|
II. Differensial tenglamani uning regular maxsus nuqtasi atrofida
yechish.
Frobenius metodi.
Endi (2) tenglamaga qaraganda umumiyroq
2
1
0
( )
( )
( )
( )
p x y
p x y
p x y
q x
(28)
differensial tenglamani qaraylik. Bu yerdagi
2
1
0
( ),
( ),
( ), ( )
p x
p x
p x
q x
funksiyalar
0
x
nuqtaning biror atrofida analitik deb hisoblanadi. Agar
2
0
(
)
0,
p x
ya’ni
0
x
tenglamaning regular nuqtasi boʻlsa, u holda (28)
tenglama
0
x
nuqtaning yetarlicha kichik atrofida ushbu
0
1
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p x
p x
q x
y
y
y
p x
p x
p x
analitik koeffitsientli tenglamaga ekvivalent. Oxirgi tenglamaning
0
x
nuqtada
analitik yechimini topish bilan yuqorida tanishdik.
Endi faraz qilaylik,
2
0
(
)
0
p x
, ya’ni
0
x
(28) tenglamaning maxsus
nuqtasi boʻlsin. Bu holda (28) tenglama, umumiy holda,
0
x
nuqtada analitik
yechimga ega boʻlmasligi mumkin. Lekin ba’zi hollarda yechimni
umumlashgan darajali qator yigʻndisi koʻrinishida ifodalasa boʻladi.
Ushbu
2
0
0
1
0
(
)
(
)
( )
( )
0
x
x
y
x
x p x y
p x y
yoki
0
1
2
0
0
( )
( )
0
(
)
p x
p x
y
y
y
x
x
x
x
(29)
tenglamani qaraylik; bu yerda
1
0
( ),
( )
p x p x
0
x
nuqtada analitik funksiyalar.
Bu holda
0
x
nuqta (29) tenglama uchun
regular maxsus nuqta
deyiladi.
Bundan keyin qisqalik uchun
0
0
x
deb hisoblaymiz. Har doim
0
s
x
x
almashtirish yordamida
0
x
nuqtani
0
s
nuqtaga oʻtkazish mumkin.
Teorema
. Agar
0
0
x
nuqta (29) tenglama uchun regular maxsus nuqta
boʻlsa, u holda (29) tenglama
0
(
)
( )
( , )
n
n
n
y
x
a x
y
y x
y x
(30)
(
,
(
0,1, 2,...)
n
a
n
oʻzgarmas sonlar) koʻrinishdagi kamida bitta yechimga
ega; bu umumlashgan darajali qator biror
(0, ) (
0)
x
intervalda
yaqinlashuvchi boʻladi.
Teoremada aytilgan
,
(
0,1, 2,...)
n
a
n
sonlarni topish uchun, Frobenius
metodiga
koʻra,
ushbu
(
0
x
)
1
0
( )
n
n
n
p x
b x
,
0
0
( )
n
n
n
p x
c x
;
243
0
0
n
n
n
n
n
n
y
x
a x
a x
,
1
0
(
)
n
n
n
y
n
a x
,
2
0
(
)(
1)
n
n
n
y
n
n
a x
;
0
0
0
0
0
( )
;
n
n
n
n
n
n
k n k
n
n
n
k
p x y
c x
a x
a c
x
1
0
0
0
0
( )
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
k n k
n
n
n
k
xp x y
b x
n
a x
k
a b
x
;
2
0
(
)(
1)
n
n
n
x y
n
n
a x
;
yoyilmalarni (29) tenglamaga qoʻyib, uni quyidagi koʻrinishga keltiramiz:
0
0
(
)(
1)
(
)
0
(
)
n
n
n
k
n k
n k
n
k
n
n
a
a
k
b
c
x
yoki
0
0
0
0
0
1
(
)
(
1)
(
)(
1) (
)
(
n
n
a
b
c
x
a n
n
n
b
c
1
0
(
)
0
)
n
n
k
n k
n k
k
a
k
b
c
x
yoki yana qisqaroq
1
0
1
0
( )
(
)
(
)
0
(
)
n
n
n
k
n k
n k
n
k
a A
x
a A n
a
k
b
c
x
; (31)
bu yerda
0
0
( )
(
1)
A
b
c
. (32)
(31) tenglik ayniyat boʻlishi uchun
x
ning darajalari oldidagi koeffitsientlar
nolga teng boʻlishi kerak:
0
( )
0
a A
,
1
0
(
)
(
)
0 (
1)
n
n
k
n k
n k
k
a A n
a
k
b
c
n
. (33)
Bu yerdagi birinchi tenglikdan
ga nisbatan kvadrat tenglama hosil qilamiz
(
0
a
- ixtiyoriy noldan farqli son):
( )
0
A
yoki (32) ga koʻra
0
0
(
1)
0
b
c
. (34)
Bu kvadrat tenglama
aniqlovchi tenglama
deyiladi. Agar berilgan
uchun
(1
)
0,
(2
)
0,..., (
)
0,...
A
A
A n
boʻlsa, u holda (33) tenglamadan
244
tayinlangan
0
a
ga koʻra rekurrent usulda barcha
1
1
( ),
a
a
2
2
( ), ...,
a
a
( ),...
n
n
a
a
koeffitsientlarni bir qiymatli topamiz.
Aniqlovchi tenglamaning
1
2
,
ildizlari haqiqiy boʻlsin
.
Aniqlik uchun
1
2
deylik. Demak,
1
(
)
0
A
va
1
boʻlganda
( )
0
A
. Shuning
uchun (33) rekurrent munosabatdan
0
1
a
deb, barcha
1
(
) (
1)
n
n
a
a
n
koeffitsientlarni bir qiymatli aniqlaymiz. Shunday qilib, bu holda (29)
tenglamaning bir dona
1
1
1
1
1
0
1
( )
(
)
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
y x
x
a
x
x
a
x
(35)
yechimini hosil qilamiz. (29) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun
uning
1
( )
y x
(35) yechimga chiziqli bogʻliq boʻlmagan yana bir
2
( )
y
x
yechimini topishimiz kerak. Bu
2
( )
y
x
yechimni qurish usuli aniqlovchi
tenglamaning
1
2
,
ildizlariga bogʻliq. Quyidagi hollar boʻlishi mumkin.
0
1 .
1
2
ayirma butun son boʻlmasin
. U holda, ravshanki,
2
2
2
(1
)
0,
(2
)
0, ..., (
)
0,...
A
A
A n
. Endi
0
1
a
deb, (33)
rekurrent munosabatdan
2
uchun barcha
2
(
) (
1)
n
n
a
a
n
koeffit-
sientlarni bir qiymatli aniqlaymiz. Demak,
1
( )
y x
ga chiziqli bogʻliq boʻlmagan
2
( )
y
x
yechim sifatida quyidagi funksiyani olish mumkin:
2
2
2
2
2
0
1
( )
(
)
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
y x
x
a
x
x
a
x
. (36)
0
2 .
1
2
boʻlsin.
Birinchi
1
( )
y x
(35) yechim bizga ma’lum. Ikkinchi,
undan chiziqli erkli
2
( )
y
x
yechim
1
2
1
1
0
( )
( ) ln
(
)
n
n
n
y x
y x
x
x
a
x
(37)
koʻrinishga ega boʻladi. Bu yerdagi
1
(
)
n
a
larni nomaʼlum koefftsientlar
metodi yordamida, ya’ni (37) ni (29) tenglamaga qoʻyib, tenglamaning
qanoatlanishi shartidan aniqlash mumkin.
0
3 .
1
2
ayirma natural sondan iborat boʻlsin.
Bu holda ikkinchi
2
( )
y
x
chiziqli erkli yechim
2
2
1 1
2
0
( )
( ) ln
(
)
n
n
n
y x
a y x
x
x
a
x
(38)
koʻrinishda boʻladi. Bu
2
( )
y
x
yechimni qurish uchun dastlab Frobenius
metodidan foydalanib,
2
ga koʻra (29) tenglamaning
2
( )
y
x
yechimini qurish
kerak. Agar qurilgan
2
( )
y
x
yechim
1
( )
y x
(35) yechimga chiziqli bogʻliq
boʻlmasa, u (38) koʻrinishda boʻladi (bunda
1
0
a
). Aks holda, ya’ni bu
2
( )
y
x
245
va
1
( )
y x
yechimlar chiziqli bogʻliq boʻlsa,
1
( )
y x
yechimga chiziqli bogʻliq
boʻlmagan yechim sifatida
2
2
2
( )
(
) ( , )
y x
y x
(39)
funksiyani olish kerak.
2
( )
y
x
(38) yechimni toʻgʻridan toʻgʻri noma’lum
koefftsientlar metodi yordamida ham qurish mumkin.
Agar aniqlovchi tenglamaning
1
2
,
Do'stlaringiz bilan baham: |
