|
11.
n
- TARTIBLI CHIZIQLI O‘ZGARMAS KOEFFITSIENTLI
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Maqsad
–
n
- tartibli chiziqli o‘zgarmas koeffitsientli differensial
tenglama-ning umumiy yechimini qurishni o‘rganish
Yordamchi ma’lumotlar:
n - tartibli chiziqli o‘zgarmas koeffitsientli differensial tenglama
deb
( )
(
1)
1
1
0
...
( )
n
n
n
n
a y
a
y
a y
a y
f x
(1)
ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi, bunda
0,
n
a
1
1
0
,
,
,
n
a
a a
koeffitsientlar
berilgan o‘zgarmas sonlar, o‘ng tomon (ozod had) ( )
f x
biror
I
oraliqda
aniqlangan va uzluksiz funksiya.
1
0
. Ushbu
( )
(
1)
1
1
0
...
0
n
n
n
n
a y
a
y
a y
a y
(2)
tenglama (1) ga
mos bir jinsli tenglama
deb ataladi.
Ushbu
1
1
1
0
( )
...
0
def
n
n
n
n
L
a
a
a
a
(3)
n
darajali algebraik tenglama
(2) differensial tenglamaning xarakteristik
tenglamasi
deyiladi. Xarakteristik tenglama ildizi esa
xarakteristik son
deb
ataladi.
Algebradan ma’lumki, (3)
n
darajali algebraik tenglama kompleks
sohada karraliligini hisobga olgan holda
n
ta ildizga ega.
Agar
j
son xarakteristik tenglama (3) ning
(
1)
j
j
k
k
karrali ildizi,
ya’ni
(
1)
(
)
(
)
(
)
...
(
)
0,
(
)
0,
j
j
k
k
j
j
j
j
L
L
L
L
1
1
( )
(
)
( ),
(
)
0
j
k
j
j
L
L
L
bo‘lsa, u holda (2) differensial tenglama ushbu
1
,
,...,
j
j
j
j
x
x
k
x
е
хе
х
е
j
k
dona (
j
ga mos) chiziqli erkli yechimga ega bo‘ladi. Agar xarakteristik
tenglama (3) ning barcha ildizlarini topib, ularga mos kelgan (2) differensial
tenglama yechimlarini tuzsak, u holda (2) ning
n
dona chiziqli erkli yechimlari
144
1
2
,
,
,
n
y y
y
ni (fundamental (bazis) yechimlarni yoki yechimlarning
fundamental sistemasini) topgan bo‘lamiz. Bu yechimlarning ixtiyoriy chiziqli
kombinatsiyasi
1 1
2
2
1
2
( )
( ) ...
( )
( ,
,...,
const)
n
n
n
y
c y x
c y x
c y x
c c
c
(2) differensial tenglamaning umumiy yechimini beradi.
Faraz qilaylik, (2) differensial tenglamaning koeffitsientlari haqiqiy
sonlardan iborat bo‘lsin. Bu holda odatda yechimlarni haqiqiy qiymatli
funksiyalar orasidan izlanadi. Xarakteristik tenglamaning koeffitsientlari
haqiqiy sonlar bo‘lgani uchun uning ildizlari qo‘shma kompleks sonlar tarzida
bo‘ladi, ya’ni agar
j
j
j
i
(
,
j
j
haqiqiy sonlar,
0
j
,
i
mavhum
birlik) soni (3) ning
j
k
karrali ildizi bo‘lsa, u holda unga qo‘shma bo‘lgan
j
j
j
i
kompleks son ham (3) ning
j
k
karrali ildizi bo‘ladi. Bu holda (2)
differensial tenglama kompleks yechimining haqiqiy va mavhum qismlari ham
(2) ning yechimlari bo‘ladi. Ushbu
ва
.
j
j
j
j
j
j
i
i
j
k
karrali xarakteristik songa (2) differensial tenglamaning ushbu
1
1
cos
,
cos
, ...,
cos
,
sin
,
sin
, ...,
sin
j
j
j
j
j
j
j
j
x
x
k
x
j
j
j
x
x
k
x
j
j
j
е
x хе
x
х
е
x
е
x хе
x
х
е
x
2
j
k
ta haqiqiy yechimi mos keladi.
Xarakteristik sonlarga mos keluvchi barcha bunday ko‘rinishdagi
yechimlar (2) ning fundamental (bazis) haqiqiy yechimlarini (fundamental
sistemasini) tashkil etadi. Fundamental (bazis) yechimlarning chiziqli
kombinatsiyasi (haqiqiy koeffitsientlar bilan) (2) ning umumiy yechimini
ifodalaydi.
Misol 1.
Ushbu
2
2
0
y
y
y
y
tenglamani yeching.
Mos xarakteristik tenglamani tuzamiz:
3
2
2
2
0.
Bu tenglamani yechamiz
2
(
2) (
2)
0,
2
(
2)(
1)
0,
(
2)(
1)(
1)
0
.
Xarakteristik sonlar sodda (bir karrali):
1
2
3
1,
1,
2
.
Differensial tenglamaning fundamental yechimlari:
145
2
,
,
.
x
x
x
e
e
e
Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi
2
1
2
3
.
x
x
x
y
c e
c e
c e
Misol 2.
Ushbu
2
0
IV
y
y
y
tenglamani yeching.
Xarakteristik tenglama
4
2
2
2
2
2
2
1 (
1)
(
) (
)
0
i
i
.
Demak,
i
va
i
ikki karrali xarakteristik sonlar. Berilgan differensial
tenglamaning bu xarakteristik sonlarga mos haqiqiy fundamental yechimlari
cos , cos , sin , sin
x x
x
x x
x .
Umumiy yechim
1
2
3
4
cos
cos
sin
sin
y
c
x c x
x c
x c x
x
.
2
0
.
Chiziqli o‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo‘lmagan differensial
tenglama
ni yechish.
Ma’lumki, (1) tenglamaning umumiy yechimi uning biror xususiy
yechimiga mos bir jinsli tenglama (2) ning umumiy yechimini qo‘shishdan
hosil bo‘ladi.
(1) tenglamaning xususiy yechimini topishda Lagranjning ixtiyoriy
o‘zgarmaslarni variatsiyalash usulidan foydalanish mumkin. Ba’zan bu usul
uzoq hisoblashlarni talab qiladi.
O‘ng tomon
f
(
x
)
ning ba’zi maxsus ko‘rinishlarida xususiy yechimni
noma’lum koeffitsientlar metodidan foydalanib topish mumkin. O‘ng tomon
1
2
( )
( ( ) cos
( ) sin
)
x
f x
e
P x
x
P x
x
kvaziko‘phaddan iborat bo‘lsin, ya’ni
( )
1
0
1
2
...
( ( ) cos
( ) sin
)
n
x
n
p y
p y
p y
e
P x
x
P x
x
(4)
differensial tenglamani qaraylik, bunda ,
lar haqiqiy sonlar;
1
2
( ),
( )
P x P x
haqiqiy koeffitsientli ko‘phadlar.
(4) tenglamaning xususiy yechimini qurish uchun quyidagicha ish
tutamiz. Qaralayotgan (4) tenglama uchun
i
kompleks sonni tuzaylik.
1) Agar
i
son xarakteristik tenglama (3) ning ildizi bo‘lmasa,
u holda (4) ning xususiy yechimini
1
2
(
( ) cos
( ) sin
)
x
y
e
Q x
x
Q x
x
ko‘rinishda izlash mumkin, bunda
1
2
( ),
( )
Q x Q x
ko‘phadlar hamda
1
2
1
2
max(deg
,deg
)
max(deg ,deg
)
Q
Q
P
P
, deg
Q
bilan
Q
ko‘phadning darajasi
belgilangan
.
2)Agar
i
kompleks son (3) xarakteristik tenglamaning
k
karrali
ildizi bo‘lsa (rezonans holi), u holda (4) ning xususiy yechimini
146
1
2
(
( ) cos
( ) sin
)
k
x
y
x e
Q x
x
Q x
x
ko‘rinishda
izlash
mumkin,
bunda
1
2
( ),
( )
Q x Q x
ko‘phadlar
va
1
2
1
2
max(deg
,deg
)
max(deg
,deg
).
Q
Q
P
P
Misol 3.
Ushbu
4
4
sin 2
y
y
y
x
(5)
tenglamaning xususiy yechimini toping.
Tenglamaning o‘ng tomoni kvaziko‘phad:
0
2
,
1
2
( )
0,
( ) 1
P x
P x
,
1
2
deg
deg
0
P
P
,
2
i
i
kompleks son
2
4
4
0
xarakteristik tenglamaning ildizi emas:
2
(2 )
4 2
4
0
i
i
.
Demak, xususiy yechimni
cos 2
sin 2
y
A
x
B
x
(6)
ko‘rinishda izlash mumkin, bunda ,
A B
noma’lum koeffitsientlar
(
1
2
deg
deg
0
Q
Q
)
.
(6) ni (5) ga qo‘yib
A
va
B
larni topamiz:
( cos 2
sin 2 )
4( cos 2
sin 2 )
4( cos 2
sin 2 )
sin 2 ,
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
x
8 cos 2
8 sin 2
sin 2 .
B
x
A
x
x
Demak, 8
0,
8
1
B
A
,
ya’ni
1
,
0.
8
А
В
Bu qiymatlarni (6) ga qo‘yib,
(5) ning xususiy yechimini topamiz:
1 соs2
8
у
x
.
Misol 4.
Ushbu
2
cos
IV
y
y
y
x
x
(7)
tenglamaning xususiy yechimini quring.
Berilgan tenglama (7) ning o‘ng tomoni kvaziko‘phad:
0,
1,
1
2
deg
1, deg
0
P
P
.
i
i
kompleks son xarakteristik tenglama
4
2
2
2
2
2
2
1 (
1)
(
) (
)
0
i
i
ning ikki karrali ildizi (rezonans holi). Demak, (7) tenglamaning xususiy
yechimini
2
(
) cos
(
) sin
(
)
y
x
Ax
B
x
Cx
D
x
(8)
ko‘rinishda izlash mumkin.
(8) ni (7)ga qo‘yib, hosil bo‘lgan tenglikning ayniyat bo‘lishi
kerakligidan
, ,
A B C
va
D
noma’lum koeffitsientlarga nisbatan chiziqli
algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz va uni yechib,
147
1
1
,
0 ,
0,
24
8
A
B
C
D
larni topamiz. Bularni (8) ga qo‘yib, (7) ning xususiy yechimini hosil qilamiz:
3
2
1
1
cos
sin
24
8
y
x
x
x
x
.
Xususiy yechimni topishda ba’zan quyidagi tasdiq qo‘l keladi.
Agar
1
( )
y
y x
funksiya
( )
(
1)
1
1
0
1
...
( )
n
n
n
n
a y
a
y
a y
a y
f x
differensial tenglamaning,
2
( )
y
y x
esa
( )
(
1)
1
1
0
2
...
( )
n
n
n
n
a y
a
y
a y
a y
f
x
differensial tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda
1 1
2
2
( )
( )
y
y x
y x
funksiya ushbu
( )
(
1)
1
1
0
1 1
2
2
...
( )
( )
n
n
n
n
a y
a
y
a y
a y
f x
f
x
differensial tenglamaning yechimi bo‘ladi (superpozitsiya prinsipi).
Do'stlaringiz bilan baham: |
