Polvanov Rashid Raximjanovich ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami

28-masala. Qurilma bir-biridan erkli ishlaydigan uchta elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribada ishdan chiqish elementlar sonining taqsimot qonunini toping.
Yechish. diskret tasodifiy miqdor (bitta tajribada ishdan chiqqan elementlar soni) ushbu mumkin bo‘lgan qiymatlarga ega: (qurilma elementlarning bittasi ham ishdan chiqmagan), (bitta element ishdan chiqqan), (ikkita element ishdan chiqqan), (uchta element ishdan chiqqan).
Elementlarning ishdan chiqishi bir-biriga bog‘liq emas, elementlarning ishdan chiqish ehtimollari o‘zaro teng, shuning uchun Bernulli formulasini qo‘llash mumkin.
Shartga ko‘ra ekanligini e’tiborga olib, quyidagilarni hosil qilamiz:
; ;
; .
Tekshirish. 0,729+0,243+0,027+0,001=1
ning izlanayotgan binomial qonunini yozamiz:
0 1 2 3
0,729 0,243 0,027 0,001
29-masala. Agar va ning matematik kutilishi ma’lum bo‘lsa, tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping:
a) ,
b) ,
Yechish. Matematik kutilishning хossalaridan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
a)
b) .

30-masala. Quyidagi

taqsimot qonuni bilan berilgan diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishini, dispersiyasini va o‘rtacha kvadratik chetlanishini toping.
Yechish. Matematik kutilishini formula yordamida topiladi, ya’ni
.
Dispersiyani formulasidan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:
₁₎ ning matematik kutilishini topamiz:
.
₂₎ ning taqsimot qonunini yozamiz:
25 4 9 16
0,4 0,3 0,1 0,2
₃₎ ning matematik kutilishini topamiz:

4) Endi dispersiyani topamiz:

O‘rtacha kvadratik chetlanishni topish formulasi . Shunga asosan
_.
31-masala. diskret tasodifiy miqdor ikkita erkli sinovda hodisaning ro‘y berish sonining dispersiyasini toping. hodisaning bu sinovlarda ro‘y berish ehtimoli bir хil va .
Yechish. miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari bunday: (hodisa ro‘y bermadi), ( hodisa bir marta ro‘y berdi), (hodisa ikki marta ro‘y berdi).
Mumkin bo‘lgan qiymatlarning ehtimollarini Bernulli formulasi bo‘yicha hisoblaymiz:
.
Х ning taqsimot qonunini yozamiz:

X	0	1	2
P

Shartga asosan , ya’ni ,
Demak ,
Izlanayotgan dispersiya ( Bernulli taqsimoti uchun): .