O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

24-misol. ([4], 479-bet). Ushbu gravitasion maydon potensialini toping.

bunda qaralayotgan nuqta massasi, u koordinata boshida joylashgan.
Yechish: Bu masalani yechishda biz quyidagi formuladan foydalanamiz:

bu tenglamadan skalyar funksiya bo‘lgan ni topamiz. Bu skalyar funksiya berilgan maydon potensialidir. Ammo avvalo bu maydon potensial maydon bo‘la oladimi degan savolga javob topishimiz kerak. Uni esa bu maydonning potensial bo‘la olish shartidan topamiz. Bu shart quyidagicha

bu shart o‘rinli yoki o‘rinli bo‘lmasligini tekshiraylik

demak, berilgan maydon potensial bo‘la oladi.
Endi esa uning potensialini topamiz.


.
Demak,

bu tenglamani oddiy differensial tenglamalar kursidan bizga tanish bo‘lgan usul orqali osongina yechish mumkin. Bundan esa,

natijaga ega bo‘lamiz. son funksiya aniqmas integraliga qo‘shiluvchi o‘zgarmas biror son ekanligidan foydalangan holda biz deb yoza olamiz. Bu esa biz izlayotgan potensialdir.
Endi esa xozir qaralgan misolga o‘xshash ammo n nuqtalar sistemasidan iborat gravitatsion maydon haqidagi quyidagi misolni qaraylik.
25-misol. Gravitatsion maydon patensialini toping. Bunda sistemaning mos nuqtalari massalari. Ular nuqtada joylashgan.

Yechish: Biz yuqoridagi misolda berilgan maydonning patensial bo‘lishi sharti o‘rinli ekanini tekshirdik. Bu shart bu misolda bizga berilgan maydon uchun ham o‘rinli ekanini ko‘rish qiyin emas. Bu shartning bajarilishi bizga berilgan maydonning har bir nuqtasida o‘rinli ekanligini tekshirib keyin ularni qo‘shsak,

ekanligi kelib chiqadi. Bitta nuqta uchun bu shartning o‘rinli bo‘lishi yuqoridagi
24-misolda keltirilganligi sababli biz ushbu misolda deb olishimiz mumkin. Bundan esa berilgan gravitatsion maydon potensial bo‘la olar ekan deb aytish mumkin. Endi esa bu gravitatsion maydon potensialini topish bilan shug‘ullanamiz. Bu berilgan gravitatsion maydon patensiali quyidagich formula orqali topiladi
.
Endi esa bu formulaning kattaliklarini o‘z o‘rinlariga mos ravishda joylab keyin esa hosil qilingan oddiy differensial tenglamani yechgan holda biz gravitatsion maydon patensialini hisoblaymiz.

bu hosil qilingan formula vektorlarning perpendikulyar bo‘lishidan kelib chiqadi. Xullas, endi biz berilgan gravitatsion maydon patensialini topa olamiz va u quyidagiga tengdir:
.
Endi esa son o‘zgarmas const ekalgidan foydalanib uni tashlab yuboraylik. U holda, biz gravitatsion maydon patensiali uchun formulaga ega bo‘lamiz.