|
2.3. Модель задачи на минимум затрат
В качестве критерия оптимальности в целевой функции можно использо-
вать затраты, тогда введем новое обозначение:
с
j —
себестоимость единицы
j
-й
продукции.
Запишем модель с этим критерием оптимальности на весь объем выпуска:
∑
𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
→ min
𝑛
𝑗=1
;
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i
= 1, 2,...
,m
);
x
j
0, (
j
= 1, 2,...
,n
).
Поиск оптимального решения в этом случае очень прост — им является
тривиальное (все неизвестные равны нулю) решение. Действительно, при
x
j
= 0,
(
j
=1, 2,...,
n
) все ограничения выполняются, т.е. данное решение допустимо. А
из всех допустимых решений оно дает наименьшее значение критерия опти-
мальности, т.е. затраты в данном случае равны нулю (очевидно, что отрица-
тельными они быть не могут).
Такое математически правильное решение с экономической точки зрения
абсурдно, ибо представляет собой план «максимальной экономии ресурсов», в
соответствии с которым ничего не производится, и все ресурсы остаются цели-
ком неиспользованными.
Ничего не изменит и запись модели, усложненная за счет введения раз-
личных технологических способов производства одноименной продукции, где
c
j
s
—
себестоимость единицы продукции
j-
го вида, произведенной по
s-
му спо-
собу.
20
Чтобы значение критерия оптимальности не скатывалось до нуля, необ-
ходимо ограничить снизу (т.е. ввести ограничение вида
) решение. Такими
условиями, как мы уже знаем, являются условия по выполнению директивно
заданного плана производства.
Экономическая деятельность как один из видов человеческой деятельно-
сти целенаправленна и предполагает достижение определенных результатов
производства, что, в свою очередь, связано с осуществлением затрат. Одной из
основных задач экономики (как науки, так и практики) является сопоставление
затрат и результатов. Как правило, существуют несколько вариантов получе-
ния, заранее заданного (планируемого, желаемого, предполагаемого), фиксиро-
ванного результата. Также существуют несколько вариантов использования из-
вестного (имеющегося), фиксированного количества ресурсов. Правильный
выбор наилучшего варианта из нескольких допустимых возможен при следую-
щих постановках задачи:
1)
максимизации результата (эффекта) при фиксированном уровне затрат
(ресурсов);
2)
минимизации затрат при фиксированном уровне результатов.
Сам отбор наилучшего варианта решения (плана производства) по мини-
муму затрат возможен вследствие эквивалентности результатов по всем вари-
антам. В случае же различной величины результатов вариант с меньшими за-
тратами может быть и не лучшим (просто с меньшими затратами мы достигаем
и меньшего результата). Именно это имело место выше. «Лучшее», нулевое
решение давало наименьший (выпуск равен нулю) результат.
Рассмотрим модель задачи на минимум затрат при фиксированных пла-
нах производства, предположив, что каждый вид продукции производится
лишь одним технологическим способом:
∑
𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
→ min
𝑛
𝑗=1
;
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i
= 1, 2,...,
m
);
x
j
b
j
0, (
j
= 1, 2,...,
n
).
Любой сверхплановый выпуск даже самых скромных размеров увеличит
значение критерия оптимальности. Ясно, что наименьший уровень затрат воз-
можен лишь при строгом выполнении плановых заданий, т.е. при
x
j
=
b
j.
Тем
самым данная модель теряет смысл, так как в подобной задаче нечего искать.
Оптимальный план известен: он задается числами
b
j
.
Однако это не значит, что при отсутствии нескольких способов производ-
ства одноименной продукции постановка задачи на минимум затрат бессмыс-
ленна. Нужно лишь задать результат с меньшей степенью подробности, нежели
искомые величины:
∑
∑
𝑐
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
→ min
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
;
(2.16)
∑
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
≤ 𝑏
𝑖
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,…,m);
(2.17)
∑
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
, (j = 1, 2,…,n);
(2.18)
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 0
; (j = 1, 2,…,n); (s = 1, 2,…,
𝑟
𝑗
).
(2.19)
21
В модели (2.16) — (2.19) переменные
x
j
s
детализированы и по видам про-
дукции
j
и по способам производства
s
, а плановые задания
b
j
лишь по продук-
ции. Поэтому оптимизация осуществляется подбором разных величин
x
j
s
в рам-
ках единой фиксированной величины
b
j
, т.е. подбором сочетания различных
технологий для выпуска данной
j-
й продукции.
Рассмотрим еще один подход, позволяющий ограничить решение снизу в
задаче на минимум затрат. Обозначим в данном случае через
p
j
цены на про-
дукцию
j
-го вида, а через
P
— план по валовой продукции. Заменим детальные
ограничения
x
j
b
j
агрегированным ограничением
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
𝑃
𝑛
𝑗=1
(если вернуться
к первоначальному определению величин
р
j
, то
Р
будет не чем иным, как за-
планированным уровнем валового дохода от выпуска продукции).
Тогда модель на минимум затрат, в случае когда каждый вид продукта
производится лишь одним технологическим способом, запишется так:
∑
𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
→ min
𝑛
𝑗=1
;
(2.20)
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,...,m);
(2.21)
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗
𝑃
𝑛
𝑗=1
;
(2.22)
x
j
0, (j = 1, 2,...,n).
(2.23)
Отметим одну важную особенность рассмотренных моделей (2.16) —
(2.19) и (2.20) — (2.23). Ограничения на область допустимых решений (2.17) —
(2.18) и (2.21) — (2.22) в принципе противоречивы: ограничения вида «
» по
объему производства или валовому доходу могут потребовать расхода одного
или нескольких ресурсов, превышающего их наличный запас, учитываемый в
ограничениях вида «
».
Противоречивость рассматриваемых ограничений при решении задачи с
конкретными значениями
b
i
и
b
j
может привести к тому, что область допусти-
мых решений окажется пустой, и оптимизационная задача будет неразрешимой.
Do'stlaringiz bilan baham: |
