Raxmonov bahodir abduhamidovichning “S

1.2.2-natija. chiziqli operator chegaralangan bo‘lishi uchun uning uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
I.3 Kompakt operatorlar
Dastlab normalangan fazodagi kompakt, nisbiy kompakt to‘plamlarga ta’rif beramiz. Chunki kompakt operatorlar shu tushunchalar asosida ta’riflanadi. Biz normalangan fazolarda kompaktlik kriteriylarini ham keltiramiz. Keyin esa asosiy tushuncha kompakt operatorga ta’rif beramiz va unga misollar keltiramiz.
Bizga Banax fazosi va to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar to‘plamdan olingan ixtiyoriy ketma-ketlikdan da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, ga kompakt to‘plam deyiladi . Agar to‘plamning yopig‘i kompakt to‘plam bo‘lsa, u holda nisbiy kompakt to‘plam deyiladi. To‘plam nisbiy kompakt bo‘lishi uchun uning to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli [6]. Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir. Asosiy funksional fazolardan biri fazodir. Bu fazodagi to‘plamning kompaktlik kriteriysi Arsela teoremasi [6] yordamida bayon qilingan.
Banax fazosida kompakt operatorlar.
1.3.1-ta’rif. Agar va bo‘lsa, u holda ga chekli o‘lchamli operator deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda ga o‘lchamli operator deyiladi.
1.3.2-ta’rif. Bizga operator berilgan bo‘lsin. Agar operator dagi har qanday chegaralangan to‘plamni dagi nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda kompakt operator yoki to‘la uzluksiz operator deyiladi.
Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun chegaralangan va yopiq bo‘lishi yetarli va zarurdir. Demak, chekli o‘lchamli fazodagi har qanday chegaralangan to‘plam nisbiy kompaktdir va aksincha [6].
1.3.1-teorema. chiziqli operator kompaktdir.
Isbot. fazoda aniqlangan chiziqli operatorning chegaralanganligi haqidagi teoremada isbotlangan edi. chegaralangan operator bo‘lgani uchun har qanday chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga o‘tkazadi. Har qanday chegaralangan to‘plam esa chekli o‘lchamli fazoda nisbiy kompaktdir. Demak, chiziqli operator kompaktdir.