|
Yechish. Agar hodisa “a’lo” baho olishni, hodisa esa “yaxshi” baho olishni bildirsa, u holda
yoki .
5-misol. Ichida ta oq, qizil va qora shar bo‘lgan yashikda ta oq va ta qizil shar bor. Yashikdan rangi qora bo‘lmagan shar olish ehtimoli qancha?
Yechish. hodisa olingan sharning oq bo‘lishini, hodisa esa uning qizil bo‘lishini ifoda qilsin. Olingan sharning qora rangli bo‘lmasligi uning oq yoki qizil rangli bo‘lishini bildiradi. Ehtimolning ta’rifiga ko‘ra
bo‘lganligi uchun qora rangli bo‘lmagan shar chiqish ehtimoli qo‘shish teoremasiga ko‘ra
Bu masalani quyidagicha ham yechish mumkin. -qora rangli shar chiqishidan iborat hodisa bo‘lsin. Qora rangli sharlar soni ga teng bo‘lgani uchun
Qora rangli bo‘lmagan sharning chiqishi hodisaga qarama-qarshi hodisa bo‘ladi, shuning uchun qo‘shish teoremasining yuqorida ko‘rsatilgan natijasiga ko‘ra o‘sha
natijaga ega bo‘lamiz.
6-misol. Pul-buyum lotereyasida 1000 ta biletli har bir seriyaga 120 ta pul yutuq va 80 ta buyum yutuq to‘g‘ri keladi. Bitta lotereya biletiga biror yutuq chiqish ehtimoli qancha?
Yechish. Agar orqali pul yutuq chiqishini, orqali esa buyum yutuq chiqishini belgilasak, u holda ehtimolning ta’rifiga ko‘ra
Bizni qiziqtirayotgan hodisa ( yoki ) dan iborat, shuning uchun qo‘shish teoremasidan
kelib chiqadi. Shunday qilib, biror yutuq chiqish ehtimoli ga teng.
7-misol. Korxona mahsulotining i yaroqli ( hodisa) deb tan olinadi. Har ta yaroqli mahsulotdan tasi birinchi navli ( hodisa) bo‘lar ekan. Tasodifan olingan mahsulotning birinchi navli bo‘lish ehtimolini aniqlang.
Yechish. Izlanayotgan ehtimol va hodisalarni birgalikda yuz berishidan iborat bo‘lgan ( va ) hodisaning ehtimolidir. Shartga ko‘ra va . Shuning uchun ko‘paytirish teoremasi quyidagi natijani beradi:
.
8-misol. Ayrim o‘q uzishda o‘qning nishonga tegish ( hodisa) ehtimoli ga teng. Agar portlatgichlarning i portlamay qolsa (ya’ni holda o‘q uzilmay qoladi), o‘qning nishonga tegish ehtimoli qancha?
Yechish. hodisa o‘qning otilishidan iborat hodisa, esa unga qarama-qarshi hodisa bo‘lsin. U holda masala shartiga ko‘ra bo‘lib, qo‘shish teoremasining natijasiga muvofiq, . So‘ngra shartga ko‘ra .
O‘qning nishonga tegishi va hodisalarning birgalikda yuz berishidan iborat bo‘lgan hodisadir (o‘q otiladi va nishonga tegadi). Shuning uchun ko‘paytirish teoremasiga asosan
.
9-misol. Ishchi uchta avtomat-stanokka xizmat ko‘rsatadi. U to‘xtab qolgan stanokning oldiga kelib, uni tuzatishi lozim. Bir soat davomida birinchi stanokning to‘xtamaslik ehtimoli ga teng. Ikkinchi va uchinchi stanoklar uchun bu ehtimol mos ravishda va ga teng. Bir soat davomida ishchining stanoklarning hech birini oldiga kelmaslik ehtimolini aniqlang.
Yechish. Agar stanoklar bir-biriga bog‘liqsiz ishlaydi deb hisoblasak, u holda uchala hodisaning birgalikda yuz berish ehtimoli ko‘paytirish teoremasiga asosan ushbu ko‘paytmaga teng: .
10-misol. Samolyotni vintovkadan uzilgan o‘q bilan urib tushirish ehtimoli . ta vintovkadan bir yo‘la o‘q uzilganda dushman samolyotini urib tushirish ehtimoli qancha?
Yechish. Bitta o‘q uzilganda samolyotni urib tushirilmaslik ehtimoli qo‘shish teoremasiga asosan ga teng. U holda ta o‘q uzilganda samolyotning urib tushirilmaslik ehtimolini hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli sifatida ko‘paytirish teoremasiga asosan hisoblash mumkin. Bu ehtimol ga teng. So‘ngra yana qo‘shish teoremasidan foydalanib, samolyotni urib tushirish ehtimolini qarama-qarshi hodisaning ehtimoli sifatida topa olamiz:
.
Bundan ko‘rinadiki, ayrim o‘q bilan samolyotni urib tushirish ehtimoli juda kichik bo‘lsa-da, ta vintovkadan bir yo‘la o‘q uzilganda, samolyotni urib tushirish ehtimoli sezilarli darajada katta bo‘ladi. Bu ehtimol miltiqlar sonini orttirsak, yanada ortadi. Masalan, samolyotni urib tushirish ehtimoli ta vintovkadan o‘q uzilganda ga, ta vintovkadan o‘q uzilganda esa hatto ga teng bo‘ladi.
11-misol. Hodisaning ta erkli sinovda hech bo‘lmaganda bir marta yuz berish ehtimoli qancha?
Yechish. Masalani yechimi formulasi bilan berilishini topamiz.
12-misol. Elektr zanjiriga ikkita saqlagich ketma-ket ulangan. Birinchi saqlagichning ishdan chiqish ehtimoli 0,6 ga, ikkinchi saqlagichning ishdan chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Bu saqlagichlardan hech bo‘lmaganda birining ishdan chiqishi natijasida zanjirda tok bo‘lmaslik ehtimolini toping.
Yechish. Birinchi va ikkinchi saqlagichlarning ishdan chiqishidan iborat bo‘lgan va hodisalar birgalikda bo‘lgani uchun izlanayotgan ehtimol formula yordamida aniqlanadi:
.
13-misol. Tashqi ko‘rinishi bir xil, ichidagi oq va qora sharlar sostavi har xil bo‘lgan uchta yashik bor. Birinchi yashikda ta oq va ta qora sharlar, ikkinchi yashikda ta oq, ta qora sharlar, uchinchi yashikda esa ta oq va ta qora sharlar bo‘lsin. yashiklardan biri tavakkaliga tanlanib, undan bitta shar olinadi. Olingan sharning oq bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. Dastlab shar birinchi yashikdan olingan deb taxmin qilaylik. Bunday taxmin hodisaning yuz berishini yoki gipotezaning amalga oshishini anglatadi deb aytish mumkin. Istalgan yashikning tanlanishi teng ehtimolli bo‘lganligidan bu gipotezaning ehtimoli bo‘ladi. Sharlarning sostavi haqida qilingan taxminga ko‘ra birinchi yashikdan oq shar olish ( hodisa) ehtimoli
ga teng bo‘ladi.
Birinchi yashikning tanlanishidan va undan olingan sharning oq bo‘lishidan iborat bo‘lgan murakkab hodisani qaraylik. Bunday hodisaning ehtimoli ko‘paytirish teoremasiga asosan
bo‘ladi.
Xuddi shunga o‘xshash, ikkinchi yashikdan oq shar olish ehtimoli hodisa (ikkinchi yashikni tanlash) va hodisa (undan oq shar olish)ning birgalikda yuz berishidan iborat murakkab hodisaning ehtimolidir, natijada bu ehtimol quyidagiga teng:
.
Uchinchi yashik uchun esa
bo‘ladi.
hodisa sharni aynan qaysi yashikdan olinishidan qat’i nazar oq shar olishdan iborat hodisani bildiradi. u holda hodisalarning birgalikdagi emasligidan (chunki faqat bitta yashik tanlanadi) foydalanib, hodisaning ehtimolini hisoblash uchun qo‘shish teoremasini tatbiq qila olamiz. Bu teorema quyidagi natijani beradi:
.
14-misol. Snaryad portlaganda katta, o‘rtacha va kichik parchalar hosil bo‘lib, katta parchalar soni parchalar jami sonining 0,1 qismini, o‘rtacha va kichik parchalar esa mos ravishda 0,3 va 0,6 qismini tashkil qiladi. Katta parcha tankka tekkanda uning zirhini 0,9 ehtimol bilan, o‘rtacha va kichik parchalar esa mos ravishda 0,3 va 0,1 ehtimollar bilan teshadi. Tank zirhiga tekkan parchaning zirhni teshish ehtimolini toping.
Yechish. Misolimizda uchta gipoteza bo‘lib, ularning ehtimollari mos ravishda To‘la ehtimol formulasi dan foydalanib, quyidagini topamiz:
.
15-misol. Tanga 6 marta tashlanadi. Gerbli tomonning 0, 1, ... , 6 marta tushish ehtimoli qancha?
Yechish. Bu holda . formuladan foydalanib, quyidagi natijalarga kelamiz:
16-misol. Yonilg‘i bilan to‘ldirilgan rezervuarga qarata sakkizta o‘q uziladi. Rezervuarga birinchi o‘q tekkanda teshiladi, ikkinchi o‘q tekkanda esa yonilg‘i yona boshlaydi. Agar uzilgan o‘qning rezervuarga tegish ehtimoli 0,2 ga teng bo‘lsa, rezervuarni yondirib yuborish ehtimoli qancha?
Yechish. Avvalo, qarama-qarshi hodisaning ehtimolligini, ya’ni rezervuarning yonmaslik ehtimolini topamiz. Bu hodisa rezervuarga tekkan o‘qlar soni birdan katta bo‘lmaganda yuz beradi va uning ehtimoli
ga teng.
Bu yerda va bo‘lganligi sababli
Bundan rezervuarni yondirib yuborish ehtimoli
ga teng bo‘lishi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
