Polvanov Rashid Raximjanovich ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami

Yechish. hodisa tavakkaliga olingan 50 ta buyum orasida bitta ham yaroqsiz buyum bo‘lmasligini bildirsin. 100 ta buyumli partiyadan 50 tasini ta har xil usul bilan olish mumkin. Bu sonni barcha mumkin bo‘lgan teng imkoniyatli hollarni jami soni deb qarash mumkin. Yaroqli bo’lgan jami 95 ta buyumdan 50 tasini ta turli usul bilan tanlash mumkin. Bu son hodisaga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar soni ekanligi ravshan, chunki bunday gruppalarning har birida yaroqsiz buyumlar yo’q. U holda hodisaning ehtimoli

bo’ladi.
So’ngra, hodisa orasida rosa bitta yaroqsiz buyum bo’lgan 50 ta buyumli pertiyani tanlashni bildirsin. Agar hamma yaroqsiz buyumlar nomerlangan deb hisoblasak, har birida bitta tayin nomerli yaroqsiz buyum bo’lgan gruppalarning jami soni ga teng. Qaysi nomerli yaroqsiz buyumning gruppaga kirganligi ahamiyatga ega bo’lmaganligi uchun hodisaga qulaylik tug’diruvchi hollarning jami soni ga, ning ehtimoli esa

ga teng.
va hodisalar birgalikda bo’lmaganligi uchun izlanayotgan ehtimol qo’shish teoremasiga asosan hisoblanadi:
.
20-misol. Yuzda detaldan iborat partiyada 30 ta yaroqsiz detal bor. Tavakkaliga uchta detal olinadi. Olingan detallar orasida rosa bitta yaroqsiz detal bo’lish ehtimoli qancha?
Yechish. Mumkin bo’lgan teng imkoniyatli hollarning jami soni ga, ehtimoli izlanayotgan hodisaga qulaylik tug’diruvchi hollar soni esa ga tengligini topamiz. U holda izlanayotgan ehtimol:
.
21-misol. Yashikda ta shar bo’lib, ulardan tasi oq, tasi qora. Tavakkaliga ta shar olinadi. Olingan ta shar orasida rosa ta oq shar bo’lish ehtimoli ni topish talab qilinadi.
Yechish. Oq sharlar nomerlarga, qora sharlar esa nomerlarga ega bo’ladigan qilib, barcha sharlarni tasavvurimizda nomerlaylik. Istalgan ta sharning chiqishi teng imkoniyatli bo’lib, barcha mumkin bo’lgan elementar hodisalar soni ga teng.
Bizni qiziqtirayotgan hodisaga olinga ta shar orasida rosa ta oq shar bo’lgan hollar qulaylik tug’diradi. Bunday hollarning jami soni , chunki jami ta oq shardan istalgan tasi chiqishi mumkin. Endi qora sharlarga kelsak, ular ta bo’lishi kerak, bunday gruppalarni tanlash usullari soni esa ga teng. Oq sharlarning har bir gruppasi qora sharlarning har bir gruppasi bilan kombinatsiyalanishi mumkinligidan, ehtimoli izlanayotgan hodisaga qulaylik tug’diruvchi hollarning jami soni ko’paytmaga teng bo’ladi.
Demak, izlanayotgan ehtimol
(1)
Gruppalashlar soni uchun ma’lum ifodalardan foydalanim, (1) formulani quyidagi ko’rinishda yoza olamiz:
(2)
Barcha ayirmalarning musbatligi masala mazmunidan ravshan.
Endi ehtimolni, ya’ni olingan ta sharning hammasi qora bo’lish ehtimolini topamiz. (1) formulaga ko’ra

Bu natijani (2) formuladan darhol hosil qilish mumkin, chunki bu yerda .
22-misol. Pashkadagi 12 ta umumiy daftarning yettitasi katak daftar, beshtasi chiziqli (yozuv) daftar. Tavakkaliga 6 ta daftar olingan. Olingan daftarlar orasida katak daftarlar soni va chiziqli daftarlar soni bir xil bo’lish ehtimoli qancha?