|
z
qiymat
qabul
qiluvchi
0
( , ,
)
t
x = x
z
yechim,
agar
0
0
|| ( , ,
)
( ) || ||
( ) ||
x
z
z
boʻlsa,
barcha
[ , ]
t
larda
aniqlangan va
[ , ]
t
uchun
0
( , ,
)
( )
t
t
x
z
boʻladi.
Bu xossadan ravshanki,
( )
t
x =
yechimning turgʻunligi (asimptotik
turgʻunligi) boshlangʻich payt
0
[0,
)
t
ning tanlanishiga bogʻliq emas,
ya’ni agar biror
0
[0,
)
t
da
0
0
( , , ( ))
t t
t
x
x
yechim turgʻun (asimptotik
turgʻun) boʻlsa, u holda ixtiyoriy
0
[0,
)
t
uchun
0
0
( , , ( ))
t t
t
x
x
yechim
ham turgʻun (asimptotik turgʻun) boʻladi.
223
Berilgan tenglamaning ixtiyoriy tayinlangan
0
0
( ),
(
0),
t
t
t
t
x =
yechimini turgʻunlikka tekshirishni boshqa bir tenglamaning trivial yechimini
(nol yechimini) turgʻunlikka tekshirishga keltirish mumkin. Buning uchun (1)
tenglamada
( )
t
y = x
almashtirishni bajarish kerak. Yangi noma’lum
y
quyidagi tenglamani qanoatlantiradi:
( ,
( ))
( , ( ))
( , ),
( , 0)
0.
t
t
t
t
t
t
y
f
y
f
g
y
g
Oxirgi differensial tenglama
0
y =
trivial yechimga ega. Bu yechimning
turgʻunligi (asimptotik turgʻunligi) (1) tenglamaning
( )
t
x =
yechimini
turgʻunligiga (asimptotik turgʻunligiga) teng kuchli.
Fazalar fazosida nol-yechimning (ya’ni muvozanat nuqtaning)
turgʻunligi quyidagini anglatadi: Fazalar fazosida ixtiyoriy
(0, )
B
sharni
olaylik; shunday yetarli kichik
0
radiusli (0, )
B
shar topiladiki,
0
t
t
da
bu shar ichidan boshlangan trayektoriyalar
0
t
t
paytlarda toʻlaligicha (0, )
B
shar ichida joylashadi (17.2- rasm).
17.2- rasm.
Misol 2.
Ushbu
3
2
,
2
(1
)
x
y y
x
y
sistemaning fazaviy trayektoriya-
larini (0; 0) nuqta atrofida chizib, uning muvozanat holatini turgʻunlikka
tekshiring.
Fazaviy trayektoriyalarni chizish uchun
3
2
2
(1
)
dy
x
y
y
dx
tenglamani yechish kerak. Tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratib integrallash-
larni bajaramz va
2
4
1
exp(
)
y
c
x
yechimni topamiz. Fazaviy trayektoriyalarning bir nechtasi va ulardagi harakat
yoʻnalishi 17.3- rasmda tasvirlangan.
224
17.3- rasm.
Ravshanki, (0;0) nuqtaga yaqin nuqtalardan boshlangan yechimlar vaqt
oʻtishi bilan (0;0) muvozanat nuqtadan uzoqlashadi. Demak, berilgan
sistemaning muvozanat holati noturgʻun.
Chiziqli sistemaning turgʻunligi
Ushbu
( )
( )
A t
t
x
x
b
(4)
chiziqli
sistemani
qaraylik;
bunda
( )
[0;
);
( )
n n
A t
C
M
va
( )
[0;
);
n
t
C
b
deb
hisoblanadi.
Demak,
ixtiyoriy
0
0
0
|
,
[0;
),
n
t
t
x
x
boshlangʻich shart uchun bira-toʻla [0;
)
oraliqda aniqlangan
0
0
( )
( ; ,
)
t
t t
x
x
x
x
yagona yechim mavjud. (4) ga mos
bir jinsli sistema
( )
A t
y
y
(5)
koʻrinishda boʻladi.
Quyidagi alternativa oʻrinli:
yo (4) chiziqli sistemaning barcha yechimlari turgʻun (asimptotik turgʻun); bu
holda (4) sistema
turgʻun sistema
(mos ravishda
asimptotik turgʻun sistema
)
deb ataladi,
yoki uning barcha yechimlari noturgʻun (asimptotik noturgʻun); bu holda
esa (4) sistema
noturgʻun sistema
(mos ravishda
asimptotik noturgʻun
sistema
) deb ataladi.
Bir jinsli (5) sistema bir dona trivial yechiminining turgʻunli (4) va (5)
sistemalarning turgʻunligiga teng kuchli.
Ushbu
A
x
x
(
A
haqiqiy sonlardan tuzilgan
n
n
matritsa,
( )
n n
A
) (6)
chiziqli oʻzgarmas koeffitsientli sistemaning turgʻunligi (noturgʻunligi)
A
maritsaning xos sonlari bilan aniqlanadi.
225
Teorema.
1
0
. Agar
A
maritsa xos sonlarining barchasi manfiy haqiqiy qismga ega
boʻlsa, (6) sistema asimptotik turgʻun boʻladi.
2
0
. Agar
A
maritsa xos sonlarining hammasi nomusbat haqiqiy qismga ega
boʻlib, haqiqiy qismi nol boʻlgan xos sonlarga faqat 1- tartibli Jordan kataklari
mos kelsa, (6) sistema turgʻun boʻladi.
3
0
. Agar
A
maritsa xos sonlarining birortasi musbat haqiqiy qismga ega
boʻlsa, yoki haqiqiy qismi nol boʻlgan xos sonlarning birortasiga tartibi ikkidan
kichik boʻlmagan Jordan katagi mos kelsa, u holda (6) sistema noturgʻun
boʻladi.
Ushbu
1
1
1
1
0
0
n
n
n
n
a
a
a
a
,
0
n
a
, (7)
haqiqiy koeffitsientli algebraik tenglama ildizlarining haqiqiy qismi manfiy
boʻlishini aniqlash uchun foydalaniladigan mezonni keltiraylik. Bu mezonni
birinchi bo‘lib E. Raus (1987 y.) va A. Gurvits (1895 y.) topishgan. Keltirilagan
mezon L’enar- Shipar mezoni deb ataladi va u tatbiq etish uchun qulayroq.
Dastlab ushbu
1
3
2
1
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
determinantni tuzaylik. Uning bosh diagonalida (7) koʻphadning
1
2
3
0
,
,
,
,
n
n
n
a
a
a
a
koeffitsientlari, satrlarida esa
j
a
lar indeksnig oʻsish
tartibida joylashgan boʻlib, bunda
0
j
yoki
j
n
indekslar uchun
0
j
a
deb hisobanadi. Bu detrminantning bosh diagonal minorlarini
1
1
1
1
2
3
3
2
1
3
2
5
4
3
0
,
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
, …
bilan belgilaylik.
Teorema (L’enar–Shipar mezoni).
(7) tenglama barcha ildizlarining
haqiqiy qismi manfiy boʻlishi uchun ushbu
1)
barcha
j
a
lar musbat, ya’ni
1
2
0
0,
0,
0,
,
0
n
n
n
a
a
a
a
;
2)
1
3
5
0,
0,
0,
n
n
n
shartlarning bir vaqtda bajarilishi yetarli va zarurdir.
226
Misol 3.
Ushbu
3
3
3
6
7
3
4
8
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
sistemani turgʻunlikka tekshiring.
Berilgan sistemani
3
3
3
,
6
1
7
3
4
8
x
x
y
A y
A
z
z
,
x
y
z
x =
,
koʻrinishda yozib olamiz.
A
matritsaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:
det(
)
0
E
A
,
3
3
3
6
1
7
0
3
4
8
,
3
2
12
54
108
0
.
L’enar–Shipar mezonini qoʻllaymiz:
1).
3
2
1
0
1 0,
12
0,
54
0,
108
0;
a
a
a
a
2).
2
3
2
0
1
12
1
12 54 108
540
0
108
54
a
a
a
a
.
Demak,
A
maritsa xos sonlarining barchasi manfiy haqiqiy qismga ega va
berilgan sistema asimptotik turgʻun.
Birinchi yaqinlashishga koʻra turgʻunlik
Endi (1) sistema ushbu
( , )
A
t
x
x
g
x
(8)
koʻrinishda boʻlgan holni qaraylik. Bunda
( )
n n
A
,
(
;
)
n
C
B
g
,
( , )
t
g
x
vektor-funksiya
x
boʻyicha lokal Lipshits shartini qanoatlantiradi va
|| ( , )||
( )|| ||
t
g
x
x
x
,
0
( )
0
x
x
, deb hisoblanadi. Xususan, ( , 0)
0
t
g
va
(8) sistema ( )
0
t
x
yechimga ega. Agar (8) sistemada
0
x
da yuqori tartibli
cheksiz kichik miqdor
( , )
t
g
x
ni tashlab yuborsak, birinchi yaqinlashish
sistemasi deb ataluvchi ushbu
A
x
x
(9)
sistemani hosil qilamiz. Oxirgi chiziqli sistema (8) sistemaning chiziqlilash-
tirilishi deb ham yuritiladi.
Teorema (Birinchi yaqinlashishga koʻra asimptotik turgʻunlik
toʻgʻrisidagi).
Agar
A
matritsaning barcha
j
xarakteristik sonlari uchun
Re
0
j
boʻlsa, (8) sistemaning ( )
0
t
x
yechimi asimptotik turgʻun boʻladi.
227
Do'stlaringiz bilan baham: |
