Глава 2. Модели операций
распределения ресурсов
2.1. Экономико-математическая модель
распределения ресурсов
Любое предприятие, фирма, домашнее хозяйство или даже человек всегда
связаны с распределением ограниченных ресурсов разной природы,
которых
всегда не хватает в желаемом объеме. Так, основными ресурсами для добычи
топлива (торфа или угля) являются электроэнергия, оборотные средства топли-
водобывающего предприятия и трудовые ресурсы. Все они строго лимитирова-
ны. Добываемых видов топлива два — торф (открытые разработки) и уголь
(подземная добыча). В рамках выделенных объемов ресурсов план добычи мо-
жет быть любой. Нас же будет интересовать прежде всего максимум тепло-
творной способности добытого топлива. Нормы
затрат ресурсов на торф и
уголь, а также лимиты ресурсов и коэффициенты перевода в условное топливо
даны в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Количество и нормы затрат ресурсов на добычу
Вид ресурсов
Единица изме-
рения
Количество ре-
сурсов
Норма затрат ресурсов на добычу
1 т
торфа
угля
Оборотные
средства
у.е.
20 000
0,05
0,5
Электроэнергия
кВт ч
180 000
1,1
1
Трудовые ресур-
сы
человеко-часы
32 000
0,225
0,25
Коэффициенты перевода торфа и угля в тонны услов-
ного топлива
0,25
1,2
Неизвестными в задаче являются добыча торфа и угля (в тоннах). Обо-
значим их
x
1
и
x
2
соответственно. Задача ставится следующим образом:
найти
неотрицательные
значения переменных
x
1
и
x
2
, максимизирующих суммарную
теплотворную способность добытого условного топлива при ограничениях на
выделенные лимиты ресурсов.
Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид: найти
такие неотрицательные значения переменных
x
1
и
x
2
, которые при заданных
ограничениях на ресурсы:
0,05
х
1
+ 0,5
х
2
20 000;
(2.1)
1,1
х
1
+
х
2
180 000;
(2.2)
0,225
х
1
+ 0,25
х
2
32 000;
(2.3)
х
1
0;
х
2
0;
(2.4) — (2.5)
обеспечивают максимальную
суммарную теплотворную способность добытого
топлива в соответствии со следующей целевой функцией:
15
0,25
х
1
+ 1,2
х
2
max
.
(2.6)
Совокупность выражений (2.1) — (2.6) представляет собой математиче-
скую модель задачи, данные табл. 2.1 с сопровождающими ее пояснениями —
экономическую модель, т.е. описание основных сторон деятельности объекта.
Экономико-математическая модель есть совокупность математических
выражений с экономическим описанием входящих в них величин. Совокуп-
ность математических выражений (2.1) — (2.6) состоит из критерия оптималь-
ности (2.6) и системы ограничений (2.1) — (2.5). В свою очередь, в последней
можно выделить ограничения неотрицательности (2.4) — (2.5), показывающие,
какие значения
могут принимать переменные, а также основные ограничения
(2.1) — (2.3), указывающие, какие именно преобразования можно проводить с
переменными. Система ограничений определяет множество допустимых значе-
ний
переменных, в области которого отыскиваются наилучшие по данному
критерию значения.
На основании вышеизложенного запишем экономико-математическую
модель рассмотренной задачи в более общем виде,
причем для исключения
многозначности толкования введем следующие условные обозначения:
i
— индекс ресурсов (
i =
1, 2,...,
m
);
j
— индекс продукции (
j =
1, 2,...,
n
);
b
i —
наличный объем
i
-го ресурса;
a
ij —
норма затрат
i
-го ресурса на производство единицы
j-
й продукции;
p
j —
эффективность единицы продукции
j
-го вида;
х
j —
искомый объем производства
j
-й продукции.
На этом основании задача формулируется следующим образом: найти та-
кие значения переменных
х
j
, которые максимизируют целевую функцию вида:
∑
𝑝
𝑖
𝑥
𝑖
→ max
𝑛
𝑗=1
,
(2.7)
при условии ограничений выделенных ресурсов
𝑏
𝑖
:
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (i = 1,2,...,m)
(2.8)
и неотрицательности переменных:
х
j
0, (
j
= 1,2,...
,n
).
(2.9)
Выражение (2.7) максимизирует совокупный эффект от всего объема вы-
пущенной продукции всех видов. Выражение (2.8) означает, что для любого из
ресурсов его суммарный расход на производство продукции (всех видов) не
превосходит выделенного лимита. Выражение (2.9) означает неотрицательность
выпускаемой продукции.
Модель (2.7) — (2.9) справедлива для любого количества видов
ресурсов
и продукции, для самых разнообразных конкретных численных значений лими-
тов ресурсов
b
i
и норм затрат ресурсов
a
ij
. Использование более общего термина
«продукция» вместо конкретного «топливо» превращает задачу по отысканию
оптимального плана добычи топлива в задачу по отысканию оптимального
плана производства любой продукции (в том числе и топлива). Соответственно
этому коэффициенты при неизвестных из критерия оптимальности (2.7), т.е. ве-
личины
p
j
, были определены выше в самом общем виде как эффективность
единицы продукции.
16
Таким образом, модель (2.7) — (2.9) соответствует любой экономической
задаче по отысканию максимума эффекта от выпуска, производства или прода-
жи продукции, при ограничениях на количество имеющихся ресурсов. Конеч-
но, при условии, что размеры эффекта и использования ресурсов линейно зави-
сят от объема выпуска.
Do'stlaringiz bilan baham: 
