O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

3. Maxsus vektor maydon

1) Potensial maydon.

vektor maydon berilgan bo‘lib, uning kompanentalari uzluksiz va hosilalari mavjud bo‘lsin.
Agar vektor maydon biror skalyar maydon ning gradient maydoni bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, funksiyaga vektor maydonning potensiali deyiladi.
bo‘lgani uchun funksiya ham potensial bo‘ladi.
Potensial maydon xossalari:
1. vektor maydon potensialga ega bo‘lishi uchun
2. Bir bog‘lamli sohada vektor potensial maydon bo‘lishi uchun ,
3. Potensial maydon chiziqli integrali integrallash shakliga bog‘liq emas.
4. Potensial maydon maxsus nuqtalarni o‘z ichiga olmagan ixtiyoriy kontur bo‘yicha sirkuliyatsiyasi no‘lga teng.
5. Potensial maydon barcha maxsus nuqtalarini o‘z ichiga olgan konturlar bo‘yicha sirkuliyatsiyalar o‘zaro teng.
6. Potensial maydonda yoy bo‘yicha olingan chiziqli integral potensiallarning yoy oxiri va yoy boshi nuqtalarining ayirmasiga teng.
21-misol. ([5], 68-bet). Quyidagi maydonning potensial maydonligini tekshiring va uning potensialini toping:

Yechish:

=
shuning uchun vektor maydon potensial maydon bo‘ladi. Uning potensiali ga teng bo‘ladi.
Potensialni ta’rif bo‘yicha topish:
potensial maydon uchun uning potensiali bo‘lsa, . Bu koordinatalar ko‘rinishida
(34)
(34) ni birinchisini bo‘yicha integrallaymiz. Integrallash jarayonida ga bog‘liq bo‘lmagan konstanta ishtirok etadi.

funksiyani topish uchun bu ifodani (34) tenglikning ikkinchi va uchunchi tengliklariga qo‘yamiz. Keyin esa uni topa olamiz.
22-misol. ([5], 68-bet). maydonning potensialligini tekshiring va potensialini toping.
Yechish: Maydon potensialligini tekshirish uchun maydonning rotorini topamiz.
=
=
bo‘lgani uchun maydon potensial maydon. Demak, yoki uning koordinatalar formulasi
(35)
Bu tenglikning birinchisini bo‘yicha integrallaymiz.

ning topilgan qiymatini (35) ning ikkinchi va uchunchi tengliklariga qo‘yamiz.

Bu tengliklardan kelib chiqadi. Bulardan bunda o‘zgarmas son. Shuning uchun,

23-misol. ([4], 479-bet). Quyidagi maydonning potensilligini ko‘rsating va uning potensialini toping.

Yechish: Bizga ma’lumki bu maydon potensial maydon bo‘lishi uchun bo‘lishi kerak.




endi esa ushbu,


tengliklarni hisobga olsak tenglik hosil bo‘ladi. Bu esa bizga berilgan vektor potensial maydon bo‘la olishini anglatadi. Endi esa uning potensialini topaylik. Uni quyidagicha topa olamiz:



Demak, berilgan vektor maydon potensiali ga teng ekan.