля при переходе к открытой добыче). Последнее может 
быть объяснено, например, дифференциацией цен в связи с лучшими качества-
ми глубокозалегающих углей (меньшая зольность, низкое содержание серы и 
т.д.). 
Следует отметить, что в экономико-математической задаче для выделе-
ния разных технологических способов производства одноименной продукции 
достаточно различий в величине нормы затрат лишь одного какого-либо ресур-
са либо различий в величине только критериального показателя. Так, томаты, 
выращенные в июле и августе по одной и той же технологии, с одинаковыми 
нормами затрат ресурсов, в задаче будут представлены двумя модельными тех-
нологиями, отличающимися лишь величиной 
p
j
s
 — 
различной прибыльностью 
единицы продукции в июле и августе вследствие различий сезонных цен. 
В процессе составления плана производства приходится учитывать не 
только ограниченность выделяемых ресурсов, но и возможные директивные за-
дания по выпуску продукции. Введем в наш первоначальный пример плановые 
задания по добыче не менее 90 тыс. т. торфа и 30 тыс. т. угля. Модель (2.1) — 
(2.6) дополнится ограничениями по выпуску:
х
1
 

90 000; 
(2.10) 
х
2 

30 000. 
(2.11) 
Выражения (2.10) и (2.11) означают, что добыча торфа и угля должна 
быть не меньше плановых заданий. 
Следует отметить, что как здесь, так и далее термин «плановое задание» 
упоминается лишь для краткости, это могут быть и обязательные объемы вы-
пуска. Например, в размере выигранного по конкурсу государственного заказа 
или заранее заключенных договоров с потребителями продукции при рыночной 
системе хозяйствования.
18

---

Введем обозначения: 
b
j
— план выпуска 
j
-й продукции. С учетом ранее введенных обозначений 
численной модели (2.1) — (2.6), (2.10) — (2.11) будет соответствовать модель в 
общем виде: 
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
→ max
𝑛
𝑗=1
;
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i 
= 1, 2,...,
m
); 
x
j 

b
j 

 
0, (
j 
= 1, 2,...,
n
). 
Если в задаче (2.7) — (2.9) оптимизация шла за счет отбора наиболее вы-
годных видов продукции, то в последней модели свобода выбора существенно 
снижается. Действительно, в любом допустимом плане выпуска величина каж-
дого 
x
j
в основном складывается из обязательной фиксированной величины 
планового выпуска 
b
j
. Оптимизация же, т.е. выбор различных вариантов, идет 
лишь за счет сверхплановых выпусков продукции того или иного вида. Пусть 
x
j
— искомый сверхплановый выпуск 
j
-й продукции
. 
Тогда 
x
j 
=
b
j 
+ x
j
.
Подста-
вим это выражение в модель: 
∑
𝑝
𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1
+ ∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
→ max
𝑛
𝑗=1
;
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑏
𝑖
+ ∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
≤ 𝑏
𝑖
, 
(
i 
= 1, 2,...,
m
); 
b
j
+ 
x
j
 

b
j
 

0
, 
(
j 
= 1, 2,...,
n
). 
Уменьшив правую и левую части последнего выражения на 
b
j
, получим 
x
j
 


— условие неотрицательности вновь введенных переменных. 
Общая величина дохода от планового выпуска продукции в строгом соот-
ветствии с планом постоянна и может быть получена прямым счетом:
 
∑
𝑝
𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1

const
. 
Таким образом, максимизация общего объема дохода зависит лишь от 
сверхпланового выпуска, т.е. величины — 
∑
𝑝
𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1
.
Учитывая, что 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑏
𝑗
𝑛
𝑗=1

const
, обозначим через 
𝑏
𝑖
= 𝑏
𝑖
− ∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
 
остаток 
i-
го ресурса после строгого выполнения плана. Тогда вся задача сведет-
ся к задаче по максимизации прибыли от сверхпланового выпуска продукции за 
счет свободного остатка ресурсов, которой будет соответствовать модель: 
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
→ max
𝑛
𝑗=1
;

 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i 
= 1, 2,...,
m
); 
x
j 

0, (
j 
= 1, 2,...,
n
). 
По своей записи она точно повторяет первоначальную модель (2.7) — 
(2.9). Штрихи при символах лишь напоминают о наличии в данном случае 
«предмодельного», «дооптимизационного» этапа, содержанием которого явля-
ется прямой счет некоторых расчетных показателей. Здесь мы видим пример 
того, как двум различным экономическим задачам, т.е. максимизации дохода от 
использования ресурсов с учетом плановых заданий по выпуску продукции или 
же при полной свободе выбора плана выпуска, соответствуют однотипные эко-
номико-математические задачи, решаемые по одной и той же оптимизационной 
модели. Таким образом, самостоятельного значения третья модель не имеет, и в 
ее непосредственном использовании смысла нет. 
19

---

Введем ограничения по формированию производственной программы в 
модель, учитывающую наличие разных технологических способов производ-
ства одноименной продукции. Тогда ее запись будет выглядеть так: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
→ max
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
; 
(2.12) 
∑
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
≤ 𝑏
𝑖
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,…,m); 
(2.13) 
∑
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
, (j = 1, 2,…,n); 
(2.14) 
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 0
; (j = 1, 2,…,n); (s = 1, 2,…, 
𝑟
𝑗
). 
(2.15) 
Условия (2.14) означают, что во всех технологических способах, произ-
водящих данную продукцию, ее суммарный выпуск должен быть не менее за-
планированного объема. Один и тот же плановый выпуск продукции в размере 
b
j 
может быть получен различными сочетаниями величин
x
j
s
, т.е. различными 
вариантами «технологической» структуры выпуска. В данном случае, в отличие 
от предыдущей постановки задачи, упрощение модели невозможно. В задаче 
(2.12) — (2.15) оптимизируются не только сверхплановые выпуски, но и выпус-
ки в строгом соответствии с заданиями 
b
j
за счет подбора наиболее выгодных 
технологий из всех возможных для производства данного вида продукции. 
Действительно, даже запись условия (2.14) в виде строгого равенства: 
∑
𝑥
𝑗
𝑠
= 𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
, 
(
j
= 1, 2,…,
n
)
 
оставляет свободу выбора величины каждого из слагаемых 
x
j
s
.