Polvanov Rashid Raximjanovich ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami

VIII BOB. EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA ELEMENTLARINI HISOBLASHLARGA DOIR MISOLLAR

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika elementlariga doir bir nechta misol-masalalarni qarab chiqamiz. Ko‘pchilik hollarda mumkin bo‘lgan turli imkoniyatlarni kombinatorika formulalariga asoslanib to‘g‘ridan-to‘g‘ri hisoblash kerak bo‘ladi. Endi quyidagi misol-masalalarni yechimlari bilan beramiz.

1-misol. Yashikda o‘lchamlari va og‘irligi bir xil bo‘lgan uchta ko‘k, sakkizta qizil va to‘qqizta oq shar bo‘lib, sharlar yaxshilab aralashtirilgan. Yashikdan bir marta shar olinganda, ko‘k, qizil va oq shar chiqish ehtimoli qancha?
Yechish. Istalgan sharning chiqishini teng imkoniyatli deb hisoblash mumkin bo‘lganligidan, jami ta elementar hodisaga egamiz. Agar orqali mos ravishda ko‘k, qizil va oq shar chiqishidan iborat hodisalarni, orqali esa bu hodisalarga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar sonini belgilasak, u holda bo‘lishi tushunarli. Shuning uchun
.
2-misol. Ikkita tanga bir vaqtda tashlangan. marta gerbli tomon tushish ehtimoli qancha?
Yechish. Ikkita tangani tashlanganda mumkin bo‘lgan natijalarni tekshiraylik. Ravshanki, ularni

Sxema bo‘yicha tavsiflash mumkin, bunda -gerbli tomon, -raqamli tomon tushishini bildiradi. Shunday qilib, to‘rtta elementar hodisa bo‘lishi mumkin. Tangalar to‘g‘ri geometrik formaga ega va bir jinsli deb faraz qilinishi sababli ulardan birortasining bir tomoni ikkinchi tomoniga nisbatan ko‘proq tushadi deb taxmin qilishga asos yo‘q. Shuning uchun bu to‘rttala holni teng imkoniyatli deb hisoblash lozim. U holda marta gerbil tomon tushish ehtimolini orqali belgilab, quyidagilarni osongina hosil qilamiz:

3-misol. Yoqlariga ochkolar yozilgan ikkiga o‘yin soqqasi bir vaqtda tashlanadi. Ikkala soqqada tushgan ochkolar yig‘indisining sakkizga teng bo‘lish ehtimoli qancha?
Yechish. Mumkin bo‘lgan jami hollar soni ta, chunki bir soqqadagi istalgan ochko ikkinchi soqqadagi istalgan ochko bilan birga tushishi mumkin. Bu barcha hollar jufti-jufti bilan birgalikda emasligiga, teng imkoniyatligiga va to‘la gruppa tashkil qilishiga osongina ishonch hosil qilish mumkin. Masalada qo‘yilgan savolga javob berish uchun ochkolar yig‘indisi sakkizga teng bo‘ladigan hollar sonini hisoblash lozim. Bu tashlangan soqqalarda tushgan ochkolar
yoki
ga teng bo‘lganda ro‘y beradi, bunda birinchi qo‘shiluvchi birinchi soqqada, ikkinchi qo‘shiluvchi esa ikkinchi soqqada tushgan ochkolar sonini bildiradi. Bundan ko‘rinadiki, ikkala soqqada tushgan ochkolar yig‘indisi sakkizga teng bo‘lishidan iborat bo‘lgan hodisaga ta hol qulaylik tug‘diradi. Shuning uchun

4-misol. Nishonga “a’lo” bahoda o‘q uzish ehtimoli ga, “yaxshi” bahoda o‘q uzish ehtimoli esa ga teng. Otilgan o‘q uchun “yaxshi” bahodan kam baho olmaslik ehtimoli qancha?