|
Yechish: bo‘lgani uchun maydon solenoidal. Shuning uchun, . Vektor potensialni ko‘rinishida izlaymiz. U holda
(38)
dan quyidagi sistemaga kelamiz:
(39)
(39) ning birinchi va ikkinchi tengliklarini z bo‘yicha integrallaymiz.
Agarda bularni (39) ning uchunchi tenglamasiga qo‘ysak biz quyidagi yangi ifodaga ega bo‘lamiz.
bu tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyalarni ko‘rinishida olsa bo‘ladi. Unda vektor potensial
ko‘rinishida bo‘ladi.
3) Garmonik maydon.
Garmonik skalyar maydon.
Agar skalyar maydon
Laplas tenglamasini qanoatlantirsa bunday maydon garmonik maydon deyiladi.
Laplas tenglamasining o‘ng tomonidagi ifodaga Laplas operatori deyiladi va kabi belgilanadi.
Dekart koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasi
ko‘rinishida bo‘ladi.
27-misol. ([5], 72-bet). funksiyaning da garmonik bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish: Gradient xossasiga ko‘ra,
divergensiya xossasiga ko‘ra,
uchun da ekanligini va dan
funksiyaning da garmonik bo‘ladi.
28-misol. ([5], 78-bet). , maydon garmonik maydonmi?
Yechish: Bu maydon garmonik bo‘lishi uchun bo‘lishi kerak ekanligi ma’lum. Biz eng avvalo bu maydon gradienti uchun quyidagi tenglikni yoza olamiz:
.
Divergensiya xossasidan foydalanamiz
demak, . Bundan esa berilgan skalyar maydon garmonik maydon bo‘la olmasligi ma’lum bo‘ldi.
Garmonik vektor maydon.
Agar vektor maydon bir vaqtda ham potensial ham solenoidal bo‘lsa, bunday maydonlarga garmonik vektor maydonlar deyiladi.
Garmonik vektor maydon xossalari.
1. Garmonik vektor maydon skalyar va vektor potensialga ega bo‘ladi.
2. skalyar potensial garmonik funksiya bo‘ladi.
3. Garmonik vektor maydon uchun uning kompanentalari garmonik funksiyalar bo‘ladi.
Endi bu xossalarning to‘g‘riligini tekshiramiz.
1. Birinchi xossa ta’rifdan kelib chiqadi. Chunki potensial maydon skalyar potensialga ega bo‘ladi, solenoidal maydon esa vektor potensialga ega bo‘ladi.
2. Garmonik maydon potensial maydon bo‘lgani uchun skalyar potensial mavjud va ko‘rinishida bo‘ladi. Ikkinchi tomondan garmonik maydon salenoidal bo‘ladi, shuning uchun
bo‘ladi. Shuning uchun, garmonik maydon potensiali Laplas tenglamasini qanoatlantiradi va garmonik funksiya bo‘ladi.
3. Garmonik maydon uchun uning potensialligidan
yoki,
(40)
garmonik vektor maydonning solenoidalligidan bo‘ladi. Yoki,
bu tenglikni bo‘yicha differensiallasak,
(40) tenglikning ikkinchi va uchunchilaridan foydalansak
ya’ni funksiya garmonik ekan. Xuddi shuningdek funksiyalarning ham garmonik ekanligini ko‘rsatish mumkin. Bu esa bu xossani isbotlaydi.
Laplas operatorini keltirib chiqaraylik:
Xullas,
(41)
Laplas operatori deyiladi bunda skalyar maydon. Biz yuqorida ko‘rib o‘tgan Gamilton vektorini olamiz. U
ko‘rinishda.
Bu vektorni kvadratga ko‘tarib uning ushbu
(42)
skalyar ko‘rinishini hosil qilamiz.
Bizga ma’lumki skalyar maydon gradienti bu biror bir vektor bo‘ladi. Ya’ni ifoda vektor kattalikdir. Shu o‘rinda biz gradient va Gamilton vektori orasidagi bog‘lanishni ham aniqlab oldik. Bu bog‘lanish esa quyidagicha ekan
(43)
bunda biror skalyar maydon.
Endi esa biz (30) va (44) tengliklardan foydalanamiz. (30) formula quyidagicha,
Bu ikki (30) va (43) lardan esa quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(44)
Endi esa deb olaylik, u holda (44) tenglama ushbu ko‘rinishni oladi:
(45)
(41), (42) va (45) larni hisobga olgan holda
(46)
ni hosil qilamiz.
Demak,
(47)
ifoda hosil qilinadi. Bu esa Laplas operatoridir.
Xulosa
Vektor analiz vektor maydonlarni o‘rganuvchi bo‘limdir.
Biz vektor maydon tushunchasi bilan tanishar ekanmiz, uning matematika yoki boshqa bir ko‘pgia sohalarda keng foydalanilishi bilan tanishib oldik. Vektor analiz bizga vektorlarning ustidagi amallarni qanday bajarish yoki ularni hayotga qanday tatbiq qilish imkonini yaratib beradi.
Vektor analiz bu matematikaning vektorlarni va ularning ko‘pgina o‘lchamlarini o‘rganuvchi bo‘limidir. Biz vektor analiz bo‘limida vektor maydonning sirkuliyatsiyasi, rotori, divergensiyasi va oqimi kabi asosiy manbalari bilan tanishib oldik, ularning qiymatlarini qanday hisoblash mumkinligini o‘rgandik. Albatta bizga bularni o‘rganishda skalyar maydon tushunchasi ham katta yordam berdi. Masalan, biz vektor maydon oqimini hisoblashda bu vektor maydonning divergensiyasidan ham foydalanishimiz mumkin ekanligi ma’lum bo‘ldi. Biz vektor maydon divergensiyasining skalyar miqdor bo‘lishini ko‘rib o‘tdik. Biz vektor maydon tushunchasini keltirish bilan bir qatorda skalyar maydon gradienti tushunchasini ham keltirib o‘tdik. Chunki biz vektor maydonlar ustida masalalarni yechganimizda bizga gradient yordam berdi. Albatta skalyar maydon gradienti o‘z navbatida vektor kattalikdir.
Vektor analiz metodlari ko‘proq fizika va injinerlik sohalarida qo‘llaniladi.
Vektor analiz bo‘limida biz o‘rgangan ko‘pgina natijalar differensial geometriya sohasida ham o‘rganiladi.
Vektor analizdagi ko‘pgina asosiy natijalarni hosil qilishda bizga asosan matematik analiz kursida amaliyotda keng foydalaniladigan chiziqli va sirt integrallari hamda ularning geometrik ifodalar katta yordam beradi. Oddiygina bir misol sifatida vektor maydon sirkuliyatsiyasini keltirish mumkin. Sirkuliyatsiani hsoblashda biz berilgan vektor maydonning qaralayotgan soha chegarasi bo‘ylab shu vektor maydonning sohaning chegarasidagi prayeksiyasining egri chiziqli integralini hisoblaymiz. Yoki bo‘lmasa o‘sha sirkuliyatsiyani hisoblash uchun foydalaniladigan integralni Stoks formulasi orqali sirt integraliga keltirib uni hisoblay olamiz. Bu usul bilan sirkuliyatsiya qiymatini hisoblagan bo‘lamiz.
Biz qaragan skalyar va vektor maydonlardagi ko‘pgina masalalar fizika, elektrotexnika, matematika, mexanika va boshqa sohalarga tatbiq qilinadi. Biz bu bo‘limda gradient, sirkuliyatsiya, rotor, oqim, divergensiya, potensial kabi tushunchalar bilan tanishdik. Bu tushunchalarni anglashda bizga ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va ular ustidagi olib boriladigan bir qancha jarayonlar yaqindan yordam beradi. Masalan, vektor maydon divergeensiyasini hisoblashda biz berilgan vektor maydon tenglamasining uchta o‘zgaruvchilari bo‘yicha differensiallarini qaradik. Albatta bu holatda biz uch o‘zgaruvchili funksiyaning o‘zgaruvchilari bo‘yicha differensialidan foydalandik. Yoki bo‘lmasa oqimni hisoblashda biz vektor maydon divergensiyaasidan foydalandik, bu holatni esa biz qaralayotgan soha bo‘yicha uch o‘zgaruvchili funksiyaning uch karrali integrali deb qarashimiz mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
