Raxmonov bahodir abduhamidovichning “S

1.2.1-teorema. normalangan fazoni normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorning normasi uchun
(1.2.2)
tenglik o‘rinli.
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz
.
chiziqli operator bo‘lgani uchun

Ixtiyoriy uchun

Demak, ixtiyoriy uchun Bundan esa
. (1.2.3)
Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy son uchun, shunday element mavjudki,

tengsizlikbajariladi. Bu yerdan ixtiyoriybo‘lganiuchun,
. (1.2.4)
(1.2.3) va (1.2.4) lardan tenglik kelib chiqadi. ∆
1.2.1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan operator uchun

tenglik o‘rinli.
chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorlar to‘plamini bilan belgilaymiz. Xususan, bo‘lsa .
1.2.1-natija.Ixtiyoriy va , uchun
(1.2.5)
tengsizlik o‘rinli.
1.2.12-ta’rif. va chiziqli operatorlarning yig‘indisi deb, elementga elementni mos qo‘yuvchi operatorga aytiladi.
Ravshanki, chiziqli operator bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda ham chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.2.6)
tengsizliko‘rinli. Haqiqatan ham,
.
1.2.13-ta’rif. chiziqli operatorning songa ko‘paytmasi elementga elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni
.
1.2.14-ta’rif. va chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib bo‘lsin. va operatorlarning ko‘paytmasi deganda,
har bir ga fazoning elementini mos qo‘yuvchi operator tushuniladi.
Agar va lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo‘lsa, u holda ham chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.2.7)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (1.2.7) tengsizlik kelib chiqadi.
Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. Qo‘shish amali kommutativ, lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas.
Agar va lar chiziqli normalangan fazolar bo‘lsa, ham chiziqli normalangan fazo bo‘ladi, ya’ni ,

funksional normaning 1-3 - shartlarini qanoatlantiradi.