|
x
x
x
(4)
matritsa (3) ning
fundamental matritsa
si
deyiladi. Fundamental matritsa ( )
t
orqali (3) ning umumiy yechimi ushbu
174
1
2
( ) ,
,
.
n
c
c
t
c
x
c
c
(5)
koʻrinishida ifodalanadi; bunda
1
2
,
,...,
n
c c
c
- ixtiyoriy oʻzgarmas sonlar,
c
oʻzgarmas vektor.
Fundamental matritsa ushbu
( )
( ) ( )
t
A t
t
matritsaviy differensial tenglama yechimidir.
1
2
( ),
( ),...,
( )
k
t
t
t
y
y
y
(
n
1
oʻlchamli) vektor-funksiyalar
I
intervalda
aniqlangan boʻlsin. Agar kamida bittasi noldan farqli
1
2
,
,...,
k
c c
c
sonlari mavjud
boʻlib, ular uchun
I
da
1 1
2
2
( )
( ) ...
( )
0
k
k
c
t
c
t
c
t
y
y
y
( 0
nol-vektor) (6)
ayniyat oʻrinli boʻlsa, u holda qaralayotgan vektor-funksiyalar
I
intervalda
chiziqli bogʻliq deyiladi; aks holda ular
I
da chiziqli bogʻlanmagan (chiziqli
erkli) deyiladi.
Demak,
1
2
( ),
( ),...,
( )
k
t
t
t
y
y
y
vektor-funksiyalarni chiziqli bogʻliqlikka
tekshirish
(6)
tenglamaning
1
2
,
,...,
k
c c
c
larga
nisbatan
notrivial
{1, 2,..., }
0
(
)
i
i
k c
yechimga ega boʻlishini aniqlashga keltiriladi.
Agar
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
t
t
t
x
x
x
vektor-funksiyalar (3) differensial tenglamalar
sistemasining
I
da yechimi boʻlsa, u holda ularning
I
da chiziqli erkli boʻlishi
osongina tekshiriladi: (3) ning
n
dona
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
t
t
t
x
x
x
yechimlarining
chiziqli erkli boʻlishi uchun ulardan tuzilgan ushbu
11
12
1
21
22
2
1
2
1
2
( )
( ).....
( )
( )
( ).....
( )
det[
( ),
( ),...,
( ) ]
. . . .
. .
.
( )
( )......
( )
n
n
n
n
n
nn
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
t
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
determinantning biror
0
t
I
nuqtada noldan farqli boʻlishi yetarli va zarurdir.
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
t
t
t
x
x
x
vektor-funksiyalarning vronskiani deb ushbu
1
2
1
2
[
( ),
( ),...,
( )]
det[
( ),
( ),...,
( )]
n
n
W
t
t
t
t
t
t
x
x
x
x
x
x
determinantga
aytiladi.
(3)
differensial
tenglamalar
sistemasining
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
t
t
t
x
x
x
(
)
t
I
yechimlari uchun tuzilgan ushbu
1
2
( )
[
( ),
( ),...,
( )]
n
W t
W
t
t
t
x
x
x
vronskian uchun ushbu
175
0
0
( )
( ) exp
( )
;
t
t
W t
W t
SpA s ds
0
,
,
t
I t
I
1
( )
( ) ,
n
jj
j
SpA s
a
s
(7)
formula oʻrinli. Bu (7) formula
Liuvill
formulasi
deyiladi.
Agar bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi (3) ning fundamental
matritsasi ( )
t
ma’lum boʻlsa, unga mos bir jinsli boʻlmagan (2) tenglamaning
xususiy yechimini (5) formuladagi ixtiyoriy oʻzgarmas vektor
c
ni
variatsiyalash usuli (Lagranj usuli) bilan topish mumkin. Bunda (2) ning
xususiy yechimi
( ) ( )
t
t
x
c
(8)
koʻrinishda izlanadi. (8) ni (2) ga qoʻyib, noma’lum vektor funksiya ( )
t
c
topiladi:
( ) ( )
( )
t
t
t
c
f
. (9)
t
I
uchun det
( )
0
t
boʻlgani uchun (9) dan
1
( )
( ) ( )
t
t
t dt
c
f
(10)
ekanligini topamiz. Demak, (3) ning xususiy yechimi (10) va (8) ga koʻra
1
( )
( ) ( )
t
t
t dt
x
f
(11)
shaklda boʻladi. Bir jinsli boʻlmagan (2) tenglamaning umumiy yechimi uning
xususiy yechimi (11) ga mos bir jinsli tenglama (3) ning umumiy yechimi (5)
ni qoʻshishdan hosil boʻladi, ya’ni
1
( )
( ) ( )
( ) .
t
t
t dt
t
x
f
c
(12)
Misol 1.
Ushbu
a)
1
2
2
1
( )
2
,
( )
1
t
t
t
t
t
t
y
y
vektor-funksiyalar biror
I
oraliqda chiziqli bogʻliqmi? Mana bu
b)
1
2
3
2
2
1
1
( )
2
,
( )
,
( )
3
1
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
y
funksiyalarchi?
a
).
Faraz qilaylik, ular biror
I
oraliqda chiziqli bogʻliq boʻlsin. U holda
kamida bittasi noldan farqli boʻlgan
1
c
va
2
c
sonlar mavjud boʻlib,
t
I
uchun
1 1
2
2
( )
( )
0
c
t
c
t
y
y
boʻladi.
176
Demak,
t
I
uchun
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
0
2
2
0 ,
1
0
c t
c
t
c
t
c
t
c t
c t
t
c
c t
ya’ni
1
2
1
2
2
1
2
0,
2
0,
(
).
0.
c t
c
c t
c t
t
I
c
c t
Bu yerdagi birinchi tenglamadan
2
1
c
c t
ni topib, uni uchinchi tenglamaga
qoʻyaylik:
3
1
1
0,
.
c
c t
t
I
Oxirgi tenglik
t
I
ga nisbatan ayniyat boʻlgani uchun
1
0
c
boʻlishi kerak.
Demak,
2
1
0
c
c t
. Shunday qilib,
1
2
0
c
c
. Bu esa
1
c
va
2
c
larning
birortasining noldan farqli ekanligiga zid. Farazimiz notoʻgʻri: berilgan
1
( )
t
y
va
2
( )
t
y
vektor-funksiyalar hech qanday oraliqda chiziqli bogʻliq emas.
b). Ushbu
1 1
2
2
3
3
( )
( )
( )
0,
,
c
t
c
t
c
t
t
I
y
y
y
ayniyatni yozaylik. Uning skalyar koʻrinishi quyidagicha:
1
2
3
1
2
3
2
2
1
2
3
(1
)
0,
2
3
0,
(
)
(1
)
0.
c t
c
c
t
c t
c t
c t
t
I
c
c t
c
t
Oxirgi sistemani
1
3
2
3
1
2
3
2
2
3
1
3
(
)
0,
(2
3 )
0,
(
)
(
)
0.
c
c t
c
c
c
c
c t
t
I
c
c t
c
c
ayniyatlar koʻrinishida yozib,
1
3
2
3
1
2
3
0,
0, 2
3
0
c
c
c
c
c
c
c
shartlarni hosil qilamiz. Ulardan
1
3
2
3
,
c
c
c
c
ekanligini topamiz. Demak,
masalan,
1
2
3
1,
1,
1
c
c
c
tanlab, notrivial chiziqli kombinatsiya
1
2
3
1
( ) 1
( ) ( 1)
( )
0,
(
,
)
t
t
t
t
y
y
y
,
boʻlishini aniqlaymiz. Demak, berilgan
1
2
3
( ),
( ),
( )
t
t
t
y
y
y
vektor-funksiyalar
(
,
)
oraliqda chiziqli bogʻlangan.
177
Misol 2.
Ushbu
2 ,
2
t
x
y
e y
x
t
sistemani yeching.
Berilgan sistemaga mos bir jinsli sistema
x
y
y
x
yoki
0 1
1 0
x
x
y
y
koʻrinishga ega. Bu sistema
1
1
t
t
x
e
y
e
va
2
2
t
t
x
e
y
e
chiziqli erkli yechimlarga ega. Haqiqatan ham, ularning yechim ekanligi
bevosita koʻrinib turibdi (ularni yoʻqotish usuli bilan ham topsa boʻladi),
chiziqli erkliligi esa mos vronskianning noldan farqli ekanligidan kelib chiqadi:
1
2
1
2
2
0 .
t
t
t
t
x x
e
e
y y
e
e
Demak, bir jinsli sistemaning fundamental matritsasi
( )
,
t
t
t
t
e
e
t
e
e
uning umumiy yechimi esa
1
2
( )
c
x
t
y
c
yoki skalyar koʻrinishda
1
2
1
2
,
.
t
t
t
t
x
c e
c e
y
c e
c e
Berilgan bir jinsli boʻlmagan
0 1
2
1 0
2
t
x
x
e
y
y
t
sistemaning yechimini
( )
( )
x
t
t
y
Do'stlaringiz bilan baham: |
