Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

II. Differensial tenglamani uning regular maxsus nuqtasi atrofida 
yechish.
 
Frobenius metodi.
Endi (2) tenglamaga qaraganda umumiyroq
2
1
0
( )
( )
( )
( )
p x y
p x y
p x y
q x





(28) 
differensial tenglamani qaraylik. Bu yerdagi 
2
1
0
( ),
( ),
( ), ( )
p x
p x
p x
q x
funksiyalar 
0
x
nuqtaning biror atrofida analitik deb hisoblanadi. Agar 
2
0
(
)
0,
p x

ya’ni
0
x

tenglamaning regular nuqtasi boʻlsa, u holda (28) 
tenglama 
0
x
nuqtaning yetarlicha kichik atrofida ushbu
0
1
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p x
p x
q x
y
y
y
p x
p x
p x





analitik koeffitsientli tenglamaga ekvivalent. Oxirgi tenglamaning 
0
x
nuqtada 
analitik yechimini topish bilan yuqorida tanishdik. 
Endi faraz qilaylik, 
2
0
(
)
0
p x

, ya’ni 
0
x

(28) tenglamaning maxsus 
nuqtasi boʻlsin. Bu holda (28) tenglama, umumiy holda, 
0
x
nuqtada analitik 
yechimga ega boʻlmasligi mumkin. Lekin ba’zi hollarda yechimni 
umumlashgan darajali qator yigʻndisi koʻrinishida ifodalasa boʻladi. 
Ushbu
2
0
0
1
0
(
)
(
)
( )
( )
0
x
x
y
x
x p x y
p x y







yoki
0
1
2
0
0
( )
( )
0
(
)
p x
p x
y
y
y
x
x
x
x







(29) 
tenglamani qaraylik; bu yerda
1
0
( ),
( )
p x p x

0
x
nuqtada analitik funksiyalar. 
Bu holda 
0
x
nuqta (29) tenglama uchun
regular maxsus nuqta
deyiladi. 
Bundan keyin qisqalik uchun
0
0
x

deb hisoblaymiz. Har doim 
0
s
x
x
 
almashtirish yordamida 
0
x
nuqtani 
0
s

nuqtaga oʻtkazish mumkin. 
Teorema
. Agar 
0
0
x

nuqta (29) tenglama uchun regular maxsus nuqta 
boʻlsa, u holda (29) tenglama
0
(
)
( )
( , )
n
n
n
y
x
a x
y
y x
y x








(30) 
(
,
(
0,1, 2,...)
n
a
n



oʻzgarmas sonlar) koʻrinishdagi kamida bitta yechimga 
ega; bu umumlashgan darajali qator biror 
(0, ) (
0)
x
 


intervalda 
yaqinlashuvchi boʻladi. 
Teoremada aytilgan
,
(
0,1, 2,...)
n
a
n


sonlarni topish uchun, Frobenius 
metodiga 
koʻra, 
ushbu 
(
0
x

)
1
0
( )
n
n
n
p x
b x




, 
0
0
( )
n
n
n
p x
c x




; 

---

243
0
0
n
n
n
n
n
n
y
x
a x
a x











,
1
0
(
)
n
n
n
y
n
a x



 

 


,
2
0
(
)(
1)
n
n
n
y
n
n
a x




 

 

 

; 
0
0
0
0
0
( )
;
n
n
n
n
n
n
k n k
n
n
n
k
p x y
c x
a x
a c
x


















1
0
0
0
0
( )
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
k n k
n
n
n
k
xp x y
b x
n
a x
k
a b
x














 







; 
2
0
(
)(
1)
n
n
n
x y
n
n
a x






 

 

; 
yoyilmalarni (29) tenglamaga qoʻyib, uni quyidagi koʻrinishga keltiramiz: 


0
0
(
)(
1)
(
)
0
(
)
n
n
n
k
n k
n k
n
k
n
n
a
a
k
b
c
x











 






yoki 


0
0
0
0
0
1
(
)
(
1)
(
)(
1) (
)
(
n
n
a
b
c
x
a n
n
n
b
c

 






 



   





1
0
(
)
0
)
n
n
k
n k
n k
k
a
k
b
c
x












yoki yana qisqaroq


1
0
1
0
( )
(
)
(
)
0
(
)
n
n
n
k
n k
n k
n
k
a A
x
a A n
a
k
b
c
x




















; (31) 
bu yerda
0
0
( )
(
1)
A
b
c

 


 

. (32)
(31) tenglik ayniyat boʻlishi uchun 
x
ning darajalari oldidagi koeffitsientlar 
nolga teng boʻlishi kerak: 
0
( )
0
a A


,


1
0
(
)
(
)
0 (
1)
n
n
k
n k
n k
k
a A n
a
k
b
c
n













. (33) 
Bu yerdagi birinchi tenglikdan 

ga nisbatan kvadrat tenglama hosil qilamiz
(
0
a
- ixtiyoriy noldan farqli son): 
( )
0
A


yoki (32) ga koʻra
0
0
(
1)
0
b
c
 

 


. (34) 
Bu kvadrat tenglama 
aniqlovchi tenglama
deyiladi. Agar berilgan 

uchun 
(1
)
0,
(2
)
0,..., (
)
0,...
A
A
A n









boʻlsa, u holda (33) tenglamadan 

---

244
tayinlangan 
0
a
ga koʻra rekurrent usulda barcha
1
1
( ),
a
a


2
2
( ), ...,
a
a


( ),...
n
n
a
a


koeffitsientlarni bir qiymatli topamiz. 
Aniqlovchi tenglamaning 
1
2
,
 
ildizlari haqiqiy boʻlsin
. 
Aniqlik uchun
1
2



deylik. Demak, 
1
(
)
0
A


va 
1
 

boʻlganda 
( )
0
A


. Shuning 
uchun (33) rekurrent munosabatdan 
0
1
a

deb, barcha 
1
(
) (
1)
n
n
a
a
n



koeffitsientlarni bir qiymatli aniqlaymiz. Shunday qilib, bu holda (29) 
tenglamaning bir dona
1
1
1
1
1
0
1
( )
(
)
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
y x
x
a
x
x
a
x













(35) 
yechimini hosil qilamiz. (29) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun 
uning 
1
( )
y x
(35) yechimga chiziqli bogʻliq boʻlmagan yana bir 
2
( )
y
x
yechimini topishimiz kerak. Bu 
2
( )
y
x
yechimni qurish usuli aniqlovchi 
tenglamaning 
1
2
,
 
ildizlariga bogʻliq. Quyidagi hollar boʻlishi mumkin. 
0
1 .
1
2



ayirma butun son boʻlmasin
. U holda, ravshanki, 
2
2
2
(1
)
0,
(2
)
0, ..., (
)
0,...
A
A
A n









. Endi 
0
1
a

deb, (33) 
rekurrent munosabatdan 
2
 

uchun barcha 
2
(
) (
1)
n
n
a
a
n



koeffit-
sientlarni bir qiymatli aniqlaymiz. Demak, 
1
( )
y x
ga chiziqli bogʻliq boʻlmagan 
2
( )
y
x
yechim sifatida quyidagi funksiyani olish mumkin: 
2
2
2
2
2
0
1
( )
(
)
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
y x
x
a
x
x
a
x













. (36) 
0
2 .
1
2



 boʻlsin.
Birinchi 
1
( )
y x
(35) yechim bizga ma’lum. Ikkinchi, 
undan chiziqli erkli 
2
( )
y
x
yechim
1
2
1
1
0
( )
( ) ln
(
)
n
n
n
y x
y x
x
x
a
x








(37) 
koʻrinishga ega boʻladi. Bu yerdagi 
1
(
)
n
a


larni nomaʼlum koefftsientlar 
metodi yordamida, ya’ni (37) ni (29) tenglamaga qoʻyib, tenglamaning 
qanoatlanishi shartidan aniqlash mumkin. 
0
3 .
1
2



ayirma natural sondan iborat boʻlsin.
Bu holda ikkinchi 
2
( )
y
x
chiziqli erkli yechim 
2
2
1 1
2
0
( )
( ) ln
(
)
n
n
n
y x
a y x
x
x
a
x








(38) 
koʻrinishda boʻladi. Bu 
2
( )
y
x
yechimni qurish uchun dastlab Frobenius 
metodidan foydalanib, 
2

ga koʻra (29) tenglamaning 
2
( )
y
x
yechimini qurish 
kerak. Agar qurilgan 
2
( )
y
x
yechim 
1
( )
y x
(35) yechimga chiziqli bogʻliq 
boʻlmasa, u (38) koʻrinishda boʻladi (bunda 
1
0
a


). Aks holda, ya’ni bu
2
( )
y
x

---

245
va 
1
( )
y x
yechimlar chiziqli bogʻliq boʻlsa, 
1
( )
y x
yechimga chiziqli bogʻliq 
boʻlmagan yechim sifatida


2
2
2
( )
(
) ( , )
y x
y x
 
 







(39) 
funksiyani olish kerak. 
2
( )
y
x
(38) yechimni toʻgʻridan toʻgʻri noma’lum 
koefftsientlar metodi yordamida ham qurish mumkin. 
Agar aniqlovchi tenglamaning 
1
2
,
 