О‘zbekiston respublikasi oliy va о‘rta maxsus ta’lim

n
x
x
x
x
,.....
,
,
3
2
1
;

tо‘plamda о‘rganilayotgan belgilari soni yoki alohida miqdorlarning 
uchrashish tezligi, vazni - 
f
;

о‘rtacha miqdor - 
X
;

yig‘indi (sigma) 

Oddiy 
arifmetik 
о‘rtacha 
о‘rtalashtirilayotgan 
belgi 
miqdorlari 
(variantlari) bir yoki teng marta takrorlangan paytda qо‘llaniladi.
f
x
f
х
х
х
х
X
n
од
ар







....
3
2
1
.
bu yerda 
x
- о‘rtalashtirilgan alohida miqdorlar;

- о‘rtalashtirilgan alohida miqdorlar yig‘indisi;
f
- о‘rtalashtirilgan alohida miqdorlar soni. 
Agar ma’lumotlar variatsion qator kо‘rinishida berilsa




f
f
x
X
торт
ар
.
.
.
Ayrim hollarda о‘rtacha miqdorlar oraliq qatorlar asosida hisoblanishi 
mumkin. Bunda har bir oraliq guruh bо‘yicha о‘rtachani, keyin jami qatorlar 
bо‘yicha umumiy о‘rtachani hisoblash lozim.
О‘rtacha arifmetik miqdor о‘rtacha hisoblanishi lozim bо‘lgan belgining 
alohida variatlari 
)
(
x
va ularning vaznlari 
 
f
mavjud bо‘lgan taqdirdagina 
qо‘llaniladi. Ammo ayrim hollarda belgining alohida variantlari 
)
(
x
ma’lum 
bо‘la turib, ularning vaznlari 
 
f
noma’lum va 
f
lar о‘rniga esa 
x
bilan 
f
ning 
kо‘paytmasi 
 
xf
keltirigan bо‘ladi. Bunday hollarda о‘rtachani hisoblash uchun 
о‘rtacha garmonik formulasi qо‘llaniladi.











x
n
х
х
х
х
Х
n
од
гарм
1
1
....
1
1
1
1
....
1
1
1
3
2
1
.
.
bu yerda: 
n
- vazn, alohida miqdorlar soni;

x
1
- alohida miqdorlar teskari darajalarining yig‘indisi.
О‘rtacha tortilgan garmonik miqdor о‘rtalashtirilayotgan miqdorlar har xil 
vaznga 
 
f
ega bо‘lgan taqdirda qо‘llaniladi.












x
W
W
x
W
x
W
x
W
x
W
W
W
W
W
X
n
n
n
....
....
3
3
2
2
1
1
3
2
1
; 
Moda – tо‘plamda eng songa yoki salmoqqa ega bо‘lgan kо‘rsatkich. U 
oraliq va oraliq bо‘lmagan qatorlar uchun aniqlanishi mumkin. Oraliq qatorlarda 
modani hisoblash formulasi quyidagicha.



 

3
2
1
2
1
2
0
0
f
f
f
f
f
f
d
X
M








---

bu yerda 
0
M
- moda;
0
X
- moda oralig‘ining quyi chegarasi;
d
- moda oralig‘i kattaligi;
1
f
- moda oralig‘ining quyi chegarasidagi vazn;
2
f
- modani о‘z ichiga olgan oraliqning vazn (varianti, uchrashish tezligi);
3
f
- moda oralig‘ining yuqori chegaradagi vazn.
Mediana – tо‘plamni teng ikkiga bо‘luvchi kо‘rsatkich. U quyidagi 
formula yordamida topiladi.
m
m
e
f
S
f
d
X
M





1
0
2
bu yerda: 
e
M
- mediana;
0
X
- mediana oralig‘ining quyi chegarasi;
d
- mediana oralig‘i; 

f
- variantlar soni yig‘indisi;
1

m
S
- mediana oralig‘idan oldingi oraliqlar; 
m
f
- medinani о‘z ichiga olgan oraliq vazni.
Mediananing qiymati variatsion qatordagi tafovutga ham, vaznlar 
salmog‘iga ham bog‘liq emas.
Moda va mediana о‘rtacha miqdor funksiyasini bajar olmaydi. Ularning 
qiymati faqat simmetrik qatorlarda о‘rtacha qiymatga mos tushishi mumkin.
Takrorlash uchun savol va topshiriqlar: 
1. O’rtacha miqdorlar nima uchun kerak? 
2. «O’rtacha inson» nazariyasini kim yaratgan? 
3. Statistik o’rtachalar hayotiy o’rtachalardan nima bilan farq qiladi? 
4. O’rtachani hisoblashda qanday qoidalarga rioya qilasiz? 
5. Z=0; Z=1; Z=-1; Z=2 bo’lganda qaysi formuladan foydalanasiz? 
6. Variantlar (x) bir marta yoki har biri 10 (teng) martadan takrorlansa o’rtacha 
qaysi formula bilan aniqlanadi? 
7. Guruh talabalari quyidagi ballarni (5-balli tizim) to’plagan: 2 ballni 5 kishi; 3 ni-8; 4 ni-10; 
5 ni-6 kishi. Guruh bo’yicha o’rtacha ballni aniqlang. 
7-MAVZU. VARIATSIYA KО‘RSATKICHLARI 
Reja: 
7.1.Variatsiya mohiyati va uni statistik о‘rganish zarurligi. 
7.2.Variatsiya kо‘rsatkichlari. 
7.3.Dispersiya va о‘rtacha kvadratik tafovut xossalari. 
7.4.Dispersiya va о‘rtacha kvadratik tafovutni «shartli moment» va “yig‘indi” 
usullarida hisoblash. 
7.5.Muqobil belgi dispersiyasi va о‘rtacha kvadratik tafovuti. 
7.6.Guruhlar ichidagi va guruhlararo dispersiyalar. 
7.7.Dispersiyalarni qо‘shish qoidasi va uni sabab-oqibat bog‘lanishlarni 
о‘rganishda qо‘llash zarurligi. 
7.8.Asimmetriya va ekssess kо‘rsatkichlari. 

---

Adabiyotlar: 2, 4, 7, 11, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 
Tayanch iboralar: 
Variatsiya, varatsiya meyorlari, varatsion kenglik, o‘rtacha 
mutlaq tafovut, dispersiya va о‘rtacha kvadratik tafovut.
О‘rtacha miqdor bir-biridan tafovut bо‘lgan alohida miqdorlarni 
umumlashtirib tavsiflasa-da, lekin о‘ziga nisbatan alohida miqdorlarning 
qanchalik tafovutda ekanligini, u tafovutning qanchalik katta-kichikligini 
ifodalay 
olmaydi. 
О‘rtacha 
miqdorlar 
mavhum 
miqdorlardir, 
ular 
о‘rganilayotgan tо‘plamga umumlashtirilgan holda baho beradilar xolos, lekin 
uning birliklarini tuzilishini, ularni bir-biridan farqini kо‘rsatmaydilar, aksincha 
bu holat о‘rtachalarda yopilib ketadi. Tо‘plam birliklarining о‘rtacha atrofida 
ayrim guruh va guruhchalarga bо‘linishini, ular о‘rtachadan qanday masofada 
joylashganligini, ularning ichidagi tebranishlarni о‘rtacha miqdorlar ifodalab 
bera olmaydi. 
Alohida miqdorlar о‘rtasida tafovut qanchalik kichik bо‘lsa, ular asosida 
hisoblangan о‘rtacha shuncha real bо‘ladi va aksincha, ular о‘rtasidagi tafovut 
qanchalik katta bо‘lsa ular asosida hisoblangan о‘rtacha shuncha ishonchsiz 
bо‘ladi. Quyidagi ikki о‘rtachani olaylik: