X=R to'plamda R(X): " X son tub son" predikat berilgan bo'lsin. Shu

KVANTORLAR
X=R to'plamda R(x): " x son tub son" predikat berilgan bo'lsin. Shu

predikat oldiga "istalgan" so'zini qo'llab "istalgan x son tub son" degan

yolg'on mulohazani hosil qilamiz.

Berilgan R(x) predikatga "shunday", "mavjudki" so'zlarini qo’yib rost

mulohazani hosil qilamiz. Shunday x son mavjudki, u tub son. Shunday

qilib, predikatlar faqat o'zgaruvchi o'rnida so'z qo'yib emas, balki predikat

oldiga so'z qo'yib ham mulohazaga aylantirish mumkin. Bunday so'zlar

jumlasiga "barcha", "ixtiyoriy", "hamma", "istalgan", "har bir", "har

qanday", "kamida bir", "mavjudki", "shunday", "topiladiki" kabi so'zlar

kiradi. Matematikada bunday so'zlarni kvantorlar deb ataydilar.

Kvantorlar umumiylik va mavjudlik kvantorlariga bo'linadi.

Umumiylik kvantoriga "barcha", "hamma", "istalgan", "har

qanday", kabi so'zlarni kiritish mumkin. "mavjud", "shunday",

"topiladiki", "kamida bir" kabi so'zlar mavjudlik kvantoriga kiradi. X

to'plamda R(x) predikat berilgan bo'lsin. Bu predikat oldida umumiylik

kvantorini qo'yib, "Barcha xєX uchun R(x) predikat bajariladi" degan

gapni hosil qilamizki, bu gap mulohaza bo'lib qoladi. Bu mulohaza X

to'plamning barcha a elementlari uchun R(a) - rost bo'lgandagina rost

bo'ladi. Aks holda mulohaza yolg'on hisoblanadi.

Umumiylik kvantori yordamida berilgan predikatni (

"

xєX) R(x) deb

belgilaymiz va u X to'plamning istalgan (yoki barcha , har bir...) x-
elementi uchun P(x) predikat o'rinli deb o'qiladi.

"

belgi, inglizcha All-

hamma so'zidan olingan bosh harfini teskari qilib olinganligini
bildiradi.Agar R(x) predikat oldida mavjudlik kvantorini qo'ysak, u

holda quyidagi gapni hosil qilamiz. "Shunday xєX mavjudki, R(x)

predikat bajariladi". Ushbu gap X to'plamning biror elementi a uchun

R(a) rost mulohaza bo'lgandagina rost bo'ladi. R(a) rost bo'ladigan

birorta ham x to'plam elementi mavjud bo'lmasa, u holda mavjudlik

kvantori bilan berilgan" shunday xєX mavjudki, R(x) predikat

bajariladi" mulohaza yolg'on bo'lib qoladi.

Mavjudlik kvantori yordamida berilgan predikatni (

$

xєX) R(x) deb

belgilaymiz va u X to'plamning shunday x elementi topiladiki, R ot x
predikat o'rinli deb o'qiladi.

$

belgi inglizcha "Exist" mavjud so'zining

bosh harfi teskarisi olinganini bildiradi.

50
Quyidagi misollarni qaraymiz:

1-misol. Natural sonlar to'plamida R(x) "son 3 ga karrali" predikat

berilgan. Kvantorlarni ishlatib berilgan predikatdan navbatdagi

mulohazalarni olish mumkin: 1)"istalgan natural son 3 ga karrali"; 2)

“ixtiyoriy natural son 3 ga karrali”; 3) “hamma natural son 3 ga karrali”;

4) “natural son topiladiki 3 ga karrali”; 5) “kamida bir natural son 3 ga

karrali”.

Birinchi uchta mulohaza yolg'on va bir xil ma'noga ega. Ularni

quyidagicha yozish mumkin:

(

"

x

Î
N) R(x) - umumiylik kvantori bilan berilgan mulohazalar.

Oxirgi uchta mulohaza rost mulohaza bo'ladi va quyidagicha yoziladi:

(

$

x

Î

N) R(x) - mavjudlik kvantori bilan berilgan mulohazalar.

2-misol. R(x): "x son - tub son". Kvantorning hamma turlarini keltiring
(mustaqil).

KO'P O'RINLI PREDIKATLAR

Quyidagi gapni ko'rib chiqamiz: "x shoir y poemani yozdi". Bu gap

o'zida x va y o'zgaruvchilarni saqlagan. x-shoirlar to'plamining elementi

bo'lsa, y esa poemalar to'plamining elementidir. Bu to'plam

elementlaridan bir qator tartiblangan juftliklarni tuzish mumkin.

Masalan: (Oybek; "Zafar va Zahro"); (G’.G’ulom; "Ko'kan");

(H.Olimjon; "Oygul bilan Baxtiyor"); (Qudrat Hikmat; "Chirchiq

farzandi") va hokazo. Agar bu juftliklarni x o'rniga H.H.Niyoziy so'zini

qo'yib, uning o'rniga "Lo'li"ni qo'ysak, u holda "H.H.Niyoziy "Lo'li"

poemasini yozdi" degan yolg'on mulohaza hosil bo'ladi. Chunki

H.H.Niyoziy yozgan asarlari orasida "Lo'li" poemasi yo'q.

Umuman olganda, qandaydir X va Y to'plamlar ustida tarkibida 2 ta

o'zgaruvchisi bo'lgan R(x;y) - ikki o'rinli predikat berilgan bo'lsa, x

Î

X,

y

Î

Y bo'lib, (x;y) juftliklarning ba'zi qiymatarida R(x;y) - rost, ba'zi

qiymatlarida yolg'on mulohaza bo'ladi. Shu sababli R(x;y) ko'rinishidagi
juftliklar to'plamidan iborat.

Matematikada ikki o'rinli predikatlarga ikki o'zgaruvchili

tenglamalarni, ikki o'zgaruvchili tengsizliklarni misol qilib ko'rsatish

mumkin. Masalan, 2x+3y=5; 13-x·y=2; 2x-1>3y va hokazo. Xuddi

shunday uch o'rinli, to'rt o'rinli va hokazo, predikatlar aniqlanadi.

Misol: "x matematik y yilda tug'ildi va z yilda nomzodlik dissertatsiyasini

yoqladi". Bu predikat uch o'rinli predikatdir. "x va y sonlar yig'indisi z

va t sonlar ko'paytmasiga teng" degan gap esa to'rt o'rinli predikat bo'ladi.

n o'rinli predikat

X·X·X·X·…·X

n

to'plam,dekart ko'paytmasi ustida berilgan.

51
Ko'p o'rinli predikatlar ekvivalent predikatlar deb aytiladi, agar bu

predikatlarning aniqlanish sohalari bir xil bo'lib, rostlik qiymatlar

to'plamlari ustma-ust tushsa. Masalan, x+2y=5 va 2x+4y=10 tenglamalar

ikki o'rinli, predikatlar o'zaro ekvivalent predikatlar bo'ladi, chunki

ularning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidan iborat

bo'lib,rostlik qiymatlar to'plami bir xil.

PREDIKATLAR USTIDA AMALLAR

Predikatlar ham mulohazalar kabi elementar va murakkab ko'rinishda

bo'ladi. Murakkab predikatlar elementar predikatlarni "va", "yoki", "agar

bo'lsa", "u holda", "emas", "faqat va faqat" va boshqa bog'lovchilar

yordamida bog'lanishdan hosil bo'ladi. Misol: R - haqiqiy sonlar

to'plamida:"x soni 3 ga karrali, "x>2 va x=2", "x<3 yoki x>8"

predikatlar berilgan. Bu predikatlarning birinchisi elementar predikat,

qolgan ikkitasi esa murakkab predikat bo'ladi.

1. Predikatlar inkori

X to'plamda A(x) predikat berilgan bo'lsin. Bu predikatning

aniqlanish sohasi X rostlik qiymatlar to'plami T bo'lsin. Bu predikatning

inkori deb shunday Ā(x) predikatga aytiladiki, bu predikat o'zgaruvchi x

ning ma'lum qiymatlarida A(x) rost bo'lganda yolg'on va aksincha, A(x)

yolg'on bo'lganda rost bo'ladi.Masalan: X={10,15,20,25,30} to'plamda

A(x) predikat "x soni 5 raqami bilan tugaydi" berilgan. Uning inkori

Ā(x):"x soni 5 raqami bilan tugamaydi". A(x) predikatning rostlik

qiymatlar to'plami T

A

= {15,25}, Ā(x) predikatning rostlik qiymatlar

to'plami T
Ā

= {10,20,30}. Ko'rinarliki, ikkinchi T

Ā
to'plam birinchi T

A

to'plamini to'ldiradi.

2-misol. X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} to'plamida A(x): "x son 6 dan
katta" predikat berilgan. Bu predikatning rostlik qiymatlar to'plami 7,8,9

va 10 sonlaridan iborat, ya'ni T

A

= {7,8,9,10}. Bu predikatning inkori:

Ā(x): "x son 6 dan katta emas"ning rostlik qiymatlar to'plamiga X
to'plamidagi 6 dan katta bo'lmagan sonlar kiradi:

T

Ā

= {1,2,3,4,5,6}.Umuman, agar A(x) predikatning rostlik qiymati T

A
,

Ā(x) predikatning rostlik qiymatlar to'plami T

Ā
bo'lsa, u holda T

Ā

to'plam T

A
to'plamining to'ldiruvchisi bo'ladi. T

A

va T

Ā
to'plamlarni

Eyler-Venn diagrammasida quyidagicha tasvirlash mumkin:

X

T
Ā

T

A

52

2. Predikatlar konyunktsiyasi
X to'plamida A(x) va B(x) predikatlar berilgan bo'lsin.

Ularning konyunktsiyasi deb, A(x)

Ù

B(x) predikatga aytiladi. Masalan,

X={10,15,16,20,35} to'plamida A(x): "x-juft son", B(x):" "x son 5 ga
bo'linadi ", u holda ularning konyunktsiyasi A(x)

Ù

B(x): "x-juft son va

5 ga bo'linadi" ko'rinishida bo'ladi. A(x)ning rostlik qiymatlar to'plami
{10,16,20} B(x) ning rostlik qiymatlar to'plami {10,15,20,35} x=10,

x=20 bo'lgandagina "x juft son va 5 ga qisqaradi" predikati rost bo'ladi.

Demak, A(x)

Ù

B(x) ning rostlik qiymatlar to'plami {10,20} bo'ladi.

Umuman, X to'plamda A(x) hamda B(x) predikatlar berilgan bo'lsin.
A(x), x

Î
X predikatning rostlik qiymatlar to'plami T

1

, B(x), x

Î
X

predikatning rostlik qiymatlar to'plami T

2

bo'lsa, u holda A(x)

Ù
B(x)

ning rostlik qiymatlar to'plami T=T

1

Ç

T

2

dan iborat bo'ladi. (Chizmaga

qarang).
T

1

T

2
T

1

Ç

T

2
2-misol. X={1,2,3,4,5,6,7,8} to'plamda A(x): "x<7" hamda B(x):

"x-tub son" predikatlar berilsin. Bu predikatlar konyunktsiyasini tuzing

va rostlik qiymatlar to'plamini toping. A(x)

Ù

B(x): "x<7" va x - tub son".

A(x) predikatning rostlik qiymatlar to'plami
T

A

={1,2,3,4,5,6} dan iborat. B(x) predikatning rostlik qiymatlar to'plami

esa T

B
= {2,3,5,7}dan iborat. A(x)

Ù

B(x)ning rostlik qiymatlari

T=T
A

Ç

T

B

bo'ladi. Demak, predikatlar konyunktsiyasining rostlik

qiymatlar to'plami, har bir predikat rostlik qiymatlar to'plamining
kesishmasidan iborat.

3. Predikatlar dizyunktsiyasi

A(x)

Ú
B(x), x

Î
X predikatga A(x),B(x), x

Î

X predikatlarning

dizyunktsiyasi deyiladi. A(x), B(x) predikatlarning dizyunktsiyasi, x
o'zgaruvchining ma'lum qiymatlarida shu predikatlarning hech

bo'lmaganda birortasi rost bo'lsa, A(x)

Ú

V(x), x

Î
X predikat rost bo'ladi.

T

1

deb A(x), x

Î
X predikatning rostlik qiymatlar to'plamini T

2

deb B(x),

x
Î

X predikatning rostlik qiymatlar to'plamini belgilaymiz. U holda A(x)

Ú
B(x) x

Î
X predikatning rostlik qiymatlar to'plami, T=T

1

È

T

2
dan

iborat bo'ladi. (Chizmaga qarang).

53
X

T

1

T

2
Masalan, X- biror bir institut studentlari to'plamida ikkita A(x) hamda

B(x) predikat berilgan, ya'ni A(x): "x-student a'lochi", B(x): "x-student

birinchi kursda o'qiydi". Bu predikatlarning dizyunktsiyasini

A(x)

Ú

B(x): "x student a'lochi yoki birinchi kursda o'qiydi" tashkil qiladi.

A(x) ning rostlik qiymatlar to'plamini institutda barcha a'lochilar tashkil
etadi. B(x) predikatning rostlik qiymatlar to'plamini, shu institutning

barcha birinchi kurs talabalari tashkil qiladi, berilgan predikatlar

dizyunktsiyasining rostlik qiymatlar to'plamini esa shu institutdagi

a'lochilar yoki birinchi kurs talabalari tashkil qiladi. Bu to'plam A(x) va

B(x) predikatlarning rostlik qiymatlarining birlashmasidan iborat.

2) X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} to'plamida A(x): "x-bir xonali son"

B(x): "x soni 2 ga qisqaradi" predikatlari berilgan bo'lsin. U holda

predikatlarning rostlik qiymatlar to'plamini quyidagilar tashkil qiladi:

T

1

={1,2,3,4,5,6,7,8,9} T

2

={2,4,6,8,10}. Predikatlar dizyunktsiyasini

tuzamiz. A(x)
Ú

B(x): "x-soni bir xonali son yoki 2 ga qisqaradi". U holda

dizyunktsiyasining rostlik qiymatlar to'plamini T=T
1

È

T

2

tashkil etadi.

Dizyunktsiyaning inkorini tuzamiz. A(x)
Ú

B(x): "x-soni bir xonali yoki 2

ga qisqaradigan emas". Bu jumla quyidagi : "x- soni bir xonali emas va 2
ga qisqarmaydi" jumla bilan ekvivalentdir.

Bu predikatning rostlik qiymatlar to'plami T`=T`

1

Ç

T`

2

dan iborat

bo'ladi.
A(x)

Ú
B(x) predikat A(x)

Ù

B(x) predikatga ekvivalentdir, uning ham

rostlik qiymatlar to'plami: T`=(T
1

È

T

2

)`=T

1
`

Ç

T

2

` dan iborat.

Predikatlarning ekvivalentligini diagrammada ko'rish mumkin.
T’

T

1

T

2

54

Xuddi A(x)

Ú

B(x) va A(x)

Ù
B(x) lar ekvivalent ekanligidek,

A(x)

Ù

B(x) va A(x)

Ú
B(x) lar ham o'zaro ekvivalent predikatlar bo'ladi.

(mulohazalar uchun de Morgan formulalarini eslang) Eyler-Venn

diagrammasida A(x)

Ù

B(x) hamda A(x)

Ú
B(x) predikatlar rostlik

qiymatlar to'plamini ko'rsating.

4. Predikatlar implikatsiyasi

X to'plamida A(x) va B(x) predikatlar berilgan bo'lsin.Predikat

A(x)→B(x) x

Î

X berilgan predikatlarning implikatsiyasi deyiladi, va u

quyidagicha o'qiladi: "Agar A(x) bo'lsa, u holda B(x) bo'ladi. U
faqatgina x ning ma'lum qiymatlarida A(x) rost bo'lib, B(x) yolg'on

bo'lganda yolg'on, qolgan hollarda rost bo'ladi.

Predikatlar implikatsiyasiga doir quyidagi misollarni keltiramiz:

Masalan, X={1,2,3,…,10} to'plamida A(x): "x 3 ga qisqaradi" va B(x):

"x-juft son" predikatlar berilgan. U holda bu predikatlar implikatsiyasi

A(x)→B(x): "Agar x 3 ga qisqarsa, u holda u juft son bo'ladi". Bu

predikatning rostlik qiymatlar to'plamini topamiz. T

1

- A(x) predikatning,

T
2

- B(x) predikatning rostlik qiymatlar to'plami bo'lsin, ya'ni

T
1

={3,6,9}, T

2
={2,4,6,8,10}. Eyler-Venn diagrammasi yordamida X

to'plamida T

1

va T

2
larni tasvirlaymiz. x=3 yoki x=9 bo'lganda "Agar x

son 3 ga qisqarsa, u holda x juft son" predikat yolg'on bo'ladi. Boshqa

barcha hollarda predikat rost bo'ladi. Shunday qilib: T={1,2,4,5,6,7,8,10}

to'plam X to'plamida berilgan "Agar x son 3 ga qisqarsa, u holda u juft

bo'ladi" predikatning rostlik qiymatlar to'plami bo'lib hisoblanadi.

Demak, A(x)→B(x), x

Î

X predikatning rostlik qiymatlar to'plami T=T

2
È

T’

1

dan iborat (chizmaga qarang).

T

1

T

2
Haqiqatdan ham, mulohazalar bo’limidan ma'lumki, A→B va A

Ú

B lar

ekvivalent mulohazalar hisoblanadi. Predikatlar bo’limida ham
A(x)→B(x) hamda A(x)

Ú

B(x) lar ekvivalent predikatlardir.

Shunday ekan, A(x)
Ú

B(x), x

Î
X ning rostlik qiymatlar to'plami

T

1

'

È
T

2

bo'ladi. Ayni paytda bu to'plam A(x)→B(x), x

Î

X predikatning

ham rostlik qiymatlar to'plami bo'ladi. Predikatlar implikatsiyasining
rostlik qiymatlar to'plamini yana boshqa usulda topish mumkin. Agar

A(x) ning rostlik qiymatlar to'plami T

A

, B(x) ning rostlik qiymatlar

to'plami T
B

bo'lsa A(x)→B(x)ning rostlik qiymatlar to'plami T=(T

A
/T

B

)`

dan iborat bo'ladi (diagrammada yaqqol ko'rish mumkin). Demak, A(x)

55
va B(x) predikatlar implikatsiyasining rostlik qiymatlar to'plami A(x) va

B(x) predikatlar rostlik qiymatlar to'plamlari ayirmasining

to'ldiruvchisidan iborat ekan.

Tajribada shunday predikatlarni uchratamizki, ularning birining

rostlik qiymatlar to'plami, ikkinchisining rostlik qiymatlar to'plamining

to'plam ostisi bo'ladi. Masalan, natural sonlar to'plamida A(x): "x-son 8

ga karrali", B(x):"x-son juft son" T

A

={8n/n

Î
N}; T

B
={2m/m

Î
N} .

Ko'rinadiki: T

A

Ì

T

B

.

A(x)→B(x) predikatlar implikatsiyasini tuzmoqchi bo'lsak: "Agar x

soni 8 ga karrali bo'lsa, u holda u juft son bo'ladi" ko'rinishida bo'ladi.

Bu predikat x ning istalgan x

Î

N qiymatida rost mulohazaga aylanadi.

Uning rostlik qiymatlar to'plami T=N bo'ladi. Bunday paytda B(x)
predikat A(x) predikatdan mantiqan kelib chiqadi deymiz, B(x) predikat

A(x) predikat uchun zaruriy shart, A(x) predikat B(x) uchun etarli shart

bo'lib xizmat qiladi.Fikrimiz dalili sifatida quyidagi misolni qaraymiz:

"Agar x son 6 ga bo'linsa, u holda u son 3 ga bo'linadi" degan

implikatsiyada A(x) predikat o'rnida "x son 6 ga bo'linadi", B(x)

predikat o'rnida "x soni 3 ga bo'linadi" olingan. "Zarur", "etarli"

so'zlaridan foydalanib A(x)→B(x) implikatsiyani quyidagicha aytish

mumkin:

a) x soni 6 ga bo'linishi uchun u son 3 ga bo'linishi zarur;

b) x soni 3 ga bo'linishi uchun u son 6 ga bo'linishi etarlidir.

5. Predikatlar ekvivalentsiyasi
X to'plamda A(x) va B(x) predikatlar berilgan bo'lsin. Bu

predikatlardan "A(x) bo'ladi faqat va faqat B(x) bo'lganda" degan yangi

predikatni tuzamiz. Bu predikatga A(x) va B(x) predikatlar

ekvivalentsiyasi deb aytiladi va u A(x)↔B(x) deb belgilanadi.

Predikatlar ekvivalentsiyasi A(x)→B(x) hamda B(x)→A(x)

implikatsiyalar konyunktsiyasidan iborat. A(x)↔B(x) ning rostlik

qiymatlar to'plamini aniqlaylik:

A(x) ning rostlik qiymatlar to'plami T

A

:

B(x) ning rostlik qiymatlar to'plami T

B

bo'lsin.

A(x)→B(x) ning rostlik qiymatlar to'plami T
A

'

È

T

B

B(x)→A(x) ning rostlik qiymatlar to'plami T

B

'

È

T

A

Yuqoridagi tasdiqqa asosan, A(x)↔B(x) ning rostlik qiymatlar to'plami

T=(T

A
'

È

T
B

)

Ç
(T

B
'

È

T
A

) dan iborat bo'ladi. To'plamlar birlashmasi

amallarining kommutativlik, assotsiativlik va distributivlik xossalarini

qo'llab, T=( T

A

'

Ç

T'
B

)

È
(T

B
Ç

T

A
) ni hosil qilamiz.

T- to'plamni Eyler-Venn doirasida tasvirlaymiz.

56
X

T
A

T

B
Demak, predikatlar ekvivalentsiyasining rostlik qiymatlar to'plami,

har bir predikat rostlik qiymatlar to'plami kesishmasi va har bir predikat

rostlik qiymatlar to'plami to'ldiruvchilari kesishmalarining birlashmasiga

teng.

M I S O L V A M A S A L A L A R

1. Quyidagi mulohazalarning rostlik qiymatlarini toping.
a) │7-9│=│7│-│9│; g) -9,27

Î

R;

b)
25

= - 5; d) 43 > 34;

c) -7,92
Î

Z; e) 1991

1991
son 3 ga bo’linadi.

2. Quyidagilardan qaysi biri mulohaza ,qaysisi predikat bo'-

lib hisoblanadi?

a) Ixtiyoriy trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslariga parallel va

ular yig'indisining yarmiga teng.

b) 4·5+11>31; c) 2x+1=13;

g) Egizak tub sonlar mavjud; d) x

2

+ y

2
= 16;

e) 3
1991

sonining oxirgi raqami 7 bilan tugaydi;

3. Quyidagi predikatlarning rostlik to'plamini toping

a) A(x): "4

Î

N b) B(x): "4

Î

R

c) C(x): "|x|<7", x

Î
R g) D(x): "|x-7|>-4", x

Î

R

d) F(x,u): "x

2
+y

2

= 36", x
Î

N e) E(x,y): "x·y=12", x

Î
Z

4. Quyidagi predikatlar ekvivalentmi?

a) │y│<│x│ va x

2

> y

2
b) x

3

- y

3
= 0 va x-y=0

c) x

2

- u

2
= 0 va x-u=0 g) x

3

- y

3
¹

0 va x-y

¹
0

d) x

2
- y

2
¹

0 va x-y

¹
0

5. X to'plamda berilgan predikatlar bir-birining inkori bo'lish

bo'lmasligini aniqlang,

57
a) A(x): "x o'quvchilar matematika to'garagiga qatnashadilar" B(x): "x

o'quvchilar a'lochi emas" (X-sinfdagi o'quvchilar to'plami)

b) C(x,y): "x to'g'ri chiziq, y to'g'ri chiziqqa parallel" D(x,y): "x to'g'ri

chiziq, y to'g'ri chiziq bilan kesishadi" (X tekislikdagi to'g'ri chiziq

to'plami)

6. Quyidagi mulohazalarning rostlik qiymatlar jadvalini tuzing.

a) A →(A

Ú
C) b) (A

Ù

B) → C

c) (A
Ú

B) → C g) A

Ú
B → C

d) A → (A

Ù

B) e) A

Ù
(A

Ù
B)

7. Natural sonlar to'plamida A(x):"x-3 ga karrali" va B(x):"x<53"

predikatlari berilgan.

a) Bu predikatlar konyunktsiyasi va dizyunktsiyasini ifodalang

b) Quyidagi mulohazalarni o'qing: A(12)

Ú

B(12), A(12)

Ù
B(12), A(6)

Ú

B(6), A(6)

Ù
B(6), A(23)

Ú

B(23), A(23)

Ù
B(23) va ularning rostlik

qiymatini toping

c) 6, 12, 23 sonlaridan qaysilari A(x) va B(x) predikatlar

konyunktsiyasining rostlik to'plamiga, qaysilari bu predikatlar

dizyunktsiyasining rostlik qiymatlari to'plamiga tegishli bo'ladi?

8. Geometrik figuralar to'plamida A(x): "x-figuralar - uchburchak" B(x):

"figura to'rtburchak", C(x): "x figura beshburchak" ,D(x): "x figuraning

barcha burchaklari to'g'ri", predikatlari berilgan.Quyidagi

implikatsiyalarni ifodalang va ularning rostlik qiymatlari to'plamini

Eyler doirasida tasvirlang.

a) B(x)

Ù
D(x)→C(x) b) A(x)→C(x)

c) A(x)

Ú

D(x) →C(x) g) A(x)

Ù
C(x)→D(x)

d) D(x)→C(x)

9. Predikatlarni belgilang va quyidagi mulohazalarni kvantorlar

yordamida yozing.

a) x

2
=5 tenglikni qanoatlantiruvchi x ratsional son mavjud emas.

b) Ixtiyoriy tub son toq bo'ladi

c) x

2
+ y

2
=z

2
tenglamani qanoatlantiruvchi butun sonlar mavjud

g) Ixtiyoriy a

Î

R va b

Î
R uchun a-b=x tenglikni qanoatlantiruvchi x

Î

R

son topiladi.

d) Diagonallari perpendikulyar romb bo'lmagan to'rtburchaklar mavjud.

10. X to'rtburchaklar to'plamida quyidagi predikatlar berilgan:

A(x): "x-figura-parallelogramm";

B(x): "x-figura-teng yonli trapetsiya";

C(x): "x-figura-romb";

D(x): "x-figura-o'q simmetriyaga ega";

E(x): "x-figura-simmetriya markaziga ega".

Quyidagi mulohazalardan qaysisi rost, qaysisi yolg'on ekanligini

aniqlang.

a) (

"
x) (A(x) → E(x)) b) (

$

x) (D(x) → E(x))

c) (
"

x) (D(x) → C(x)) g) (

$
x) (B(x) → D(x))

58
d) (

"
x) (E(x) → A(x)) e) (

"

x) (C(x) → A(x))

j) (
"

x) (C(x) → A(x)) z) (

$
x) (C(x) → A(x))

11. Quyidagi tasdiqlar berilgan:

A(n): "n soni 3 ga bo'linadi";

B(n): "n soni 2 ga bo'linadi";

C(n): "n soni 4 ga bo'linadi";

D(n): "n soni 6 ga bo'linadi";

E(n): "n soni 12 ga bo'linadi";

Quyidagi tasdiqlardan rost va yolg'onlarini aniqlang.

a) (

"
n) (A(n)

Ù

E(n)) → E(n))

b) (
"

n) (B(n)

Ù
D(n)) → E(n))

c) (

$

n) (C(n)

Ù
D(n)) → E(n))

g) (

"

n) (E(n)→C(n))

Ù
D(n))

A D A B I YO T L A R :

1. Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало. Математика. М.

«Просвещение», 1977.

2. А.А.Столяр, Л.П.Лельчук. Математика. Минск, 1975.

3. А.А.Калужнин. Элементы теории множеств и математической

логики в школьном курсе математики, М. «Просвещение»,

1976.

4. Л.П.Стойлова, А.М.Пышкало. Основы начального курса

математики. М. «Просвещение», 1988.

5. А.М.Пишкало ва бошкалар. Теоритические основы начального

курса математики. М. «Просвещение»,1974.

6. Л.П.Стойлова, Н.Н.Лаврова. Задачник

практикум

по

математики. М. «Просвещение», 1985.

7. Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси
асослари. Тошкент,1991.

8. Ф.М.Косимов, П.Ш.Ёкубов. Математик логика элементлари.

Бухоро, 1995.

NAZORAT SAVOLLARI

1. Mulohaza nima?

2. Mulohazalar inkori deb nimaga aytiladi?

3. Mulohazalar konyunktsiyasi ta'rifini ayting, xossalarini keltiring.

4. Mulohazalar dizyunktsiyasi ta'rifini keltiring va xossalarini ayting.

5. Mulohazalar implikatsiyasi ta'rifini keltiring. Uning rostlik

qiymatlar jadvalini tuzing.

6. Mulohazalar ekvivalentsiyasi nima? Uning rostlik qiymatlar

jadvalini tuzing

7. Predikat nima? Bir o'rinli predikatlarning aniqlanish sohasi, rostlik

qiymatlar to'plami deganda nimani tushunasiz?.

8. Kvantorlar deb nimaga aytiladi? Ularning qanday turlarini bilasiz?

9. Predikatlar inkorining rostlik qiymatlar to'plami nimadan iborat?

59
10.Predikatlar dizyunktsiyasi va konyunktsiyasining rostlik qiymatlar

to'plami qanday topiladi?

11.Predikatlar implikatsiyasining rostlik qiymatlar to'plami qanday

topiladi?

12.Mulohazalar va predikatlar tushunchasining boshlang'ich sinflarda

tutgan o'rnini ko'rsating?

MAVZU: TEOREMALAR TUZILISHI . TEOREMALAR TURLARI.

REJA:

1. 1.Teorema tuzilishi

2. 2.Teoremalar turlari.
3. 3.Zarur va etarli shartlar

4. 4.Teskari teorema, teskarisidan isbot qilish yo'li bilan isbotlash.

Tayanch iboralar: Asosiy (dastlabki) tushunchalar- ta'rifsiz qabul
qilingan tushunchalar; Aksioma-isbot talab qilinmaydigan mulohaza

(jumla); Teorema-isbot talab qilinadigan mulohaza (jumla); Teorema

tarkibi (tuzilishi)- 3 qismdan iborat:

a) Tushuntiruvchi qism

b) Teorema sharti

c) Teorema xulosasi

1.Tushunchalarni ikkinchi bir tushunchalar orqali ta'riflash va

munosabatlarning xossalarini ikkinchi xossalar orqali isbotlash matematik

nazariyaning mazmunini ifodalaydi. Biroq matematik nazariyadagi

hamma tushunchalarga ta'rif berish va munosabatlarning ko'riladigan

hamma xossalarini isbotlash mumkin emas. Chunki ta'riflanuvchi har bir

tushuncha o'zining oldingi tushunchalar orqali ta'riflanadigan va

binobarin isbotlanuvchi har bir xossa o'zidan oldingi xossalar yordamida

isbotlanadi.

Agar nazariya boshlanishiga tomon harakat qila borsa

tushunchalar va xossalarni birin- ketin ko'zdan kechirib ta'riflanmas

tushunchalar va isbotlanmas xossalarga albatta kelib yetamizki, ularni

ta'riflash uchun nazariyada ulardan oldin turgan tushuncha va xossa

bo'lmaydi. Bu xildagi tushunchalar boshlang'ich (dastlabki, ta'riflanmas)

tushunchalar deyiladi. Shuningdek, boshlang'ich (dastlabki, isbotlanmas)

xossalar mavjud bo'lib, ularni isbotsiz qabul qilish mumkin. Ularni

aksiomalar deymiz. Isbotlanuvchi xossalar esa teoremalar deb ataladi.

Asosiy (boshlang'ich) tushunchalarning xossalari aksiomalarda

isbotsiz qabul qilinadigan (ba'zi nazariyalarda) jumlalarda ochiladi.

Masalan, geometriyaning "nuqta ", "to'g'ri chiziq", "tekislik" kabi asosiy

tushunchalarning xossalari ushbu aksiomalarda kiritilgan.

To'g'ri chiziq qanday bo’lmasin, to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lgan

nuqtalar va to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtalar mavjud. Ixtiyoriy

ikkita nuqta orqali bitta va faqat bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin.

60
To'g'ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi. Biz faqat

berilgan tushunchalarning xossalarini ochuvchi ba'zi aksiomalarni aytib

o'tdik.

Umuman ixtiyoriy matematik nazariyaning aksiomalar sistemasi
asosiy tushuncha xossalarini ochish bilan, aslini deganda, ularning

ta'rifini beradi. Bu ta'riflar aksiomatik ta'riflar deyiladi.

Tushunchalarning asosiy bitilmagan va ta'riflarga kiritilmagan

xossalari odatda isbotlanadi, ya'ni ta'riflarda aksiomalar va ilgari

isbotlangan xossalardan natija sifatida keltirib chiqariladi.

Tushunchalarning isbot qilinadigan xossalari ko'pincha teoremalar,

ba'zida natijalar yoki alomatlar deb ataladi. Algebrada- formulalar,

ayniyatlar, qoidalar deb ataladi.

Har xil aytilishiga qaramay bu jumlalarning tuzilishi har xil

bo’ladi, shuning uchun ularning hammasi teoremalar deb ataladi.

Matematik teorema to'g'riligini (haqiqatligini) isbotlash bilan

yuzaga chiqaradigan mulohazadir.

Shunday qilib, teorema bir A xossadan B xossani kelib chiqishi

haqidagi fikr ekan. Bu fikrning rostligini isbotlash yo'li bilan aniqlanadi.

Teorema A → B ko'rinishidagi fikr bo'lganligi uchun uning so'zma- so'z

ifodasi turlicha shaklga ega bo'lishi mumkin. Biroq teorema qanday

ko'rinishda ifodalangan bo'lmasin unda har doim A shart (nima berilgan)

va B xulosa (nima isbotlash kerak) ajratiladi. Teorema asosan 3 qismdan

tuzilgan:

1. Tushuntirish qismi

2. Teorema sharti

3. Teorema xulosasi

Masalan, “to'g'ri burchakli uburchak gipotenuzasining kvadrati, katetlar

kvadratlari yig'indisiga teng” teoremani olsak, bunda :

1.) Uchburchaklar haqida

2. )Uchburchak to'g'ri burchakli sharti

3.)“Gipotenuzaning kvadrati katetlar kvadratining yig'indisiga teng”

jumla teoremaga xulosa bo'ladi.

Demak, har qanday teoremani matematik tilda quyidagicha yozish

mumkin:

(

"
x

Î

X) A(x) → B(x)

Tushuntiruvchi sharti; xulosasi. qism;

Misollar:

1. Quyidagi teoremalarni shart va xulosalarga ajrating.

a) Agar uchburchaklar o'xshash bo'lsa, u holda ularning mos chiziqli

o’lchovlari nisbatlari o’zaro teng bo'ladi: "Uchburchaklar o'xshash"-

shart; "Ularning mos chiziqli o’lchovlari nisbatlari o’zaro teng bo'ladi"-

xulosa;

61
b) Agar ko’pburchak muntazam bo'lsa, u holda unga ichki aylanma

chizish mumkin: "Ko'pburchak muntazam bo'lsa"- shart; "Unga aylanma

chizish mumkin"- xulosa;

c) Agar ikkita to'g'ri chiziq bitta to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lsa ,

bu to'g'ri chiziqlar o'zaro parallel bo'ladi. "Ikki to'g'ri chiziq bitta to'g'ri

chiziqqa perpendikulyar" - shart. "To'g'ri chiziqlar o'zaro parallel

bo'ladi"- xulosa.

To'rt xil teorema turi mavjud:

1. To'g'ri teorema (

"

x

Î

X) A(x) → B(x)
2. Teskari teorema (shart va xulosa o'rni almashadi)

(

"

x

Î
X) B(x) → A(x)

3. Qarama-qarshi teorema (

"

x

Î
X) A(x) → B(x)

4. Qarama-qarshi teoremaga teskari teorema (

"

x

Î

X) B(x) → A(x)

Ushbu A → B teorema berilgan bo'lsin, undan B → A, A → B,

B→A ko'rinishdagi fikrlarni hosil qilamiz. A → B va B → A teoremalar

bir-biriga teskari teoremalar, A → B va A → B teoremalar esa bir-biriga

qarama-qarshi teoremalar deyiladi.

B → A teorema qarama-qarshi teoremaga teskari teorema deyiladi.

Misol, Ushbu teorema berilgan: "Agar burchaklar vertikal burchaklar

bo'lsa , u holda ular teng bo'ladi". Bu teoremaga teskari, qarama-qarshi

va qarama-qarshiga teskari teoremalarni ifodalaymiz. Berilgan

teoremaga teskari teorema: "Agar burchaklar teng bo'lsa, u holda ular

vertikal burchaklar bo'ladi" – bu yolg'on fikr.

Berilgan teoremaga qarama-qarshi teorema: "Agar burchaklar

vertikal burchaklar bo'lmasa, u holda ular teng bo'lmaydi", bu ham

yolg'on fikr . Qarama-qarshisiga teskari: "Agar burchaklar teng bo'lmasa ,

u holda ular vertikal burchaklar bo'lmaydi " , bu chin fikr . A → B va

B→A teoremalarning teng kuchli ekani, ya'ni har doim A → B teorema

chin bo'lganda B →A teorema chin va aksincha bo'lishi aniqlangan.

Xuddi shuningdek teskari teorema bilan qarama – qarshi teorema ham

teng kuchli bo’ladi. Hosil bo'lgan teng kuchlilik kontropozitsiya qonuni

deyiladi.

1.Agar x soni 2 ga bo'linsa, u holda bu sonning oxirgi raqami ham 2 ga

bo'linadi. A(x) → B(x).

2.Agar x sonning oxirgi raqami 2 ga bo'linsa, u holda bu son 2 ga

bo'linadi. B(x) → A(x)

3.Agar x soni 2 ga bo'linmasa , u holda bu sonning oxirgi raqami ham 2

ga bo'linmaydi.

A(x) → B (x)

4. x sonining oxirgi raqami 2 ga bo'linmasa, u holda bu son 2 ga

bo'linmaydi.

B(x) → A(x)

62
Biroq, har bir teoremaga teskari teorema mavjud bo'lavermaydi.

Masalan, " Butun sonning oxirgi raqami 5 bo'lsa, bu son 5 ga bo'linadi"

teoremaga teskari teorema yo'q , chunki unga teskari teorema

quyidagidan iborat bo'lishi lozim.

"Butun son 5 ga bo'linsa, uning oxirgi raqami 5 bo'ladi". Bunday tasdiq

umuman noto'g'ridir. Chunki 5 ga bo'linuvchi butun sonning oxirgi

raqami faqat 5 bo'lmay, 0 ham bo'lishi mumkin.

A→B ko'rinishidagi biror-bir teorema isbotlangandan keyin unga teskari

teoremani tekshirish ma'noga egadir, hamda uning mustaqil isbotini

o'tkazish kerak. Chunki berilgan teoremaga teskari teorema yolg'on

bo'lishi ham mumkin.

Agar berilgan teorema ham, unga teskari teorema ham to'g'ri bo'lsa, u

holda ularni bo'lganda va faqat shunday bo'lganda "yoki zarur va etarli"

so'zlari yordamida bitta teoremaga birlashtirishimiz mumkin.

Jumlalar orasidagi kelib chiqishlik munosabati matematikada ko'p

qo'llaniladigan "zarur" va "etarli" so'zlarning ma'nosini aniqlashtirishga

imkon beradi.

Agar A jumladan B jumla kelib chiqsa , u holda B A uchun

zarur shart A esa B uchun etarli shart deyiladi.

Boshqacha so'z bilan aytganda, B jumla mantiqan A dan kelib chiqsa, B

jumla A uchun zarur shart deyiladi. Agar A jumladan B jumla kelib

chiqsa, A jumla B uchun etarli shart deyiladi. A → B B jumla A

uchun zarur shart A jumla B uchun etarli shart.

Agar A va B jumlalar teng kuchi jumlalar bo'lsa, u holda A jumla

B uchun zarur va etarli shart deyiladi va aksincha: A ↔ B.

1-misol: Ilgari biz A - "x va y burchaklar vertikal burchaklar",

jumladan, B -"x va y burchaklar teng" jumla kelib chiqishini aniqlagan

edik. Shuning uchun yuqorida berilgan ta'rifga ko'ra burchaklarning

vertikal bo’lishi bu burchaklarning tengligi uchun zaruriy shart

burchaklar tengligi burchaklar vertikal b’lishi uchun yetarli shart bo’ladi.

Shunga ko'ra , "agar burchaklar vertikal bo'lsa, u holda ular teng"

jumlani "zarur" va etarli so'zlardan foydalanib boshqacha ifodalash

mumkin:

1. Burchaklar vertikal bo'lishi uchun ular teng bo'lishi zarur.
2. Burchaklar teng bo'lishi uchun vertikal bo'lishi etarli.

2-misol: A-"x sonining yozuvi 0,2,4,6,8 raqamlarining biri bilan tugaydi"

jumla, B-"x soni 2 ga bo'linadi" jumla bo'lsin. Ma'lumki, x sonining

yozuvi 0,2,4,6,8 raqamlarining biri bilan tugashidan bu sonning 2 ga

bo'linishi kelib chiqadi. Teskari da'vo, ham o'rinli.Demak, berilgan A va

B jumlalar teng kuchli va ularning har biri zarur va etarli shart bo'ladi.

Shuning uchun bunday deyish mumkin: sonning 2 ga bo'linishi uchun bu

sonning yozuvi 0,2,4,6,8 raqamlarning biri bilan tugashi zarur va etarli .

Sonning 2 ga bo'linishining ma'lum alomati hosil bo'ladi.

63
3-misol: Ushbu "to’rtburchakning romb bo'lishi uchun uning diagonallari

o'zaro perpendikulyar bo'lishi zarur" jumla berilgan bo'lsin. Bu jumlani

boshqacha ifodalash mumkin yoki mumkin emasligini aniqlaymiz.

"Rombning diagonallari o'zaro perpendikulyar" jumla to'rtburchak-

romb jumladan kelib chiqayotgani uchun "To'rtburchakning romb bo'lishi

uchun uning diagonallari o'zaro perpendikulyar bulishi zarur" jumlani

yana bunday ifodalash mumkin:

1. 1.To'rtburchakning romb bo'lishidan uning diagonallari o'zaro

perpendikulyar bo'lishi kelib chiqadi.

2. Har qanday rombning diagonallari o'zaro perpendikulyar.

3. 3.Agar to'rtburchak romb bo'lsa, u holda uning diagonallari o'zaro

perpendikulyar bo'ladi.

4. 4.To'rtburchak diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lishi uchun

uning romb bo'lishi etarli.

A → B ga teskari B → A teorema mavjud bo'lmasa B dan A kelib

chiqmaydi va demak, bu holda A ning bajarilishi B ning bajarilishi uchun

etarli shart bo'lib xizmat qiladi. Bunday teoremalarga faqat etarli shartni

beruvchi teoremalar deymiz. Masalan, uchburchakda bitta ichki

burchakning to'g'riligi qolgan ichki burchakning o'tkirligi uchun faqat

etarli shart bo'lib xizmat qiladi.

Odatda , boshlang'ich matematika kursida "zarur" va "etarli"

so'zlari ishlatilmaydi , biroq bularning sinonimlari mos ravishda "kerak"

va "mumkin" so'zlari keng foydalaniladi. Misol keltiramiz.

Masala: Birinchi qutida 6 ta, ikkinchisida esa undan 2 ta kam qalam bor.

Ikkala qutida nechta qalam bor.

Masala echimini topish mumkin bo'lgan yo'llardan biri bunday

bo'lishi mumkin. O'qituvchi so'raydi: Hammasi bo'lib nechta qalam

borligini birdaniga bilish mumkinmi (ya'ni berilgan savolga birdaniga

javob berish uchun masalada ma'lumotlar etarlimi)?

O'quvchi javob beradi:

- Mumkin emas, yana ikkinchi qutida nechta qalam borligini bilish kerak

(ya'ni buni bilish zarur).

O'qituvchi yana so'raydi:

- Ikkinchi qutida nechta qalam borligini bilish mumkinmi (ya'ni bu

savolga javob berish uchun masaladagi ma'lumotlar etarlimi)?

- Mumkin,- javob beradi o'quvchi.- Buning uchun nima qilish kerak?

So’raydi va hokazo. O'quvchilarning "kerak" va "mumkin" so'zlarini

to'g'ri qo'llay olishlari bundan buyon matematikani o'rganishga "zarur"

va "etarli" so'zlaridan foydalanishlarida muvaffaqiyat garovidir.

Quyidagi mulohazalarda "etarli" va "zarur" so'zlari natijasida rost

mulohaza hosil bo'ladigan qilib qo'yamiz:

a) agar A(x) → B(x) bo'lsa, u holda A (x) predikat B (x) uchun etarli:

B(x) va A (x) uchun zarur.

64
b) Agar B(x) → A (x) bo'lsa, u holda A (x) predikat B (x) uchun zarur:

B (x) esa A (x) uchun etarli bo'ladi.

A → B (B↔A) teoremani isbotlash , ya'ni A → B teoremada A

ning chinligiga asosan, B ning chinligi kelitirib chiqarish (yoki A↔B

teoremada A chinligiga asosan B ning chinligini ham keltirib chiqarish )

turli metodlar yordamida bajariladi. Shu metodlardan biri qarama-

qarshisini faraz qilib isbotlash metodi. Bu metodning mohiyati shundan

iborat: Chinligini isbotlash lozim bo'lgan B xulosani yolg'on deb faraz

qilamiz. U holda B ning inkori chin bo'ladi. B ni yangi asos sifatida qarab

A dan B ning kelib chiqishi lozimligiga va B ga suyanib A ning chinligini

kelitirib chiqaramiz, ya'ni:

( A → B)

Ù

(B → A) formulani hosil qilamiz. Bu formula

ham doimo chindir . Formulaning doimo chinligi(A Yu B) B dan A ning
haqiqatdan chin oqibat bo'lib chiqish lozimligini tasdiqlaydi. Ammo bu ,

ziddiyatga olib keladi chunki A emas, balki A chin deb berilgan . Bundan

V yolg'on deb qilingan faraz noto'g'ri ekanligi ma'lum bo'ladi va V ning

chinligi tasdiqlanadi.

Buni "To'g'ri chiziqning har bir nuqtasining unga perpendikulyar

to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin va faqat birgina ". isboti misolida

tushuntiramiz. Teoremada to'g'ri chiziqning har bir nuqtasi unga faqat

bitta perpendikulyar o'tkazish deb tasdiqlanadi. Biz bunday to'g'ri

chiziqlardan ikkita o'tkazish mumkin deb faraz qilib berilgan yarim to'g'ri

chiziqdan boshlab berilgan yarim tekislikka gradus o'lchovlari bir xil 90°

bo'lgan ikkita burchak qo'yish mumkin, degan xulosaga qildik.Bu esa

burchaklarni qo'yish aksiomasiga zid. Bu aksiomaga binoan berilgan

yarim to'g'ri chiziqdan berilgan yarim tekislikka berilgan gradus o'lchovi

faqat bitta burchak qo'yish mumkin.

"Teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari teng" teoremaga

"Uchburchakning ikkita burchagi teng bo'lsa, bu uchburchak teng yonli

bo'ladi" degan teorema teskari teorema deyiladi. Birinchi teoremaning

xulosasi, ikkinchi teoremaning shartidir. Ikkinchi teoremaning sharti

esa, birinchi teoremaning xulosasidir.Har qanday teorema uchun ham

teskari teorema mavjud bo'lavermaydi, ya'ni berilgan teorema to'g'ri

bo'lsa, unga teskari teorema to'g'ri bo'lmasligi mumkin. Buni vertikal

burchaklar haqidagi teorema misolida tushuntiramiz. Bu teoremani

bunday ifodalash mumkin: agar ikkita burchak vertikal burchaklar bo'lsa ,

ular teng unga teskari teorema bunday bo'lar edi: Ikkita teng burchak ,

umuman vertikal burchaklar bo'lishi shart emas.

Mavzuga doir misollar:

1. → belgisidan foydalanib quyidagi mulohazalarni yozing:

a) P (x) predikat Q (x) uchun etarli shart ;

b) Q (x) predikat A (x) uchun etarli shart;

c) P (x) predikat Q (x) uchun zaruriy shart ;

d) Q (x) predikat P (x) uchun zaruriy shart

65
2. Quyidagi jumlalarni → yoki ↔ belgilarni qo'yib yozing:

a) S (x) o'rinli bo'lishi uchun E (x) bajarilishi zarur;

b) S (x) o'rinli bo'lishi uchun E (x) bajarilishi etarli;

c) S (x) o'rinli bo'lishi uchun E (x) bajarilishi zarur va etarli.

3. Dadasi Fozilga aytdi: "Agar men yozda mehnat ta'tiliga chiqsam, u

holda sayohatga boramiz". U maktabda do’stlariga dedi: "Agar biz dadam

bilan sayohatga borsak, u holda dadam yozda mehnat ta'tiliga chiqadilar".

Fozil dadasining fikrini to'g'ri ifodaladimi?

4. “To'rtburchakning diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lishi uchun bu

to'rtburchak kvadrat bo'lishi etarli” degan teorema berilgan bo'lsin. Undan

shart va xulosalarni ajrating va “kelib chiqadi”, “ixtiyoriy” so'zlaridan

foydalanib, qaytadan tuzing.

NAZORAT SAVOLLARI:

1. Asosiy tushunchalar deganda nimani tushunasiz?

2. Aksioma nima? Teorema-chi?

3. Teorema qanday tuzilgan?

4. Teoremaning necha xil turlarini bilasiz?

5. Zaruriy va etarli so'zlar ma'nosini ochib bering?

6. Teskari teorema har doim mavjudmi?

7. Teskarisini faraz qilish yo'li bilan isbotlanadigan jumlani qanday

tushunasiz?

Foydalanilgan adabiyotlar:

1.Р.И.Искандаров, Р.Назаров. Алгебра ва сонлар назарияси. Т.

«Укитувчи»,1997.

2.Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси

асослари. Т. «Укитувчи»,1991.

3.Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало. Математика. М. «Просвещение»,

1977.

4.Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Т. «Укитувчи»,

1996.

66
Mavzu: Binar moslik tushunchasi.

Moslik graf va grafigi.

R E J A :

1. Binar moslik tushunchasi. Moslik graf va grafigi.

2. Moslik turlari.

3. Mosliklar ustida amallar.

4. Boshlang'ich matematika kursida mosliklarning tutgan o’rni.

TAYANCH IBORALAR: Binar moslik – ikki to'plam orasidagi

moslik.Moslik grafi, moslik grafigi, to'la moslik, bo'sh moslik, mosliklar

birlashmasi , kesishmasi.

To'plamdagi munosabatlardan tashqari ko'pincha ikki to'plam

elementlari orasidagi munosabatlarni qarashga to'g'ri keladi. Hayotda

turlicha to'plam elementlari orasida turli xildagi munosabatlarni o'rnatish

mumkin. Bunday munosabatlar m o s l i k l a r deb aytiladi. Masalan,

kesmalarning uzunliklarini o'lchash jarayonida kesmalar va haqiqiy

sonlar orasida moslik o'rnatiladi; koordinata tekisligi yordamida tekislik

nuqtalari va haqiqiy sonlar juftliklari orasida moslik o'rnatiladi; harbiy

xizmatchilar va rotalar orasida "a soldat b rotada xizmat qiladi"; talabalar

to'plami va oliygohlar to'plami orasida quyidagi moslikni aytish mumkin:

"a talaba b oliygohda o'qiydi"; shuningdek talabalar bilan tumanlar

o'rtasida quyidagi moslikni yasash mumkin "a talaba b tumandan" va

hokazo".

X va Y to'plamlar berilgan bo'lsin. Bu to'plam elementlari orasida

berilgan moslikka b i n a r m o s l i k deb aytiladi.

Binar so'zi lotincha "bus" so'zidan olingan bo'lib, ikki to'plam

orasidagi moslik ma'nosini bildiradi.
X - transportlar to'plami;

Y - haydovchilar to'plami bo'lsin.

R (x; y) : " x transportni y haydovchi haydaydi" .

Yuk mashina

Yengil mashina

Poyezd

Samolyot

Kosmik kema

Shofyor

Uchuvchi
Machinist

Kosmonavt

Yo’lovchi

X

Y

67
G = { ( engil mashina; shofyor) ; ( yuk mashinasi; shofyor) ; ( poezd;

mashinist); (samolyot; uchuvchi); (kosmik kema; kosmonavt); (samolyot;

kosmonavt) }

G

Ì

X*Y

O'z mohiyatiga ko'ra ikki X va Y to'plam elementlari orasidagi moslik,

to'plamdagi munosabat kabi juftliklar to'plamini ifodalaydi, hamda X va

Y to'plamlar Dekart ko'paytmasining qism to'plami bo'ladi. Bu jumlaga

dalil sifatida yuqorida yozilgan misolni keltirish mumkin.

Binar moslikda ishtirok etuvchi X to'plamga yo'naltiruvchi soha, Y esa

qabul qiluvchi soha deyiladi. Moslikda ishtirok etuvchi tartiblangan

juftliklar to'plami G

Ì

X*Y ga moslik grafigi deyiladi. To'plamlar

orasidagi moslikni chizmada berish esa m o s l i k g r a f i deyiladi.
Moslik grafi turli xil shakllarda ifodalanishi mumkin. Quyidagi 2-misolni

ko'rib chiqamiz.

X = { 6 ; 8 ; 10 ; 12 }

Y = { 7 ; 9 ; 13 }

R (x ;y) : "x soni y dan katta".

Shundan moslik grafigini yasaymiz.

G = { (8 ; 7) (10 ; 7) (12 ; 7) (10 ; 9) (12 ; 9)} - moslik grafigi.

X * Y={(6 ; 7) (6 ; 9) (6 ; 13) (8 ; 7) (8 ; 9) (8 ; 13) (10 ; 7) (10 ; 9)

(10 ; 13) (12 ; 7) (12 ; 13)} -Dekart ko'paytmasi.

G X * Y

Moslik grafi quyidagicha bo'lishi mumkin.

1) 2)
X Y 13

9 · ·

7 · · ·

6 8 10 12

Chekli to'plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko'rgazmali

ifodalanadi. Masalan, X = {3, 5, 7, 9,} va Y={4,6} to'plamlar elementlari

orasidagi "katta" mosligining grafini yasaymiz. Buning uchun berilgan

to'plamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilaymiz va X to'plam

elementlarini tasvirlovchi nuqtalardan Y to'plam elementlarini

tasvirlovchi nuqtalarga strelkalar o'tkazamiz, bunda "katta" mosligi

bajarilishi kerak. Masalan, strelka 5 nuqtadan 4 nuqtaga borishi kerak,

6.

8.

10.

12.

.7
.9

.13

68
chunki 5 soni 4 dan katta. 7 nuqtadan 4 va 6 nuqtalarga boruvchi

strelkalar bo'lishi kerak va hokazo. Natijada X va Y to'plamlar

elementlari orasidagi "katta" mosligiga ega bo'lamiz.

X va Y sonli to'plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata

tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. Buning uchun R moslikda
bo'lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligidagi grafik yordamida

tasvirlanadi. Buning uchun R moslikda bo'lgan barcha sonlar jufti

koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida

hosil bo'lgan figura R moslikning grafigi bo'ladi. Aksincha, koordinata

tekisligi nuqtalarining ixtiyoriy qism to'plami biror moslikning grafigi

hisoblanadi.

Masalan, X={3,5,7,9} va Y={4,6} to'plamlar elementlari orasidagi
"katta" mosligining grafini yasaymiz. Berilgan moslikda bo'lgan sonlar

juftini yozamiz: (5;4), (7;6), (7;4) , (9;4), (9;6) . X to'plam elementlarini

OX o'qda, U to'plam elementlarini OY o'qda tasvirlaymiz , hosil b

o'

lgan

har bir juftlikning esa koordinata tekisligida nuqta bilan tasvirlab, X va Y

to'plam elementlari orasidagi "katta" mosligining grafini hosil qilamiz.

Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko'p sonlar

jufti bo'lgan vaziyatda ko'rgazmali tasvirlash imkonini beradi. Masalan,

X=R va Y= {4,6} to'plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligini

qaraylik va uning grafigini yasaylik.

Bu holda X to'plam elementlari abtsissalar o'qini butunlay to'ldirdi,

Y to'plam esa ikkita elementdan iborat:4 va 6 . X va Y to'plam

3

5

7

9
4

6

X
Y

5 7 9

6
4

0

Y
X

· ·

· · ·

69
elementlari uchun "katta" mosligi berilgani uchun X to'plamdagi qanday

sonlar 4 dan katta ekanini aniqlaymiz. 4 dan katta hamma sonlar OX

o'qida 4 sonini tasvirlovchi nuqtadan o'ng tomonda joylashadi. Demak,

abtsissasi (4;∞) oraliqdan olinuvchi, , ordinatasi esa 4 ga teng bo'lgan

barcha nuqtalar AB nurni hosil qiladi.

Bu nur boshlang'ich nuqtaga ega emas, chunki (4;4) nuqta berilgan

moslikning grafigiga tegishli emas. Shunga o'xshash , abtsissasi (6;∞)

oraliqdan olinuvchi , ordinatasi esa 6 ga teng bo'lgan barcha nuqtalar CD

nurni hosil qiladi.

Shunday qilib, X=R va Y={4;6} to'plamlar elementlari orasidagi "katta"

mosligi grafigi AB va CD nurlari bo'lib : bunda A va C nuqtalar grafikka

kirmaydi.

Ayni bir "katta" mosligining grafiklari turli to'plamlarda turlicha

bo'lishini aytib o'tamiz. Bunga yana bir marta ishonch hosil qilish uchun

R haqiqiy sonlar to'plamida berilgan , ya'ni X=Y=R holdagi "katta" (x,y)

mosligining grafigini yasaymiz.

Y

X

6

4

4 6

0
C

A

B

D

70
Abtsissasi ordinatasiga teng bo'lgan hamma sonlar 1- va 3- koordinata

burchaklari bissektrisada joylashadi.

Abtsissasi ordinatasidan katta bo'lgan hamma nuqtalar bissektrisa ostida

joylashgan. Bunga ishonch hosil qilish uchun bu sohadan nuqta ,

masalan A (3;0) nuqtani olish etarli.

Shunday qilib , R haqiqiy sonlar to'plamida berilgan "katta" mosligining

grafigi 1- va 3- koordinata burchaklari bissektrisasining o'zi bu yarim

tekislikka tegishli bo'lmaydi.

Ta'rif: X va Y to'plamlar orasida berilgan R moslik grafigi G shu

to'plamlar Dekart ko'paytmasi bilan ustma- ust tushsa, u holda bunday

moslikka to'la moslik deyiladi.

Masalan, X= {1;2;3} Y= {4;5} R: "x soni y dan kichik"

G= {(1;4) (1;5) (2;4) (2;5) (3;4) (3;5)}

X·Y= {(1;4) (1;5) (2;4) (2;5) (3;4) (3;5)}

Moslik turlarining ikkinchisi - bo'sh moslik. X va Y to'plam ustida

berilgan. R - moslikka bo'sh moslik deyiladi, agar G= bo'lsa.

Masalan , X= {1;2;3} Y={4;5}

R= "x soni y dan katta yoki teng" G=

Agar X va Y to'plamlar orasida berilgan R moslik grafigi G bo'sh

bo'lmasa , to'plamlar Dekart ko'paytmasiga teng bo'lmasa, unda mosliklar

noto'ladir.Masalan, X= {1;2;3} Y={4;5} R: "x soni y dan 2 ta kam"

G={(2;4) (3;5)}

R:X={3;5;7} va Y={4;6} to'plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligi

bo'lsin. U holda R={(5;4) (7;4) (7;6)} va bu munosabatlarning grafigi a-

rasm kabi bo'ladi.

X

Y

71
Bu grafning strelkalari yo'nalishini teskariga almashtiramiz. X va Y

to'plamlar orasida qaraladigan hamda (4;5) (4;7) (6;7) juftliklar bilan

aniqlanadigan yangi "kichik" munosabati grafigiga ega bo'lamiz. (b-

rasm). Grafi b- rasmda tasvirlangan moslik berilgan R moslikka teskari

moslik deb ataladi va R simvoli bilan belgilanadi . Berilgan R moslikka

teskari moslik umumiy ko'rinishda quyidagicha ta'riflanadi:

Ta'rif: R X va Y to'plamlar elementlari orasidagi moslik bo'lsin, Agar

xRy bo'lganda va faqat shu holda yR

-1

x bo'lsa , X va Y to'plamlar

elementlari orasidagi R
-1

moslik berilgan moslikka teskari moslik deb

ataladi.
Binar moslik to'plamlar ustida berilganligi uchun to'plamlar ustida

bajariladigan amallar mosliklar ustida ham bajariladi, ya'ni mosliklar

ustida kesishmasa, birlashma amallar o'rinli.

X va Y to'plamlar orasida R va S mosliklar berilgan bo'lsin. Bu

mosliklarning birlashmasi deb shunday P moslikka aytiladiki, P= R

È

S

R- moslik grafigi G

1
S - moslik grafigi G

2

P- moslik grafigi G= G

1
È

G

2

Masalan , X={3;4;5;6;7}

Y={5;6;8;10}

R:" x soni y dan 2 ta kam"

S: " x soni y dan 2 marta kichik"

G

1

= {(3;5) (4;6) (6;8)}

G

2

= {(3;6) (4;8) (5;10)}

P: "x soni y dan 2 ta kam yoki 2 marta kichik"

G= G

1

È

G

2

= {(3;5) (4;6) (6;8) (3;6) (4;8) (5;10)}

Ikki X va Y to'plam elementlari orasida o'rnatish mumkin bo'lgan barcha
mosliklardan bizni birinchi navbatda X to'plamning har bir elementiga Y

a-rasm

3

5

7

4

6

X

Y

3

5

7

4

6

X

Y

b-rasm

72
to'plamning yagona elementi mos keladigan va Y to'plamning har bir

elementiga X to'plamning faqat birgina elementiga mos keladigan

mosliklar juda qiziqtiradi. Bunday mosliklar o'zaro bir qiymatli mosliklar

deb ataladi.

X- koordinata to'g'ri chizig'i nuqtalari to'plami, Y=R bo'lsin. Koordinata

kiritilishi bilan to'g'ri chiziqdagi har bir nuqtaga yagona son (shu

nuqtaning koordinatasi) mos qo'yilishi va har bir haqiqiy son shu to'g'ri

chiziqning yagona nuqtasiga (o'z koordinatasiga shu songa ega bo'lgan)

mos qo'yilishi sababli , o'rnatilgan moslik o'zaro bir qiymatli moslik

bo'ladi.

X -koordinata tekisligi nuqtalar to'plami, Y haqiqiy sonlar juftliklari

to'plami bo'lsin . Agar tekislikning har bir nuqtasiga haqiqiy sonlarning

yagona juftligi (shu nuqtaning koordinatalari) mos qo'yilsa va haqiqiy

sonlarning har bir juftligi (o'z koordinatasida shu sonlar juftiga ega

bo'lgan) shu tekislikning yagona nuqtasiga mos qo'yilsa, u holda

koordinata tekisligi nuqtalari to'plami va haqiqiy sonlar juftliklari

orasidagi moslik o'zaro bir qiymatli moslik bo'ladi.

Tabiatda mosliklarni juda ko'plab kuzatish mumkin. Moslik tushunchasi

keng qo'llaniladi. Ayniqsa, boshlang'ich sinf matematika kursida

mosliklarga katta o'rin beriladi. Masalan, "katta", "kichik", "teng"

munosabatlarini o'rnatishda ham mosliklar katta ahamiyatga ega.

Kundalik hayotda ham juda ko'plab mosliklar uchraydi. Masalan,

yotoqxonada yashovchi bolalarning xona bo'yicha navbatchilik qilishi

kabi mosligini o'rnatish mumkin. "x soni y dan 3 ta kam", "x soni y dan 2

marta ko'p", "x soni y dan 2 marta kichik" kabi jumlalarni boshlang'ich

sinflarda ko'plab uchratish mumkin.

Boshlang'ich matematikani o'qitishda o'zaro teskari munosabatlarga katta

e'tibor beriladi. O'quvchilar agar 5>3 bo'lsa, 3<5 bo'lishini, agar AB

kesma CD kesmadan qisqa bo'lsa, u holda CD kesma AB kesmadan

uzun bo'lishini yaxshi tushunishlari kerak. Matnli masalalarni echishda

munosabatlar orasidagi o'zaro bog'lanishni bilish alohida rol o'ynaydi.

Masalan, o'quvchi "stol 1500 so'm turadi, bu shkafdan 10 marta arzon".

Stol va shkaf birga qancha turadi, degan masalani faqat agar stol shkafdan

10 marta arzon bo'lsa, u holda shkaf stoldan 10 marta qimmat turish

faktini tushungandagina to'g'ri echadi".

Boshlang'ich matematika kursida o'zaro bir qiymatli moslik

tushunchasidan oshkormas ko'rinishda foydalaniladi; unga sanash

jarayoni va sonlarni taqqoslash asoslangan.

Masalan, 3=3 yozuvni tushuntirish uchun uchta qizil va uchta yashil

kvadrat olinadi va har bir qizil kvadratga yagona yashil kvadrat mos

qo'yiladi ya'ni kvadratlar to'plami ustida o'zaro bir qiymatli moslik

o'rnatiladi. 3<4 ekanini ko'rsatish uchun uchta elementli to'plam va to'rtta

elementni o'z ichiga oluvchi to'plamning uchta elementli qism to'plami

orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatiladi.

73
Nazorat savollari:

1. Binar moslik deganda nimani tushunasiz?

2. Moslik grafi va moslik grafigi tushunchalarini izohlab bering?

3. Mosliklar qanday usullarda berilishi mumkin?

4. Mosliklarning qanday turlarini bilasiz?

5. Teskari moslik nima?

6. O'zaro bir qiymatli mosliklarni izohlab bering?

7. Mosliklar ustida qanday amallar bajariladi?

8. Binar mosliklarning boshlang'ich matematika kursida tutgan o'rni

ni izohlang.

MAVZU: TO'PLAMDA MUNOSABAT VA UNING

XOSSALARI

REJA:

1.Munosabat tushunchasi.

2.Munosabatlarning xossalari.

3.Ekvivalentlik munosabati.

4.Tartib munosabati.

TAYANCH IBORALAR

: Binar munosabat, munosabat xossalari

(reflexsivlik, antirefleksivlik, simmetriklik, aitisimmetriklik,

asimmetriklik, tranzitivlik) ekvivalentilk va tartib munosabatlik.

1.Munosabat tushunchasi .

Munosabat so'zining turli ma'nolari bor . Biz biror kishi haqida "u

bilan munosabatim yaxshi" yoki "u bilan munosabatimiz sal yomonlashib

qolgan edi " kabi iboralarni ishlatishimiz mumkin.

Biror ishga, voqeaga, o'qishga munosabat haqida gapiramiz: ishlab

chiqarish munosabatlari, diplomatik munosabatlar , yaxshi qo'shnichilik

munosabatlar, do'stona munosabat kabi iboralar bizga tanish.

Umuman A-kishilarning biror to'plami bo'lsa, x

Î

A kishi y

Î
A

kishi bilan do'stlik, qarindoshlik va hokazo munosabatda bo'lishi, z

Î

A

kishi bilan hech qanday munosabatda bo'lmasligi mumkin.

B - ko'pburchaklar to'plami bo'lsin. F

1

va F

2
ko'pburchaklar o'xshash

tengdosh, teng, teng parametrli va hokazo bo'lishi mumkin. Tekislikdagi

A to'g'ri chiziqlar to'plamida esa bir to'g'ri chiziq ikkinchisiga parallel,

perpendikulyar bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.

Matematikada faqat ob'yektlarning (sonlar, figuralar, kattaliklar)

o'zigina emas, balki ular orasidagi munosabatlar ham o'rganiladi.Masalan,

boshlang'ich sinf matematikasi va umuman matematikadagi muhim

tushunchalardan biri natural sonlar tushunchasini o'zlashtirish sonlar

orasidagi turli-tuman o'zaro bog'lanishlarni o'rganish bilan amalga

74
oshiriladi. Masalan, 5 soni 2 sonidan katta (ortiq); 10 soni 8 sonidan 2 ta

ko'p ; 7 soni 6 sonidan keyin keladi; ya'ni sonlar turli-tuman

munosabatlar: "katta (ortiq)" , "ta ko'p", "keyin keladi" va hokazolar bilan

bog'langan deb tushuntiriladi.

Geometriyada to'g'ri chiziqlarning parallelligi va

perpendikulyarligi, figuralarning tengligi va o'xshashligi, ya'ni geometrik

ob'ektlar orasidagi turli- tuman munosabatlar o'rganiladi.

To'plamlarni taqqoslab, biz masalan, ular kesishadi yoki

kesishmaydi, teng yoki biri ikkinchisida yotadi deymiz, ya'ni to'plamlar

orasidagi munosabatlarni aniqlaymiz.Matematikada ko'proq ikki ob'ekt

orasidagi munosabat qaraladi. Bular binar munosabatlar deyiladi.

Bizning oldimizda bunday masala turibdi: sonlar orasidagi, geometrik

figuralar orasidagi , to'plamlar va boshqa ob'ektlar orasidagi konkret

munosabatlar haqida tasavvurga ega bo'lgan holda bu munosabatlarda

qanday umumiylik borligini aniqlash, qanday qilib bunday ulkan sondagi

turli tuman munosabatlarni tasnif qilish mumkin? Bu materialni bilish

boshlang'ich sinf o'qituvchisiga boshlang'ich maktabda konkret

munosabatlarni o'rganayotgan u yoki bu tushunchalarni o'zlashtirishda

ularning umumiyligi, o'zaro bog'lanishi rolini tushunish uchun kerak.

Dastlab, bizga ma'lum bo'lgan turli-tuman munosabatlar orasida

qanday umumiylik borligini aniqlaymiz.

X={3,4,5,6,8} sonlar to'plamini qaraymiz. Bu to'plamdagi sonlar

orasida "katta" munosabati mavjud: 4>3, 5>3 , 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4,

6>5, 8>6. Berilgan sonlar uchun "1 ta ko'p" (1 ta ortiq) munosabatini ham

qarash mumkin: " 4 soni 3 sonidan 1 ta ko'p (ortik)", "5 soni 4 dan 1 ta

ko’p (ortiq)" , " 6 soni 5 sonidan 1 ta ko'p (ortiq)".

Berilgan sonlar uchun, shuningdek, "2 marta kichik (kam)" munosabati

bilan ham bog'langan : "3 soni 6 dan 2 marta kichik (kam)", "4 soni 8 dan

2 marta kichik (kam)". 3,4,5,6 va 8 sonlari orasidagi yana boshqa

munosabatlarni ham ko'rsatish mumkin, biz ularning yuqorida sanab

o'tilgan uchtasi bilan chegaralanamiz.

E'tiborimizni quyidagiga qaratamiz: u yoki bu munosabatlarni qarashda

biz har safar berilgan to'plamlardagi sonlardan tashkil topgan tartiblangan

juftliklar bilan operatsiyalar bajardik. "Katta" munosabati uchun bu

{(4,3), (5,3), (6,3), (8,3), (5,4), (6,4), (8,4), (6,5), (8,5), (8,6)} to'plam , "1

ta ko'p" munosabati uchun bu {(4,3) , (5,4), (6,5)} to'plam bo'ldi "ikki

marta kichik" munosabati uchun esa bu ikkita juftliklarni o'z ichiga olgan

{(3,6), (4,8)} to'plam bo'ladi. Shunday qilib aytish mumkinki, ko'rib

o'tilgan har bir munosabat X={3,4,5,6,8} to'plam elementlaridan hosil

qilingan sonlar juftliklari to'plami bilan aniqlanadi.

Ma'lumki, tartiblangan juftliklarning bu to'plamlar Dekart

ko'paytmasi elementlari Dekart ko'paytmaning qism to'plamining

elementlaridir. "Katta", "1 ta ko'p" va "2 marta kam" munosabatlarni

aniqlovchi juftliklar XxX={(3,3), (3,4),(3,5), (3,6), (3,8), (4,3), (4,4),

75
(4,5), (4,6), (4,8), (5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (5,8), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),

(6,8), (8,3), (8,4), (8,5),(8,6),(8,8)} Dekart ko'paytmaning qism to'plami

bo'lishini ko'rsatish qiyin emas.

Shunday qilib, ko'rib o'tilgan munosabatlarning har bir o'z navbatida

XxX Dekart ko’paytmaning qism to'plami bilan aniqlanar ekan.

Munosabat juftliklar to'plami bilan aniqlanadi deyish o'rniga

matematikada bu juftliklar to'plamining o'zi X to'plam elementlari

orasidagi munosabat deyiladi.

Ta'rif : X to'plam elementlari orasidagi munosabat deb, XxX Dekart

ko'paytmaning har qanday qism to'plamiga aytiladi.Munosabat lotin

alfavitining bosh harflari P,R,S,Q lar bilan belgilanadi.Demak, agar R,X

to'plam elementlari orasidagi munosabat bo'lsa, u holda R

Ì

X*X bo'ladi.

X chekli to'plamdagi munosabatni strelka bilan tutashtirilgan nuqtalardan
tashkil topgan alohida chizmalar yordamida ko'rgazmali tasvirlash

mumkin.Bunday chizmalar graflar deb aytiladi."Graf" so'zi "grafik so'zi

kabi grekcha ""grafo"so'zidan olingan bo'lib, yozaman degan ma'noni

anglatadi.

Masalan, X={2;4,6,8,12} to'plam elementlari orasidagi "katta"
munosabati bo'luvchi sonlarni tasvirlovchi nuqtalarni strelkalar bilan

tutashtiramiz.4>2 bo'lgani uchun 4 dan 2 ga strelka o'tkazamiz,6>4

bo'lgani uchun 6 dan 4 ga strelka o'tkazamiz va hokazo. Bu jarayonni

berilgan munosabat bilan bog'lanuvchi hamma juftliklarni ko'rsatib

bo'lguncha davom ettiramiz.

Bular (4;2),(6;2),(6;4),(8;2),(8;4),(8;6),(12;2),(12;4),(12;8).

Yuqoridagi munosabat grafi quyidagicha :

Endi xuddi shu X to'plamda "4 ga karrali" munosabatini qaraymiz va

uning grafigini yasaymiz. X to'plamda elementlarini yuqoridagi

holdagiga o'xshash nuqtalar bilan tasvirlaymiz va "karrali" munosabatida

bo'luvchi sonlarni tasvirlovchi strelkalar bilan tushiramiz. 12 soni 2 ga

karrali, 12 soni 4 ga karrali va hokazo. X to'plamdagi ixtiyoriy son o'z-

o'ziga karrali bo'lgani uchun bu munosabatning grafigi boshi va oxiri

ustma-ust tushadigan strelkalarga ega.

2

12

8

4

6

76

Grafikdagi bunday strelkalar sirtmoqlar deyiladi.

A to'plamda aniqlangan binar munosabat to'plamlarning tartiblangan

jufti (R,A) kabi belgilanadi: biz qisqalik uchun binar munosabatni R

orqali belgilaymiz. (x;y)

Î

AxA bo'lsa A ning x elementi y elementi bilan

R binar munosabatda deymiz va uni xRy kabi belgilaymiz.
Misollar:

1) R- barcha haqiqiy sonlar to'plami. R={(x,y) x>y, x

Î

R, y

Î
R}

Í

RxR

bo'lsin. R=(P,R) R da berilgan munosabat x va y sonlarining R

munosabatda x R y bo'lishi uchun x >y ekanini bildiradi. R da bunday

aniqlangan R munosabat "katta" munosabatdir. Munosabat grafi quyidagi

chizmada tasvirlangan.

Munosabatlarning xossalari.

Yuqorida biz matematikada ikki ob'yekt orasidagi turli tuman

munosabatlar o'rganilishini aniqladik. Ularning har biri biror X to'plamda

qaraladi va juftliklar to'plamini ifodalaydi.

Biroq, bunday ko'p sonli munosabatlarni qanday o'rganish

mumkin? Ularni biror bir usul bilan klassifikatsiyalash mumkin

emasmikan? Mumkin ekan. Buning uchun munosabatlarning xossalarini

ajratib ko'rsatish kerak.

2

12

4

8

6

X

Y

Y=X
Download 438.33 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: