Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

Natija: Faraz qilaylik, p nuqta F akslantirishning itaruvchi nuqtasi bo‘lsin. U holda p ni oʻz ichiga olgan ochiq toʻplam mavjud boʻlib unga tegishli barcha nuqtalat F ning manfiy iteratsiyasida p nuqtaga yaqinlashadi.


2.5-teorema. Faraz qilaylik, p nuqta F akslantirishning egar nuqtasi bo‘lsin. U holda va silliq egri chiziq yani chiziq

mavjud va quyidagilar oʻrinli:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   vektor uchun noturg‘un xos vektor boʻladi.
   
4. 
   invariant.
   
5. 
   
   
6. 
   Agar barcha uchun boʻlsa, ba’zi t lar uchun boʻladi.
   

egri chizigʻi p nuqtada lokal turgʻunmas koʻpxillik deyiladi. Biz toʻgʻri chiziq bo‘lmagan holda “koʻpxillik” soʻzidan foydalanamiz. Xuddi shunday, p nuqtadan o‘tuvchi va orqali o‘zi-o‘zining ichiga akslanadigan egri chiziq lokal noturg‘un ko‘pxillik deyiladi (2.7-chizma).
2.7-chizma. Lokal turgʻun va noturgʻun koʻpxilliklar.


2.10-ta’rif. Faraz qilaylik p nuqta F akslantirish uchun giperbolik qoʻzgʻalmas nuqta va chiziq p nuqtadan o‘tuvchi lokal noturgʻun koʻpxillik bo‘lsin. U holda p nuqtadagi noturgʻun koʻpxillik deb quyidagi ifodaga aytiladi:

Xuddi shunday, agar egri chizigq p nuqtada lokal turgʻun koʻpxillik boʻlsa, u holda p nuqtadagi turg‘un ko‘pxillik quyidagicha aniqlanadi:

2.1-misol. Bizga akslantirish berilgan boʻlsin:

Ravshanki, va

Binobarin, 0-egar nuqtadir. Shubhasiz,

shuning uchun y oʻqi noturgʻun koʻpxillik vazifasini bajaradi. Shunindek,

ekanligidan egri chiziq turgʻun koʻpxillik boʻladi. Darhaqiqat, F akslantirish quyidagi chiziqli akslantirishga:

quyudagi

diffeomorfizm orqali topologik qo‘shma, ya’ni, . Ta’kidlash kerakki, h akslantirish L uchun turgʻun va noturgʻun koʻpxilliklarni, F akslantirish uchun turgʻun va noturgʻun koʻpxilliklarga akslantiradi.

2.2-misol. Tomonlari kvadratda bilan parametrlangan T tor berilgan boʻlsin. Quyidagini aniqlaymiz:
.
Agar yetarlicha kichik boʻlsa, F akslantirish diffeomorfizm bo‘ladi. Toʻrtta qo‘zg‘almas nuqtalari mavjud: egarlar , tortuvchi va itaruvchi (0,0). Fazali chizmasi 2.8-chizmada keltirilgan.

2.8-chizma. F akslantirishning chizmasi

Shuni ta’kidalash kerakki, nuqtaning noturgʻun koʻpxilligi, nuqtaning turgʻun koʻpxilligi bilan aynan ustma-ust tushadi. nuqtaning turgʻun koʻpxilligi (0,0) itaruvchi nuqtadan chiqadi, aksincha nuqtaning noturgʻun koʻpxilligi esa tortuvchi qoʻzgʻalmas nuqtaning basseynida yotadi.