Российский экономический

---

Российский
 
экономический
 
университет
 
имени
 
Г
.
В
. 
Плеханова
 
О
.
А
. 
Косоруков
, 
М
.
А
. 
Халиков
, 
Г
.
П
. 
Фомин
 
МОДЕЛИ
 
ИССЛЕДОВАНИЯ
 
ОПЕРАЦИЙ
 
 
Учебник
 
Москва
2019

---

УДК
 005:519.8(075.8)
 
ББК
 65.291.21+22.18
я
73
 
 
К
71
 
Рекомендовано
 
к
 
изданию

в
 
качестве
 
учебника
 
кафедрой
 
математических
 
методов
 
в
 
экономике
 
ФГБОУ
 
ВО
 
РЭУ
 
им
. 
Г
.
В
. 
Плеханова
 
 
Рецензенты
: 
Е
.
В
. 
Швед
, 
профессор
кафедры
высшей
математики
ФГБОУ
ВО
«
РЭУ
им
. 
Г
.
В
. 
Плеханова
», 
канд
. 
физ
.-
мат
. 
наук
, 
проф
., 
Ю
.
П
. 
Соловьев
, 
профессор
кафедры
экономики
и
управления
народным
хозяй
-
ством
НАЧОУ
ВПО
«
Современная
гуманитарная
академия
», 
д
-
р
экон
. 
наук
, 
проф
. 
Авторы
: 
О
.
А
. 
Косоруков
,
профессор
кафедры
математических
методов
в
экономике
ФГБОУ
ВО
«
РЭУ
им
. 
Г
.
В
. 
Плеханова
», 
д
-
р
техн
. 
наук
, 
М
.
А
. 
Халиков
, 
профессор
кафедры
математических
методов
в
экономике
ФГБОУ
ВО
«
РЭУ
им
. 
Г
.
В
. 
Плеханова
», 
д
-
р
экон
. 
наук
, 
Г
.
П
. 
Фомин
, 
профессор
кафедры
математических
методов
в
экономике
ФГБОУ
ВО
«
РЭУ
им
. 
Г
.
В
. 
Плеханова
», 
канд
. 
техн
. 
наук
 
Косоруков
, 
Олег
 
Анатольевич
. 
К
71
Модели
исследования
операций
: 
учебник
/ 
О
.
А
. 
Косоруков
, 
М
.
А
. 
Халиков
, 
Г
.
П
. 
Фомин
. — 
Москва
: 
РУСАЙНС
, 2019. — 
190 
с
. 
ISBN 978-5-4365-3356-8 
Описаны
различные
модели
исследования
операций
и
методы
экономико
-
математического
моделирования
задач
анализа
систем
разной
природы
с
использованием
ме
-
тодов
 
и
моделей
линейного
и
целочисленного
программирования
, 
включающие
оптимизаци
-
онные
модели
производства
и
распределения
ресурсов
, 
симплексный
и
геометрический
мето
-
ды
, 
распределительный
метод
, 
методы
двойственных
оценок
, 
отсекающих
плоскостей
, 
ветвей
и
границ
. 
Представлены
основные
типы
задач
по
указанным
разделам
, 
необходимые
пояснения
и
ответы
к
ним
. 
Учебник
разработан
в
соответствии
с
требованиями
ФГОС
по
направлениям
бака
-
лавриата
38.03.01 «
Экономика
», 3803.02 «
Менеджмент
», 09.036.03 «
Прикладная
информатика
» 
и
предназначен
для
студентов
, 
изучающих
дисциплины
«
Модели
исследования
операций
», 
«
Исследование
операций
», «
Экономико
-
математические
методы
», «
Математические
методы
в
экономике
», «
Методы
моделирования
и
прогнозирования
в
экономике
». 
Учебник
 
может
 
быть
 
полезен
 
студентам
 
при
 
выполнении
 
выпускных
 
квалифика
-
ционных
 
работ
, 
а
 
также
 
работникам
 
аналитических
 
служб
 
предприятий
 
в
 
практической
 
деятельности
. 
Ключевые
 
слова
: 
модели
, 
исследование
, 
операции
, 
методы
, 
экономико
-
математические
 
модели
.
 
УДК
 005:519.8(075.8) 
ББК
 65.291.21+22.18
я
73
 
©
Косоруков
О
.
А
., 
Халиков
М
.
А
.,
Фомин
Г
.
П
., 2019 
ISBN 978-5-4365-3356-8
© 
ООО
«
РУСАЙНС
», 2019

---

Оглавление
Введение в исследование операций ....................................................................... 5
 
Глава 1. Понятия о моделях исследования операций ........................................ 7
 
Контрольные вопросы .................................................................................... 14
 
Глава 2. Модели операций распределения ресурсов ........................................ 15
 
2.1. Экономико-математическая модель распределения ресурсов ................... 15
 
2.2. Модель задачи на максимум дохода ............................................................. 17
 
2.3. Модель задачи на минимум затрат ............................................................... 20
 
2.4. Модель задачи на максимум выпуска продукции ....................................... 22
 
2.5. Модель задачи на максимум загрузки оборудования ................................. 26
 
2.6. Использование удельных величин в качестве критерия оптимальности . 29
 
2.7. Модель вариантной производственной задачи ............................................ 31
 
2.8. Модели с долями в качестве переменных .................................................... 34
 
2.9. Экономико-статистические модели операций ............................................. 37
 
Контрольные вопросы .................................................................................... 39
 
Глава 3. Модели линейной оптимизации ........................................................... 41
 
3.1. Планово-производственная задача Канторовича ........................................ 41
 
3.2. Закрытая и открытая модели ......................................................................... 44
 
3.3. Линейные модели описания операций ......................................................... 48
 
Контрольные вопросы .................................................................................... 52
 
Глава 4. Экономико-математический анализ решений 
оптимизационных задач ......................................................................................... 54
 
4.1. Матрица эффективности и коэффициенты замены ..................................... 54
 
4.2. Экономические свойства двойственных оценок ......................................... 64
 
4.3. Экономическое содержание двойственных оценок .................................... 75
 
4.4. Устойчивость оценок ...................................................................................... 78
 
4.5. Методы экономико-математического анализа, основанные на 
использовании аппарата двойственных оценок .......................................... 83
 
Контрольные вопросы .................................................................................... 88
 
Глава 5. Транспортно-распределительные задачи .......................................... 90
 
5.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи ........................ 90
 
5.2. Нахождение первоначального базисного распределения поставок .......... 93
 
5.3. Критерий оптимальности базисного распределения поставок .................. 98
 
5.4. Распределительный метод решения транспортной задачи ...................... 103
 
Контрольные вопросы .................................................................................. 110
 
3

---

Глава 6. Целочисленные задачи линейного программирования ................ 112
 
6.1. Целочисленное программирование............................................................. 112
 
6.2. Примеры задач целочисленного программирования ................................ 112
 
6.3. Методы решения задач целочисленного программирования. 
Метод отсекающих плоскостей .................................................................. 114
 
6.4. Метод ветвей и границ ................................................................................. 120
 
Контрольные вопросы .................................................................................. 128
 
Глава 7. Специальные задачи исследования операций ................................ 129
 
7.1. Задачи распределения ресурсов .................................................................. 129
 
7.1.1. Геометрический метод ........................................................................... 129
 
7.1.2. Симплексный метод ............................................................................... 137
 
7.2. Задачи о смесях и диете ............................................................................... 146
 
7.3. Задачи транспортные .................................................................................... 155
 
7.4. Задачи коммивояжера ................................................................................... 162
 
7.5. Задачи о раскрое материалов (минимизация обрезков) ............................ 172
 
7.6. Задачи о контейнере (рюкзаке, ранце) ........................................................ 179
 
Ответы к задачам .................................................................................................. 184
 
Литература .............................................................................................................. 188 
4

---

Введение в исследование операций 
Исследование операций как самостоятельная научная дисциплина возник-
ла в годы Второй мировой войны, когда для решения сложных проблем логи-
стики и проектирования систем вооружений создавались команды практиков, в 
которые входили специалисты различных дисциплин: математики, инженеры, 
экономисты, психологи, финансисты. Эти команды анализировали и формули-
ровали проблемы в количественных терминах, чтобы найти оптимальное реше-
ние. Следует заметить, что методы исследования операций в настоящее время 
широко и успешно применяются и используются при проведении военных опе-
раций, например, в Сирии, что многократно было иллюстрировано в средствах 
массовой информации. При этом очень важно знать и предвидеть всю техноло-
гическую последовательность в реализации механизма течения операции. 
Например, проведение операции обмена квартир на рынке недвижимости со-
держит целую цепочку действий и множество скрытых от обывателя подвохов, 
так же как и в операциях приобретения автомобиля, где клиентов также поджи-
дают аферы, исходы которых количественно, например, в размере стоимости 
квартиры или автомобиля, всегда весьма ощутимы для участников. Особое 
внимание привлекли в последнее время безграмотное отношение населения к 
проведению операций с потребительскими кредитами, поскольку в системах 
массовой информации была показана полная несостоятельность, неожидан-
ность, ущербность и неподготовленность людей к проведению таких операций. 
Поэтому и исследовать операции необходимо до момента их реализации, осо-
бенно в количественных интерпретациях.
Актуальность и практическая ценность выделения и изучения проблем 
принятия решений в процессе управления операцией определяются следующи-
ми причинами. 
1. Принятие решений — это личная функция руководителя любого ранга, 
поскольку принятие решений является его основной задачей, которую он обя-
зан решать в процессе управления. Поэтому знание методов, технологии и 
средств решения задачи является необходимым элементом квалификации руко-
водителя.
2. Принятие решений занимает центральное место в процессе управления 
наряду с прогнозированием, планированием, оценкой обстановки, исполнением 
решений, контролем и учетом. Любую функцию управления технологически 
можно представить в виде последовательности решений. Таким образом, функ-
ция принятия решений является с методологической и технологической точек 
зрения более общей, чем другие функции, поэтому в литературе иногда управ-
ление рассматривается как процесс принятия решений.
3. Современной моделью описания операций является система принятия 
решений. Она интегрирует положительные стороны предшествующих теорети-
ческих моделей, имеющих структурно описательный характер: механической 
модели организации как рациональной системы и естественной модели органи-
зации как живой социальной системы. А система принятия решений является 
5

---

третьей моделью организационных систем, в которой как первичный элемент 
рассматривается решение, в которой рассматриваются рациональные принципы 
механической модели с учетом социальной и психологической специфики есте-
ственной модели. В решении объединяются объективные факторы информаци-
онного анализа проблем, проводимого на основе логического мышления и ма-
тематических методов. 
В настоящее время уже существует большое количество научных дисци-
плин, посвященных проблеме принятия решений. К таким дисциплинам отно-
сится и исследование операций, занимающееся разработкой и практическим 
применением методов эффективного управления различными по своей природе 
системами. 
В современных условиях экономика, опирающаяся на знания, все же ста-
новится доминирующей парадигмой экономического развития, ключевым во-
просом повышения конкурентоспособности организации и эффективным сред-
ством управления человеческими ресурсами.
В связи с этим цель учебной дисциплины и содержание учебника ориенти-
рованы на развитие профессиональных и общекультурных компетенций сту-
дентов: учиться думать, пояснять экономические механизмы развития опера-
ций, уметь формулировать задачи, выбирать методы решения, владеть профес-
сиональной терминологией, собирать исходные данные, рассчитывать эконо-
мические показатели, использовать технические средства для экономического 
анализа, строить эконометрические модели связи экономических показателей, 
владеть культурой мышления, способность анализировать и прогнозировать 
развитие операционного процесса в будущем, способность логически, аргумен-
тировано строить устную и письменную речь.
В рамках изучения дисциплины «Модели исследования операций» сту-
денты должны: 
знать
методы экономики и математики, содержание операций и показате-
ли хозяйственной деятельности организации, схему взаимосвязи экономиче-
ских показателей при формировании прибыли, экономические и математиче-
ские методы
и модели
решения задач коммерческой деятельности; 
уметь
применять экономические и математические методы в постановке 
задач хозяйственной деятельности, формировать конструкции математических 
моделей, находить их решение и проводить исследование на моделях операций, 
находить оптимальные решения, разбираться в профессиональных вопросах, 
сформулированных на математическом языке, строить адекватные математиче-
ские модели, анализировать логику рассуждений, обобщать информацию; 
владеть
навыками применения экономико-математических методов и мо-
делей при решении задач хозяйственной деятельности и формировать инфор-
мационное обеспечение для исследования операций экономических процессов 
в процессе количественного обоснования решений.
6

---