Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechish usullari Reja

Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechish usullari

Reja:

1. 
   Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
   
2. 
   Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari
   

cosx=a, sinx=a, tgx=a, ctgx=a ko’rinishidagi tenglamalar eng sodda trigonometrik tenglamalar deyiladi. Trigonometrik tenglamalarni yechishdan oldin uning aniqlanish sihasini topish kerak. So’ngra tenglamaning aniqlanish sohasida teng kuchli tenglamalar haqidagi teoremalardan va shakl almashtirishlardan foydalanib berilgan tenglamani bir yoki bir necha eng sodda trigonometrik tenglamalarga keltiriladi. Bu sodda tenglamalar yechilib, topilgan yechimlarning qaysi biri berilgan tenglamaning yechimi ekanligi aniqlanadi.

1. 
   Kvadrat tenglamaga keltirib yechiladigan tenglamalar, ya’ni
   

_{ } yoki

_{ }

4sin²x-3sinx-1=0 tenglamani yeching.

Bu tenglama sinx ga nisbatan kvadrat tenglama. sinx=y deb olib, 4y²-3y-1=0 tenglamani hosil qilamiz. Uning ildizlari _{ }

sinx=_{ }tenglama _{ }

sinx =1 tenglama _{ }ildizlarga ega.

2. 
   Ko’paytuvchilarga ajratish usuli.
   

sin5x-cos3x=sinx tenglamani yeching

(sin5x-sinx)-cos3x=0

2sin2xcos3x-cos3x=0

cos3x(2sin2x-1)=0

berilgan tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi, ularni yechamiz :

1) _{ }

2) _{ }

3. To’ldiruvchi burchak kiritish usuli.

_{ } tenglamani yeching.

Tenglamaning har ikkala qismini ikkiga bo’lamiz : _{ }

Agar _{ } ekanini e’tiborga olsak, berilgan tenglama _{ } ko’rinishni oladi. Bu tenglamani yechamiz x+30⁰=(-1)ⁿ30⁰+180⁰n, n=2k va n=2k+1 desak, x=360⁰k va x=120⁰(3k+1) yechimlarni olamiz.

Ushbu sinx >a, cosx>a, tgx>a, ctgx>a, sinx ≤ a, cosx ≤a, tgx≤a, ctg≤a ko’rinishdagi tengsizliklarni eng sodda trigonometrik tengsizliklar deyiladi. Murakkab tengsizliklarni yechish bu sodda tengsizliklardan birini yechishga keltiriladi.

Tengsizlikning ko’rinishi	Tengsizlikning yechimlari to’plami
sinx>a	 
sinx	 
cosx.>a	 
cosx	 
tg>a	 
tg	 
ctgx>a	 
ctgx	 
	 

2sin²x-7sinx+3 > 0 tengsizlikni yeching

2y²-7y+3 > 0

<sub> 

 </sub> tengsizlikning yechimi bo’ladi.

_{ } tengsizlikni yeching

Berilgan tengsizlikdan _{ } tengsizliklarni olamiz. Birinchi tengsizlikning yechimlari to’plami : _{ }

Ikkinchi tengsizlikning yechimlari to’plami : _{ }.

Tayanch iboralar :

tenglama, tengsizlik, yechim, ildiz, kvadrat

Nazorat savollari :

Tenglamani yeching

1. _{ }

2. _{ }

3. _{ }

Tengsizlikni yeching

1. _{ }

2. _{ }

3. _{ }