Polvanov Rashid Raximjanovich ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami

17-misol. O‘yin soqqasi ketma-ket to‘qqiz marta tashlanadi. Uchga bo‘linadigan ochkolar tushishining eng katta ehtimolli soni qancha?
Yechish. Bu ehtimolni, uchga bo‘linadigan ochkolar ko‘pi bilfn ikki marta tushish ehtimolini, shuningdek, uchga bo‘linadigan ochkolar aniq uch marta tushish ehtimolini ham hisoblaymiz.
Uchga bo‘linadigan ochkolar tushish ehtimoli ga teng. formulaga asosan hodisaning eng katta ehtimolli soni uchun

ni topamiz, bundan . Bernulli formulasiga asosan, hodisaning rosa uch marta yuz berish ehtimoli:

Uchga bo‘linadigan ochkolarning ko‘pi bilan ikki marta tushish ehtimoli esa yig‘indi sifatida hosil qilinishi mumkin:

18-misol. Lotereyada jami ta billet bor bo‘lib, ulardan tasi yutuqli. ta bileti bor kishiga hech bo‘lmaganda bitta yutuq chiqish ehtimolini toping.
Yechish. Avval qarama-qarshi hodisaning, ya’ni bitta ham biletga yutuq chiqmaslik ehtimolini hisoblaymiz. Har bir biletga yutuq chiqishi yoki chiqmasligi oldindan yozib qo‘yilgan deb tasavvur qilaylik (1965 yilgi va keyingi yillardagi kitob lotereyasida shunday qilingan edi). ta biletdan tasini tanlashning jami soni ga teng bo‘lib, ular teng imkoniyatlidir. Yutuq chiqmaydigan biletlar soni ta bo‘lgani uchun bizni qiziqtirayotgan qarama-qarshi hodisa – bitta ham biletga yutuq chiqmasligiga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar soni ta elementdan tadan tuzish mumkin bo‘lgan gruppalashlar soni ga teng.
Shunday qilib, bitta ham biletga yutuq chiqmaslik ehtimoli ehtimolning ta’rifiga ko‘ra nisbatga teng. Talab qilinayotgan hodisa – hech bo‘lmaganda bitta biletga yutuq chiqish ehtimoli hozirgina ko‘rib chiqilgan hodisaga qarama-qarshi bo‘lgani uchun qo‘shish teoremasining natijasiga ko‘ra

bo‘ladi. Bu esa izlanayotgan ehtimoldir.
19-misol. Bir partiya tovar 100 ta buyumdan iborat bo‘lib, ular orasida beshta yaroqsiz tovar buyum bor. Agar mahsulotni qabul qilish shartlariga ko‘ra tekshiriladigan har 50 ta buyum orasida ko‘pi bilan bitta yaroqsiz buyum bo‘lishiga yo‘l qo‘yiladigan bo‘lsa, bu partiyaning tavakkaliga tanlangan yarmi tekshirilganda partiyaning qabul qilinish ehtimolini toping.