O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

9-misol. ([5], 49-bet). kuchning nuqtadan nuqtaga siljishdagi bajarilgan ishini toping.
Yechish: Bu kuchning bajargan ishi

formuladan topiladi. Bu integralni hisoblash uchun to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

bu yerdan .
B nuqtaga mos kelgan parametr ning qiymatini topamiz: . Xuddi shuningdek .
Integralda larning ifodalarini o‘rnlariga mos holda qo‘yamiz. Keyin esa integral qiymatini hisoblasak biz izlagan ish qiymati kelib chiqadi.

=
2. Vektor maydon oqimi. Vektor maydon divergensiyasi

Vektor maydon oqimi. Bizga fazoda biror sirt berilgan bo‘lsin. Odatda sirt yopiq yoki ochiq bo‘lishi mumkin. Sirt ochiq yoki yopiq bo‘lishidan qat’iy nazar uning ikki tomoni bo‘ladi. Agar sirtning har bir nuqtasida birlik normal vektor tanlangan bo‘lib, u M nuqtaning uzluksiz funksiyasi bo‘lsa, bunday sirtni orientrlangan sirt deyishimiz mumkin. Lekin sirt har doim ham ikki tomonli bo‘lavermaydi, masalan Myobius sirti bir tomonli sirtdir. Biz faqat ikki tomonli sirtlarni qaraymiz. Sirtga o‘tkazilgan normalning yo‘nalishi qarama-qarshi tomonga o‘tkazilganda sirtning orientatsiyasi o‘zgarganini bildiradi va qarshi tomon tanlanganini aniqlaydi.

Vektor maydon oqimi tushunchasiga olib keladigan suyuqliklar oqimini qaraymiz.
Fazoning biror qismida suyuqlik oqayotgan bo‘lib, uning tezligi vaqtga bog‘liq bo‘lmasdan, faqat fazoning nuqtasiga bog‘liq bo‘lsin: . Biror orientrlangan sirtdan tanlangan yo‘nalish bo‘yicha o‘tadigan suyuqlik miqdorini (hajmini) topish masalasini qaraylik.
Avval sodda holni ko‘raylik. Birlik normal vektori bo‘lgan sirt tekis bo‘lib, sirtning barcha nuqtalarida suyuqlik tezligi bir xil bo‘lsin.
Yassi sirtdan birlik vaqt ichida o‘tuvchi oqim miqdori asosi sirt yuzidan yasovchisi bo‘lgan silindrdan iborat bo‘ladi. Agar bilan ning yo‘nalishlari mos kelsa suyuqlik hajmi ga teng bo‘ladi. Agar bilan vektor biror burchak tashkil qilsa, silindr balandigi ga teng bo‘ladi. Uning hajmi esa ga teng bo‘ladi. Har ikki holda ham suyuqlik hajmi ga teng bo‘ladi. Modul belgisini tashlab yuborsak miqdorga S sirtdan o‘tadigan suyuqlik oqimi deyiladi. Agar bilan vektor orasidagi burchak o‘tkir bo‘lsa, suyuqlik ning yo‘nalishi bo‘ylab oqadi deymiz. Bu holda va oqim suyuqlik miqdoriga teng bo‘ladi. Agar bilan vektor orasidagi burchak o‘tmas bo‘lsa, suyuqlik ning yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalish bo‘ylab oqadi deymiz. Bunda bo‘lib, oqim va suyuqlik miqdorlari ishoralari bilan farqlanadi. Agar bilan vektorlar perpendikulyar bo‘lsa, u holda oqim no‘lga teng bo‘ladi.
Endi umumiy holni qaraylik. Ixtiyoriy sirtdan o‘tadigan suyuqlik oqimini topish uchun sirtning yuzalarini ga teng bo‘lgan qismlarga ajratamiz. Har bir bo‘lakdan ixtiyoriy nuqtani olamiz. Har bir bo‘lakchadagi suyuqlik tezligini taqriban o‘zgarmas deb qaraymiz: . Shu bilan birga bo‘lakchani yassi deb qaraymiz va normal vektorga perpendikulyar deb olamiz. U holda bo‘lakchadan o‘tadigan suyuqlik oqimi taqriban
(16)
ga teng bo‘ladi. To‘la sirtdan o‘tadigan oqim esa
(17)
ga teng bo‘ladi. kichiklashgan sari aniqlik oshib boradi. Oqimning aniq qiymati esa
. (18)
Quyidagilar o‘rinli:
Agar bo‘lsa, normal yo‘nalishi bo‘yicha suyuqlik miqdori - yo‘nalishdan o‘tadigan suyuqlik miqdoridan ko‘p bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, normal yo‘nalishi bo‘yicha suyuqlik miqdori - yo‘nalishdan o‘tadigan suyuqlik miqdoridan kam bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, ular teng bo‘ladi.
Ta’rif: Vektor maydonning (S) sirtdan o‘tadigan oqimi deb,
(19)
formuladan aniqlanadigan miqdorga aytiladi.
Bu formulada simvol bilan (S) sirt normalining orti belgilangan, esa vektorning normal vektor yo‘nalishidagi prayeksiyasini bildiradi.
Sirtning orientatsiyasi o‘zgarganda vektorni - vektorga almashtirish kerak, ya’ni oqim ishorasi o‘zgaradi.
Oqimning yozilish shakllari:
1. orqali vektorning mos ravishda koordinata o‘qlari bilan hosil qilgan burchaklarini belgilaylik. U holda, yo‘naltiruvchi ko‘sinuslar vektorning kompanentalari bo‘ladi: . Agarda bo‘lsa, oqim formulasi quyidagicha bo‘ladi:
(20)
2. Yuza elementi ni va uning tekislikdagi prayeksiyasi ni ko‘raylik. bilan tekislik orasidagi burchak ularning normal vektorlari orasidagi burchaklari bilan bir xil. Ya’ni ga teng deb faraz qilaylik. U holda


oqim formulasi esa
(21)
kabidir.
3. Yuza elementi vektorini kiritaylik . U holda (21) formulaga ko‘ra
(22)
Vektor maydon oqimining asosiy xossalari:
1. Sirtning orentatsiyasi o‘zgarganda oqim ishorasi teskariga o‘zgaradi:

2. Oqimning chiziqli xossasi:

3. Additivlik xossasi: