Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид — найти
такое количество выпускаемых блюд — вектор:
–
Х
= (
х
1
,
х
2
,..,
х
5
),
которое обеспечивает максимум выручки от продаж в соответствии с це-
левой функцией вида:
–
F
(
X
) = (130
x
1 + 200
х
2 + 250
х
3 + 100
х
4 + 170
x
5)
max.
при заданных ограничениях по использованию ресурсов, представленных
в виде системы линейных неравенств:
Рассмотрим еще одну характерную для исследования операций задачу —
классическую задачу потребления, имеющую важное значение в экономиче-
ском анализе.
Пусть имеется
n
видов
товаров и услуг, количества которых в натураль-
ных единицах составляют
𝓍
1
, 𝓍
2
… , 𝓍
𝑛
по ценам соответственно
𝑝
1
, 𝑝
2
… , 𝑝
𝑛
за
единицу. Суммарная стоимость этих товаров и услуг составляет
∑
𝑝
𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
.
Уровень потребления
Z
может быть записывается
некоторой функцией
𝑍 = (𝓍
1
, 𝓍
2
… , 𝓍
𝑛
)
, называемой функцией полезности. Необходимо найти такой
набор товаров и услуг
𝓍
1
, 𝓍
2
… , 𝓍
𝑛
при заданной величине доходов I, который
обеспечивает максимальный уровень потребления:
𝑍 = 𝑓(𝓍
1
, 𝓍
2
… , 𝓍
𝑛
) → 𝑚𝑎𝑥
(1.3)
при условии:
∑
𝑝
𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑥
𝑖
≤ 𝐼
,
(1.4)
𝑥
𝑖
≥ 0 (𝑖 − 1, 2, … , 𝑛)
.
(1.5)
Решения этой задачи, зависящие от цен
𝑝
1
, 𝑝
2
… , 𝑝
𝑛
и величины дохода I,
называют
функциями спроса
.
Очевидно, что рассмотренная задача потребления (1.3) — (1.5), так же как
и многие другие, является частным случаем
сформулированной выше общей
задачи (1.1) — (1.2) на определение экстремума функции
n
переменных при не-
которых ограничениях, т.е. задачей на условный экстремум.
Следует заметить, что в тех случаях, когда функции
f
и
φ
𝑖
в задаче (1.1) —
(1.2) хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классические мето-
ды оптимизации. Однако применение этих методов в исследовании операций
весьма ограниченно, так как задача определения условного экстремума функ-
ции
n
переменных технически весьма трудна: метод дает возможность опреде-
лить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее
максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может
оказаться весьма трудоемким, тем более что этот экстремум возможен на гра-
нице области решений. Классические методы вовсе не работают, если множе-
3,4
x
1
5
x
2
38
x
3
2,6
x
4
23
x
5
78000,
2,1
x
1
5,2
x
2
5,1
x
3
2,8
x
4
3
x
5
130000,
4,3
x
1
6,9
x
2
6,7
x
3
26
x
4
4,1
x
5
16300,
x
j
0;
j
1, 5
10
ство допустимых значений аргумента дискретно или функция
Z
задана таблич-
но. В этих случаях для решения задачи (1.1) — (1.2) применяются методы ма-
тематического
программирования, которые подразделяются на следующие
группы.
Если критерий эффективности
𝑍 = 𝑓(𝓍
1
, 𝓍
2
… , 𝓍
𝑛
)
(1.2) представляет ли-
нейную функцию, а функции
𝜑
1
(𝓍
1
, 𝓍
2
, 𝓍
3
, … , 𝓍
𝑛
)
в системе ограничений (1.1)
также линейны, то такая задача является задачей
линейного программирования
.
Если, исходя из содержательного смысла, ее решения должны быть только це-
лыми числами, то эта задача
целочисленного линейного программирования
. Если
критерий эффективности и система ограничений задаются нелинейными функ-
циями, то имеем задачу
нелинейного программирования
. В частности, если ука-
занные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача явля-
ется задачей
выпуклого программирования
. Если в задаче математического про-
граммирования имеется переменная времени и критерий эффективности (1.2)
выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно — через
уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача яв-
ляется задачей
динамического программирования
. Если критерий эффективно-
сти (1.2) и система ограничений (1.1)
задаются функциями вида
𝑐 ∙
𝑥
1
α
1
𝑥
2
α
2
… 𝑥
𝑛
α
𝑛
, то имеем задачу
геометрического программирования
. Если
функции
𝑓
и (или)
φ
𝑖
в выражениях (1.2) и (1.1) зависят от параметров, то по-
лучаем задачу
параметрического программирования
, если эти функции носят
случайный характер, — задачу
стохастического программирования
. Если точ-
ный оптимум найти алгоритмическим путем
невозможно из-за чрезмерно
большого числа вариантов решения, то прибегают к методам
эвристического
программирования
, позволяющим существенно сократить просматриваемое
число вариантов и найти если не оптимальное, то достаточно хорошее, удовле-
творительное с точки зрения практики, решение.
Из методов математического программирования наиболее распростра-
ненными и разработанными являются методы линейного программирования. В
его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций. По своей
содержательной постановке множество задач
исследования операций может
быть разбито на ряд классов.
Значительная часть существующих задач исследования операций — это
задачи распределения ресурсов между объектами. Постановка таких задач чаще
всего ориентирована на получение заданного эффекта при минимуме затрат
или получение максимального эффекта при заданных ограниченных ресурсах.
Задачи распределения ограниченных ресурсов возникают всегда и везде, при
определенном наборе операций — работ, которые необходимо выполнять, а
требуется найти оптимальное распределение ресурсов между операциями.
Пример.
Фирма производит столы и кресла. Для изготовления одного кресла
требуется 0,3 м
3
древесины, а для изготовления одного стола — 0,7 м
3
. На изго-
товление одного кресла уходит два часа рабочего времени, а на изготовление
стола — восемь часов. Стоимость кресла — 2000 руб., а стола — 5000 руб.
Сколько кресел и сколько столов может изготовить
эта фирма для получения
максимальной выручки от продажи, если она располагает 50 м
3
древесины и 400
часами рабочего времени?
11
Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и
старением оборудования, станков, автомобилей и необходимостью замены с
течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков замены
оборудования.
Do'stlaringiz bilan baham: 
