Raxmonov bahodir abduhamidovichning “S

1.2.2-teorema. normalangan fazoni normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi tasdiqlar teng kuchli:
1) operator biror nuqtada uzluksiz;
2) operator uzluksiz;
3) operator chegaralangan.
Isbot. 1) 2). Chiziqli A operatorning biror nuqtada uzluksiz ekanligidan uning ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekanligini keltirib chiqaramiz.
operator nuqtada uzluksiz bo‘lganligi uchun, ga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun . Ixtiyoriy nuqta uchun, ekanligidan kelib chiqishini ko‘rsatamiz. deymiz. U holda
.
Bu esa

ekanligini bildiradi. Demak, operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz.
2) 3). operatorning uzluksiz ekanligidan uning chegaralanganligi kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Teskaridan faraz qilaylik, chiziqli operator uzluksiz bo‘lsin, lekin chegaralangan bo‘lmasin, ya’ni ixtiyoriy son uchun shunday element mavjud bo‘lib,

bo‘lsin. Agar desak, ixtiyoriy uchunshunday mavjudki, tengsizlikbajariladi. Quyidagi

ketma-ketlikniqaraymiz. Ko‘rinibturibdiki, , ya’ni

Ikkinchitomondan,

Bu qarama-qarshilik operatorningchegaralanganekanliginiko‘rsatadi.
3) 1). chiziqlichegaralanganoperatorningbirornuqtadauzluksizliginiko‘rsatamiz.
Ta’rifgako‘ra, shunday son mavjudki, ixtiyoriy uchun

tengsizlik bajariladi. Faraz qilaylik, - ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsin, u holda ekanligini ko‘rsatamiz:

ya’ni . Teorema isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi nateja kelib chiqadi.