Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

Noaniq koeffitsientlar usuli.
(3) yoyilmani va tenglama koeffitsient-
larining yoyilmalarini (2) tenglamaga qoʻyib, kerakli ixchamlashtirishlarni 
bajarib, 
0
(
)
x
x

ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarini tenglashtirib, 
hosil boʻlgan cheksiz sistemadan 
(
0,1, 2,...)
n
a
n

koeffitsientlarni ketma-ket 
aniqlaymiz. Aniqrogʻi, quyidagicha ish tutamiz. 
(3) qatorni hadma-had ikki marta differensiallaymiz: 
1
0
1
0
0
1
1
0
(
)
(
1)
(
) , |
|
,
n
n
n
n
n
n
y
na x
x
n
a
x
x
x
x
R






 








(4) 
1
1
0
2
0
0
1
1
0
(
1)
(
)
(
1)(
2)
(
) , |
|
n
n
n
n
n
n
y
n n
a
x
x
n
n
a
x
x
x
x
R







 










. (5) 
Tenglamada berilgan koeffitsientlarni ham 
0
x
markazli darajali qatorlarga 
yoyamiz: 
1
0
0
0
( )
(
) , |
|
,
n
n
n
p x
b x
x
x
x
R







(6) 
0
0
0
0
( )
(
) , |
|
n
n
n
p x
c x
x
x
x
R







, (7) 

---

238
0
0
0
( )
(
) , |
|
n
n
n
q x
d x
x
x
x
R







, (8) 
(bu yerda 
1
0
( ),
( ), ( )
p x
p x q x
uchun darajali qatorlar yaqinlashish radiuslarining 
eng kichigini 
R
bilan belgiladik). Bu qatorlarni qaralayotgan differensial 
tenglamaga qoʻyib, zarur soddalashtirishlarni bajaramiz: 
2
0
0
1
0
0
0
0
(
1)(
2)
(
)
(
)
(
1)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
x
b x
x
n
a
x
x




















0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
) ;
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c x
x
a x
x
d x
x















2
1
0
0
0
0
0
(
1)(
2)
(
1)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
k
n k
k n k
n
n
k
n
n
n
a
k
a b
a c
x
x
d x
x




















. 
Bu tenglikning chap va oʻng tomonidagi
0
(
)
x
x

ning bir xil darajalari 
oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirib, 
(
0,1, 2,...)
n
a
n

noma’lumlarni topish 
uchun cheksiz chiziqli algebraik sistemani hosil qilamiz: 
0
0
2
1 0
0 0
0
(
) : 1 2
,
x
x
a
a b
a c
d

 



1
0
3
1 1
0 1
2 0
1 0
1
(
) : 2 3
2
x
x
a
a b
a c
a b
a c
d

  




, 
………………………………………………………………
0
2
1
0
(
) : (
1)(
2)
(
1)
(
)
n
n
n
k
n k
k n k
n
k
x
x
n
n
a
k
a b
a c
d













, 
…………………………………………………………….…… 
Berilgan ixtiyoriy 
0
0
(
)
a
y x

va 
1
0
(
)
a
y x


qiymatlarga koʻra bu yerdagi 
birinchi tenglamadan 
2
a
, ikkinchisidan 
3
a
va h.k. barcha qolgan 
n
a
lar bir 
qiymatli aniqlanadi. 
Ba’zi hollarda 
n
a
ni 
0
1
,
a a
va 
n
ning bevosita oshkor funksiyasi sifatida 
topish mumkin boʻladi. Topilgan 
n
a
larga koʻra (3) darajali qatorning yaqin-
lashish radiusini hisoblaymiz va qurilgan analitik funksiya yaqinlashish 
intervalida (2) differensial tenglamaning yechimi ekanligini bevosita 
asoslaymiz. Umumiy nazariyada isbotlanganiga koʻra, 
1
R
R

boʻlishi, ya’ni 
qurilgan (3) funksiya (2) tenglamada qatnashgan analitik funksiyalarining 
umumiy analitiklik intervalida shu tenglamaning (analitik) yechimi boʻlishi 
kerak. Shunday qilib, (2) tenglamaning 
0
1
,
a a
ikki parametrli analitik yechimlar 
oilasini hosil qilamiz.
Ketma-ket differensiallash usuli.
Yuqoridagi (2) tenglamaning (3) 
yechimidagi
(
0,1, 2,...)
n
a
n

koeffitsientlarni
( )
0
(
)
(
0,1, 2,...)
!
n
n
y
x
a
n
n



---

239
formulalarga koʻra topish ham mumkin. Bunda 
0
0
(
)
a
y x

, 
1
0
(
)
a
y x


; qolgan 
koeffitsientlar esa (2) tenglamadan aniqlanadi. 
( )
y
y x

yechim boʻlgani 
uchun, u 
0
x
nuqtaning biror atrofida (3) tenglamani ayniyatga aylantiradi: 
1
0
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
y x
p x y x
p x y x
q x





. (13)
Bu ayniyatda 
0
x
x

deb 
0
(
)
y x

ni va, demak, 
0
2
(
)
2!
y x
a


ni topamiz. (13) 
ayniyatni ketma-ket differensiallab va 
0
x
x

deb, 
0
0
(
),
(
),...
IV
y
x
y
x

hamda 
3
4
,
,...
a a
larni hisoblaymiz: 
1
1
0
0
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
y
x
q x
p x y x
p x y x
p x y x
p x y x












, 
bundan
0
(
)
y
x

va 
0
3
(
)
3!
y
x
a


qiymat; 
1
1
0
0
( )
...
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
IV
q x
y
x
q x
p x y x
p x y x
p x y x
p x y x















, 
bundan 
0
(
)
IV
y
x
va 
0
4
(
)
4!
IV
y
x
a

qiymat va hk koeffitsientlar topiladi. 
Misol 1.
Ushbu
0
1
sin
0
(0)
, (0)
y
x y
y
y
a y
a



  






(14) 
boshlangʻich masalasining 
0
0
x

markazli darajali qator koʻrinishidagi 
yechimini quring.

Tenglamaning
1
( )
sin
p x
x

, 
0
( )
1
p x

va 
( )
0
q x

koeffitsientlari 
(
,
)
 
oraligʻida analitik 
(
)
R
 
va 
3
5
sin
... ,
,
3!
5!
x
x
x
x
x
 


    
(15) 
yoyilma oʻrinli. Berilgan masalaning
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1
... , | |
,
y
a
a x
a x
a x
a x
a x
x
R








(16) 
yechimini noma’lum koeffitsientlar usuli yordamida topamiz. Yuqorida 
keltirilgan teoremaga koʻra 
1
R
R
  
boʻladi. (16) yoyilmani hadma-had 
ikki marta differensiallaymiz: 
2
3
1
2
3
4
2
3
4
... ,
y
a
a x
a x
a x
  



(17) 
2
3
2
3
4
5
2
6
12
20
... ,
y
a
a x
a x
a x
 




(18) 
Endi (15) va (18) yoyilmalarni berilgan tenglamaga qoʻyamiz: 
3
5
2
3
2
3
4
5
2
6
12
20
...
...
3!
5!
(
)
x
x
a
a x
a x
a x
x



  




---

240
2
3
2
3
4
5
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
2
3
4
...
...
0.
(
)
a
a x
a x
a x
a
a x
a x
a x
a x
a x










 


Bu yerda qavslarni ochib, oʻxshash hadlarni ixchamlaymiz: 
2
3
1
2
0
3
1
4
2
5
3
(
)
(2
)
(6
2 )
(12
3
)
20
4
...
0.
6
a
a
a
a
a x
a
a x
a
a
x








 
Koeffitsientlarni nolga tenglashtirib topamiz: 
0
0
3
1
2
1
1
1
1
2
3
4
5
3
,
,
,
, ...
8
120
3
4
5
120
40
2
15
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
 
 

 




. 
Bu qiymatlarni (16) ga qoʻyib, berilgan tenglama yechimining beshinchi 
darajali hadlarigacha yoyilmasini hosil qilamiz: 
2
4
3
5
0
1
1
3
1
1
(1
...)
(
...),
8
3
40
2
y
a
x
x
a x
x
x
x








    
. 

Misol 2.
Ushbu 
2
(1) 1 ,
(1) 1
x
y
xy
y
e
x
y
y
 











(19) 
masala yechimi uchun
(
1)
x

ning darajalari boʻylab yoyilma qaysi intervalda 
yaqinlashuvchi? Bu yoyilmani 
(
1)
x

ning toʻrtinchi darajasiga qadar hadlarini 
toping. 

Ravshanki, berilgan tenglama koeffitsientlari uchun 
1
2
0
(
) , |
( )
1 1 (
1) ,
,
1
2
( )
2
2 1 (
1)
(
1)
...
1| 1,
1 (
1)
p x
x
x
x
p x
x
x
x
x
x
    
    
    
 
  


 


2
1
(
1)
(
1)
( )
1
... ,
,
1!
2!
x
x
x
x
q x
e
e e
e
x






 




    




Demak, bu darajali qatorlar uchun ymumiy yaqinlashish radiusi 
1
R

. 
Yuqorida keltirilgan teoremaga koʻra berilgan masalaning
1
0
(
1) , |
1|
,
n
n
n
y
a x
x
R




 

(20) 
yechimi uchun ham yaqinlashish radiusi 
1
1
R
R
 
, yaqinlashish intervali esa 
(0; 2)
boʻladi. Endi bu yoyilma koeffitsientlarinining beshtasini
( )
0
0
(
)
(
0,1, 2,...) ,
1,
!
n
n
y
x
a
n
x
n



formulaga koʻra ketma-ket differensiallash usuli yordamida topamiz. Berilgan 
boshlangʻich shartlarga koʻra 
0
1
(1)
1,
(1)
1.
a
y
a
y





(21) 
Berilgan tenglamadan ushbu 

---

241
2
x
y
e
xy
y
x





. (22) 
tenglikni topamiz. Bu tenglikda 
1
x

deb va 
(1)
1 ,
(1)
1
y
y



berilgan 
qiymat-larni hisobga olib, 
1
2
(
)
(1)
1
2
(1)
1 2
1 ,
2!
2
|
x
x
y
e
y
e
xy
y
e
e
a
x








    


(23) 
ekanligini topamiz. (22) tenglikni ketma-ket ikki marta differensiallaymiz: 
2
2
2
x
y
e
xy
y
y
y
x
x






 

; . (24) 
2
2
2
3
(
)
(
)
(
)
1
2
4
2
1
2
2 1
IV
x
y
xe
x
y
x
y
y
y
x
x
x
x







 



. (25) 
Endi (24), (25) va (23) formulalardan foydalanib 
3
a
va 
4
a
koeffitsientlarni 
topamiz 
1
2
2
2
(1)
2
(
) |
x
x
y
e
xy
y
y
y
x
x







 

 
, 
3
(1)
1
;
3
3!
y
a


 
(26) 
4
(1)
2
(1)
2,
.
24
4!
IV
IV
y
e
y
e
a

 


(27) 
Koeffitsientlar qiymatlarini (27), (26), (23) va (21) tengliklardan olib (20) ga 
qoʻyamiz va berilgan masala yechimi uchun yoyilmaning izlangan qismini 
hosil qilamiz: 
2
3
4
1
1
2
1 1 (
1)
(
1)
(
1)
(
1)
... , 0
2
24
2
3
e
e
y
x
x
x
x
x


    






 
. 

 
Endi nochiziqli differensial tenglama holida yechimning analitikligi 
haqi-dagi teoremada toʻxtalaylik. Ushbu
0
0
0
1
( , , ),
( )
,
( )
y
f x y y
y x
a
y x
a









Koshi masalasi berilgan boʻlsin. 
Teorema.
Faraz qilaylik, 
( , ,
)
f x y y

funksiya
0
0
1
( , ,
) |
|
, |
|
, |
|
{
}
x y y
x
x
r
y
a
r y
y
r


 






toʻplam (parallelepiped) da analitik va shu toʻplamda 
( , ,
)
f x y y
M
 
(
const
0)
M


boʻlsin. U holda berilgan Koshi masalasi 
0
x
nuqtada analitik 
boʻlgan yagona
( )
0
0
0
( )
(
)
!
n
n
n
y
x
y
x
x
n





yechimga ega. Bu qatorning yaqinlashish radiusi 
min
,
4
r
R
r
M







boʻladi. 

---

242