Polvanov Rashid Raximjanovich ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami

Yechish. Qartalar dastasida hammasi bo’lib 12 ta rasmli qarta (har bir xolli qartalardan 3 tadan) bo’lganligidan rasmli qarta olish ehtimoli ga teng bo’ladi. “Qarg’a” qarta olish ehtimoli esa gat eng. Endi qo’shish teoremasidan foydalansak kifoya. Biroq qaralayotgan hodisalar birgalikda ekanligini hisobga olish lozim bo’lgani uchun kengaytirilgan qo’shish teoremasidan, ya’ni formuladan foydalanish zarur. Buning uchun hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli, ya’ni rasmli “qarg’a” qarta olish ehtimolini topishimiz kerak. Bunday qartalar esa uchta, demak, tegishli ehtimol ga teng. Binobarin, formulaga asosan izlanayotgan ehtimol uchun

qiymatni hosil qilamiz.
26-misol. Basketbolchining to’pni to’rga tushirish ehtimoli 0,6 ga teng. U to’pni 8 marta tashlagan. To’pning to’rga rosa 2 marta tushish ehtimolini toping. To’pning to’rga tushishining eng katta ehtimolli sonini va unga mos ehtimolni toping.
Yechish. To’pning to’rga rosa ikki marta tushish ehtimoli formulaga asosan topiladi. Bu yerda U holda

To’pning to’rga tushishining eng katta ehtimolli soni uchun tengsizlikka ega edik, undan
yoki
kelib chiqadi, bundan esa . Bu songa mos ehtimol:

27-misol. Aytaylik, har bir sinov natijasida uchta hodisalardan biri mos ravishda ehtimollar bilan yuz bersin. Uchta sinov o’tkaziladi. Mumkin bo’lgan hodisalarning har birini marta yuz berish ehtimolini aniqlang.
Yechish. Aniqlik uchun hodisaning har xil son marta yuz berish ehtimolini kuzatamiz. Shu nuqtai nazardan yoki hodisalarning yuz berishi biz uchun ahamiyatga ega emas va sinovning faqat okkita natijasini - hodisa yuz berishini yoki yuz bermasligini qarashimiz mumkin. Bu natijalarning yuz berish ehtimollari mos ravishda va ga teng bo’ladi, chunki hodisalar har bir sinovda to’la gruppa hosil qiladi.
Bu holda uchta sinovning mumkin bo’lgan natijalarini ularga mos ehtimollar bilan birgalikda quyidagi jadval yordamida yoza olamiz:

Mumkin bo’lgan natijalar
Ehtimollar

kombinatsiya, masalan, hodisa birinchi va uchinchi sinovlarda yuz berib, ikkinchi sinovda yuz bermaganini ko’rsatadi, demak, ikkinchi sinovda yo , yoki hodisa yuz beradi. Shunday qilib, kombinatsiya yo , yoki kombinatsiyaning yuz berishiga teng kuchli. Shunga o’xshash, kombinatsiya quyidagi to’rtta kombinatsiyalardan birining yuz berishiga teng kuchli:

Uchta sinovda hodisaning istalgan son marta yuz berish ehtimoli keltirilgan jadvaldan osongina topiladi:
,



Yuqoridagi mulohazalarni qolgan hodisalar uchun ham takrorlash mumkinligi ravshan, demak, yuqoridagi formulaga o’xshash formulalar va hodisalarning ixtiyoriy son marta yuz berish ehtimollari uchun ham o‘rinli. Masalan, uchta sinovda hodisaning ikki marta yuz berish ehtimoli

ga, uchta sinovda hodisaning bir marta yuz berish ehtimoli esa
.