O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

Asosiy qism


1. Maydon tushunchalari va ularning turlari. Gradient.
Vektor maydon va uning sirkuliaytsiyasi.

Maydon tushunchasi fizika, mexanika, matematikada skalyar, vektor, tenzor maydonlarni o‘rganishda asosiy obyekt bo‘lib xizmat qiladi.

Fizika, elektrotexnika, matematika, mexanika va shu kabi boshqa fanlardagi ko‘pgina masalalar skalyar va vektor maydonlarda qaraladi.
Qaralayotgan kattalikning har bir nuqtasi berilgan sohada aniqlangan bo‘lsa, bu soha deyiladi.
Ta’rif. Fazodagi sohaning har bir nuqtasiga aniq qonun bo‘yicha biror son mos qo‘yilgan bo‘lsa, bu sohada skalyar maydon berilgan deyiladi. soha sifatida fazoning biror bo‘lagi, sirti yoki chizig‘i olinishi mumkin.
Faraz qilaylik, soha biror jism bilan to‘ldirilgan bo‘lsin, sohaning biror nuqtasida jism zichligi bo‘lsin. Bunday maydonni jismning zichliklar maydoni deyish mumkin. dan boshqa nuqtada jism zichligi boshqacha bo‘lishi mumkin, ya’ni sohada notekkis taqsimlangan bo‘lishi mumkin. Agar skalyar maydon sohaning barcha nuqtalarida bir xil bo‘lsa, bunday maydonni “bir jinsli maydon” deyiladi. Agar skalyar maydon qiymati bir nuqtadan boshqa nuqtaga ko‘chganda o‘zgarsa bunday maydon “bir jinssiz maydon” deyiladi.
Xuddi shuningdek, atmosferaning bir nuqtasiga bosimni aniq qiymatini mos qo‘yish mumkin bo‘lganligi sababli, atmosferadagi bosimlar maydoni berilgan deyish mumkin. Qizdirilgan jismning har bir ichki nuqtasiga temperaturaning aniq qiymatini mos qo‘yish mumkin bo‘lganligi tufayli, qizdirilgan jism ichida temperaturalar maydoni berilgan deb aytishimiz mumkin.
Ba’zan skalyar maydonning qiymati vaqtga qarab ham o‘zgarib borishi mumkin. Masalan, qizdirilgan jism temperaturasi tashqi muhit temperaturasiga qarab o‘zgaradi. Bunday maydonlar “nostatsionar skalyar maydon” larni tashkil qiladi. Agar skalyar maydon vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydonlar “statsionar maydonlar” deyiladi.
Agar fazoda koordinatalar sistemasini kiritsak, u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo‘ladi va skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi. Bu holat skalyar maydonni ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi yordamida tekshirish ikonini beradi. Fiksirlangan nuqta olinsa fazodagi ixtiyoriy nuqtani radius vektori yordamida aniqlash mumkin. Bu holda skalyar maydonni vektor argumentli skalyar funksiya deb qarash mumkin.
Agar skalyar maydon simmetriklik xususiyatiga ega bo‘lsa, uni tahlil qilish juda osonlashadi.
Agar koordinatalar sistemasini shunday tanlash imkoni mavjud bo‘lsaki, unda maydon funksiyasi faqat ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday maydonlarga yassi maydonlar deyiladi.
Yassi maydonga bir xil isitilgan uzun aylanma trubali issiqlik trassasining atrofida joylashgan tuproq temperturasini keltirish mumkin. Bunday holatda truba o‘qiga perpendikulyar joylashgan barcha tekisliklarda tuproq harorati bir xil kechadi. Bunda tuproq temperaturasini aniqlovchi funksiya ikki o‘zgaruvchili bo‘ladi.
Skalyar maydonni silindrik kordinatalar sistemasida ham qarash mumkin, agar skalyar maydon biror silindrik koordinatalar sistemasida ga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydonni o‘qqa simmetrik maydon deyiladi. Yuqorida keltirilgan issiqlik trassasi atrofidagi tuproq temperaturasi o‘qqa simmetrik bo‘ladi. Agar yassi skalyar maydon faqat radial koordinatagagina bog‘liq bo‘lsa, bunday maydon “o‘qli maydon” deyiladi.
Agar biror sferik koordinatalar sistemasida skalyar maydon faqat masofa r ga bog‘liq bo‘lsa bunday maydon “markaziy maydon” deyiladi. Misol sifatida gravitatsion patensialni keltirish mumkin:

bu yerda garvitatsion o‘zgarmas, massa.
Koordinata boshida joylashtirilgan zaryadning hosil qilgan elektrostatik potensiali ham markaziy maydon bo‘lib, uning ko‘rinishi quyidagicha ifodalanadi (albatta koordinata boshidan tashqari):

Agar bo‘lsa, kelib chiqadi. Shuning uchun sferada yotgan nuqtalar uchun elektrostatik maydon patensiali o‘zgarmas bo‘ladi.
Agar biror vektor kattalikning har bir nuqtasi maydonda aniqlangan bo‘lsa, bu maydon deyiladi.
Yaqqol ko‘zga tashlanadigan vektor maydonlardan biri suyuqlikning tezliklar maydonidir. Fazoning biror qismida suyuqlik harakat qilayotgan bo‘lsin. Ixtiyoriy nuqtada har xil vaqtlarda ham tezligi bir xil bo‘lsin. Bunday harakatga “statsionar harakat” deyiladi. Aynan olingan bir nuqtada tezlik bir xil bo‘lgani bilan ning boshqa boshqa nuqtalarida tezliklar har xildir. Shunday qilib, da suyuqlikning tezliklar maydoni berilgan deyiladi. Agar uch o‘lchovli fazoda to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsa, vektor maydonni uch o‘zgaruvchili vektor funksiya sifatida ifodalash mumkin. Haqiqatdan ham, koordinatalar yordamida nuqtani va u yordamida vektor maydonni aniqlash mumkin. koordinatalar sistemasida vektorlar ba’zis vektorlar bo‘lsin. U holda, vektor maydonni

ko‘rinishida yozishimiz mumkin, bunda bu funksiyalar biz qarayotgan vektor maydonning koordinata o‘qlaridagi prayeksiyalaridir.

larning har birini skalyar maydon sifatida qarash mumkin. Skalyar maydon kabi agar vektor maydon vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydonlarga “statsionar maydon”lar deyiladi. Agar vektor maydon vaqtga bog‘liq bo‘lsa, bu maydonga “nostatsionar maydon” deyiladi.

Agar biror to‘g‘ri Dekart koordinatalar sistemasi tanlanganda vektor maydon ga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydon “yassi mayon” deyiladi.
Misol. Biror jism biror o‘q atrofida o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanayotgan bo‘lsin. Bu holda aylanayotgan jism nuqtalari tezligi ga teng bo‘ladi. Bunda ayanish o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan vektor, nuqtaning radius vektori. Shunday qilib, vektor maydon argumentli vektor funksiya orqali berilgandir .
Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki, unda jismning aylanish o‘qi o‘qi bilan mos kelsin va shu ikki vektorning yo‘nalishlari mos kelsin. U holda, bo‘ladi. Nuqtanig radius vektori . U holda,

bo‘ladi. Demak, vektor maydon yassi maydon chunki maydonning uchunchi koordinatasi no‘lga teng va birinchi va ikkinchi koordinatalari esa uchunchi koordinatasiga bog‘liq emas.
Silindrik koordinatalar sistemasida vektor maydon berilgan bo‘lsin. Agar vektor maydon har bir nuqtada ga bog‘liq bo‘lmasa, “o‘qqa simmetrik maydon” deyiladi. O‘qqa simmetrik maydonda vektor nuqta va o‘qidan o‘tadigan tekislikka parallel bo‘ladi.
Agar berilgan vektor maydon o‘zining aniqlanish sohasining ixtiyoriy nuqtasida uzunligi faqat masofaga va yo‘nalishi O va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lsa, bunday maydon markaziy maydon deyiladi. Bunday maydonni,

ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Misol. Fazoda kuchni xarakterlovchi maydon kuch maydoni deyiladi. Masalan, massasi ga teng bo‘lgan material nuqtaning tortishish kuchi. Faraz qilaylik bu nuqta koordinatalar boshida joylashgan bo‘lsin. Nyuton qonuniga ko‘ra massasi m ga teng nuqtada joylashgan radius vektori bo‘lgan nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch

ga teng bo‘ladi. Bu yerda G gravitatsion o‘zgarmas.
Nuqtaviy elektr zaryadlarining o‘zaro ta’siri natijasida hosil bo‘ladigan maydon ham markaziy maydon bo‘ladi. Nuqtaviy zaryad koordinatalar boshida joylashgan bo‘lsin. Kulon qonuniga ko‘ra radius vektori ga teng bo‘lgan
zaryadga ta’sir qiluvchi kuch,

ko‘rinishida bo‘ladi. Bu yerda, dielektrik konstanta.
Vektor maydonlarni grafikda tasvirlash maqsadida vektor chiziqlar (yoki kuch chiziqlar) tushunchasi kiritilgan.
Ta’rif. vektor maydondagi biror egri chiziqning har bir nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning yo‘nalishi maydonning shu nuqtadagi yo‘nalishi bilan ustma-ust tushsa, bu holda bu egri chiziq vektor maydonning vektor chizig‘i deyiladi.
Masalan, biror o‘q atrofida aylanma harakat qilayotgan qattiq jism tezliklar maydonining vektor chiziqlari markazi aylanish o‘qida joylashgan konsentrik aylanalardan iborat. Statsionar harakatdagi suyuqlik tezliklari maydonining vektor chiziqlari esa suyuqlik zarrachalarining trayektoriyasidan iborat bo‘ladi. Agar elektr maydoni bo‘lsa, u holda elektr chiziqlari bu maydonning kuch chiziqlari bo‘ladi. Amalda vektor chiziqlarni aniqlash uchun odatda ularning differensial tenglamalari sistemalari deb ataladigan sistema tuziladi va bu sistemani yechib, integral egri chiziqlarning grafiklari yasaladi. Vektor chiziqlarning differensial tenglamalari sistemasi quyidagicha tuziladi: chiziq vektor maydonning biror vektor chizig‘i bo‘lsin. Ravshanki vektor vektor chiziq urinmasi bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Shuning uchun, va vektorlar kolleniar bo‘ladi. Agar bo‘lsa, proyeksiyalari berilgan ikki vektorning o‘zaro kollinearlik shartiga binoan
(1)
bo‘ladi. Bu sistemaga vektor chiziqlarning differensial tenglamalari sistemasi deyiladi. Bu yerda lar vektorning koordinata o‘qlaridagi prayeksiyalari.
Yassi vektor maydonlari uchun vektor chiziqlarning differensial tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Vektor sirti undagi har bir nuqtaga mos vektorning shu nuqtada urunuvchi tekislikda yotishi bilan xarakterlanadi. Agar qaralayotgan sohada vektor chizig‘idan farqli biror egri chiziq olib, uning har bir nuqtasi orqali vektor chizig‘i o‘tkazilsa, bu chiziqlarning geometrik o‘rni vektor sirtni beradi. Agar olingan yo‘naltiruvchi chiziq yopiq bo‘lsa, u holda hosil bo‘lgan vektor sirt trubkasimon vektor sirt deyiladi. Uni vektor “trubkasi”deb ham atash mumkin.
Vektor chiziqlarni topishga oid bir nechta misollar ko‘rib o‘taylik:
1-misol. ([5], 25-bet). vektor maydonning vektor chiziqlari topilsin.
Yechish: Biz eng avvalo bu maydonning koordinata o‘qlaridagi prayeksiyalarini yozib olaylik. Bu prayeksiyalarning nimaga tengligi esa masala shartidagi maydon tenglamasida yaqqol ko‘rinib turibdi . Demak, izlanayotgan vektor chiziqlarning differensial tenglamalari sistemasi

bo‘ladi.
Ravshanki,

bu yerdan,

shunday qilib, vektor maydonning vektor chiziqlari koordinatalar boshidan o‘tgan, yo‘naltiruvchi vektori bo‘lgan ikki parametrli fazoviy to‘g‘ri chiziqlar oilasidan iborat.

Maydon gradienti. Bizga skalyar maydon berilgan bo‘lsin. skalyar maydonning deb, shunday vektorga aytiladiki uning Dekart koordinatalar sistemasi o‘qlaridagi prayeksiyalari larga teng bo‘ladi. Biz bu vektorni quyidagicha tasvirlaymiz:
(2)
Agarda funksiyaning xususiy hosilalari biror bir sohalarni ifodalasa, u holda vektor biror bir vektor maydonni ifodalaydi. Ya’ni skalyar maydon gradienti vektor maydon bo‘ladi.
Yo‘nalish bo‘yicha hosilani hisoblash uchun (2) formulani quyidagicha o‘zgartirishimiz mumkin:
(3)
va bundan,

(4)
bu yerda , vektor yo‘naltiruvchi (normal) vektor.
Endi esa sirt normalining yo‘naltiruvchi kosinuslari bilan tanishaylik. Bu orqali esa biz yo‘naltiruvchi vektor bo‘lgan ning koordinatalarini hisoblash imkoniga ega bo‘lamiz.
Tenglamasi ko‘rinishida berilgan skalyar maydonning gradienti

berilgan sirtning ixtiyoriy nuqtasida normal bo‘ylab, yo‘nalgan bo‘ladi. Shuning uchun sirtga o‘tkazilgan normalining yo‘naltiruvchi ko‘sinuslari quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:





Demak, sirtga o‘tkazilgan yo‘naltiruvchi vektorni qisqacha quyidagicha yozish mumkin:
=
Bu formulada ishoralarni tanlash sirtga o‘tkazilgan yo‘naltiruvchi vektorning tanlanishiga qarab olinadi.
Izoh: sirtning yo‘naltiruvchi kosinuslari funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, xususiy hosilalar bir vaqtda no‘lga teng bo‘lmagan nuqtalardagina aniqlangan bo‘ladi. Agar biror nuqtada xususiy hosilalar bir vaqtda no‘lga teng bo‘lsa, ular aniqlanmaydi.
Yo‘naltiruvchi vektor mavjud bo‘lmagan sirtning nuqtalariga sirtning maxsus nuqtalari deyiladi. Masalan, konus sirtining uchi konus sirti uchun maxsus nuqta bo‘ladi.
Sirt tenglamasi biror o‘zgaruvchiga nisbatan oshkor ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Masalan, ko‘rinishida berilgan bo‘lsin. Bu tenglamaning o‘ng tomonidagi ifodani uning chap tomoniga ayirma qilib o‘tkazib quyidagi tenglamani hosil qilishimiz mumkin:

Demak, deb qarashimiz mumkin, shuning uchun bu maydon funksiyasining barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha xususiy hosilalari tenglamasi quyidagilardir:

demak, ko‘rinishida berilgan sirtning yo‘naltiruvchi kosinuslari quyidagilardir:



2-misol.([5], 20-bet) ko‘rinishida berilgan parobaloidning yo‘naltiruvchi ko‘sinuslarini toping.
Yachish: ning xususiy hosilalarini topaylik.

bundan esa uning yo‘naltiruvchi kosinuslari quyidagilar ekani kelib chiqadi:
, .
Endi esa va vektorlar orasidagi burchakni topishni ko‘rib chiqaylik. Bu ikki vektor orasidagi burchak bo‘lsin. Quyidagi tenglik o‘rinli ekanligini bilamiz:
= (5)
ekanligini hisobga olsak,

ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglikdan ni osongina topa olamiz. (3) va (4) formulalarga murojat qilgan holda quyidagi tenglik o‘rinli:
(6)
Demak, skalyar maydonning nuqtadagi yo‘naltiruvchi vektor bo‘yicha hosilasi vektorning yo‘naltiruvchi vektordagi prayeksiyasiga teng ekan.
Gradient moduli qiymatini hisoblash formulasi quyidagichadir:
(7)