|
35.
2
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
36.
5
2
6
2
2
x
x
y
z
y
x
y
z
x
y
z
37.
2
2
2
3
2
x
x
z
y
x
y
z
z
x
y
z
38.
4
2
5
2
2
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
39.
2
2
x
y
z
y
x
y
z
z
y
z
40.
5
2
2
4
2
5
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
206
16. TEKISLIKDA AVTONOM SISTEMALAR
Maqsad
– tekislikda chiziqli avtonom sistemalar muvozanat holatlari
tiplari va trayektoriyalar manzarasini hamda nochiziqli avtonom sistemalarni
tekshirish (muvozanat holatlarini topish, ularning tiplarini chiziqlilashtirish
yordamida aniqlash va trayektoriyalar portretini qurish)ni oʻrganish.
Yordamchi ma’lumotlar:
I.
Ikki oʻlchamli avtonom (muxtor) sistema
( , )
( , )
x
f x y
y
g x y
(1)
koʻrinishga ega. Bu yerda ( , )
f x y
va ( , )
g x y
funksiyalar tekislikdagi biror
G
sohada (fazalar fazosida)
1
C
sinfga tegishli boʻlgan berilgan haqiqiy
funksiyalar;
( )
x
x t
va
( )
y
y t
noma’lum funksiyalar. (1) avtonom sistema
har bir ( , )
x y
G
nuqtada tezlik vektori deb ataluvchi
( ( , ); ( , ))
f x y g x y
v
vektorni aniqlaydi. Shunday qilib, (1) avtonom sistema
G
sohada vektorlar
maydonini aniqlaydi.(1) avtonom sistemaning
( )
x
x t
,
( )
y
y t
yechimi
tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasini ifodalaydi. Bu chiziq avtonom
sistemaning trayektoriyasi deb ataladi.
t
vaqt oʻtishi bilan nuqta trayektoriya
boʻylab harakat qiladi. Trayektoriya oʻzining har bir nuqtasida shu nuqtadagi
tezlik vektoriga urinadi. Berilgan shartlarda
G
sohaning har bir nuqtasidan
yagona trayektoriya oʻtadi.
Agar
0
0
0
0
(
,
)
0
(
,
)
0
f x y
g x y
(2)
boʻlsa,
0
0
(
,
)
x y
G
nuqta (1) sistemaning muvozanat holati (muvozanat
nuqtasi, kritik nuqtasi, maxsus nuqtasi) deyiladi. Muvozanat nuqtasidan
boshlangan yechim shu nuqtadaligicha qoladi, ya’ni nuqta harakatlanmaydi,
trayektoriya bitta nuqtadan iborat boʻladi.
1
0
.
Yuqorida aytilgan
1
{ , }
( ; )
f g
C G
shart bajarilganda (1) avtonom
sistemaning har qanday trayektoriyasi quyidagi uch turning bittasiga mansub
boʻladi:
— nuqta, ya’ni muvozanat nuqtasi (yechimning davri ixtiyoriy son);
— oʻz-oʻzini kesmaydigan yopiq chiziq, ya’ni sikl (eng kichik musbat davrli
yechim);
— oʻz-oʻzini kesmaydigan yopiqmas chiziq (davrsiz yechim).
G
ning muvozanat nuqtalaridan tashqari qismida (1) sistema ushbu
( , )
( , )
g x y dx
f x y dy
(3)
birinchi tartibli differensial tenglamani aniqlaydi.
2
0
.
(1) sistemaning muvozanat holatidan farqli har qanday trayektoriyasi
(3) tenglamaning integral chizigʻidan iborat va aksincha, ya’ni (3)
207
tenglamaning ixtiyoriy integral chizigʻi (1) sistemaning muvozanat holatidan
farqli trayektoriyasidan iborat boʻladi.
II.
Tekislikda ushbu
x
ax
by
y
cx
dy
yoki
,
,
x
x
a b
A
A
y
y
c
d
(4)
avtonom sistemani qaraylik;
A
haqiqiy matritsa va
det
0
A
deb faraz qilinadi,
demak, (4) sistema yagona muvozanat nuqtasi (0;0) ga ega. Har bir ( , )
x y
nuqtada
(
;
)
ax
by cx
dy
v
tezlik vektori aniqlangan. Muvozanat nuqtasida
tezlik vektori nol-vektordan iborat.
A
matritsaning xos (xarakteristik) sonlari
0
a
b
c
d
yoki
2
(
)
(
)
0
a
d
ad
bc
tenglamadan topiladi. Xarakteristik sonlarni
1
va
2
bilan belgilaylik.
det
0
A
ad
bc
boʻlgani uchun
1
0
va
2
0
.
xos songa mos
keluvchi
0
h
xos vektor
A
h
h
tenglikdan topiladi. Muvozanat
nuqtasining tipi (tabiati, xarakteri) va trayektoriyalar manzarasi
A
matritsaning
xos sonlari va xos vektorlari orqali aniqlanadi.
3
0
.
Xos sonlar
1
va
2
kompleks boʻlsin.
A
matritsa haqiqiy boʻlgani
uchun ular oʻzaro qoʻshma boʻladi:
1,2
, { , }
,
0
i
; aniqlik
uchun
0
deb hisoblanadi.
0
boʻlganda (0; 0) dan farqli ixtiyoriy
trayektoriya vaqt oʻtishi bilan (0;0) ga buralib intiluvchi spiralsimon chiziqdan
iborat boʻladi. Bu holda (
1,2
Re
0
) muvozanat nuqta
turgʻun fokus
(16.1- rasm, (a)) deyiladi.
0
boʻlganda (0;0) dan farqli har qanday
trayektoriya vaqt oʻtishi bilan (0;0) dan buralib uzoqlashuvchi spiralsimon
chiziqdan iborat boʻladi. Bu holda (
1,2
Re
0
) muvozanat nuqta
noturgʻun fokus
(16.1- rasm, (b)) deyiladi.
1,2
Re
0
holida
trayektoriyalar (0;0) markazli konsentrik ellipslardan iborat boʻladi; bu holda
muvozanat nuqtasi
markaz
( 16.2- rasm) deb ataladi.
4
0
.
1
va
2
xos sonlar haqiqiy, turli va bir xil ishorali, ya’ni
1
2
1
2
0,
, boʻlsin. Bu holda muvozanat nuqta
tugun
deb ataladi.
1
2
|
| |
|
deylik. Mos xos vektorlarni
1
1
1
r
s
h
va
2
2
2
r
s
h
bilan belgilaylik.
Trayektoriyalar orasida nurdan iborat boʻlgan toʻrtta toʻgʻrisi (egri boʻlmagani)
bor; ularni
1
h
va
2
h
xos vektorlar yoʻnalishi aniqlaydi. Boshqa trayektoriyalar
moduli boʻyicha kichik xos songa mos kelgan
1
h
xos vektorga urinadi. Ikkala
xos son ham manfiy boʻlganda muvozanat nuqta
turgʻun tugun
(16.3- rasm,
208
(a)), ikkala xos son ham musbat boʻlganda esa u
noturgʻun tugun
(16.3- rasm,
(b)
)
deyiladi. Turgʻun tugun holida trayektoriyalar boʻylab harakat muvozansat
nuqtasiga tomon yoʻnalishida, noturgʻun tugun holida esa bu harakat teskari
yoʻnalishda boʻladi.
16.1- rasm.
(a) turgʻun fokus:
1,2
Re
0
; (b) noturgʻun fokus:
1,2
Re
0
16.2- rasm. Markaz:
1,2
Re
0
.
16.3- rasm.
(a) turgʻun tugun:
1
2
1
2
0,
0 (|
| |
| )
;
(b) noturgʻun tugun:
1
2
1
2
0,
0 (|
| |
| )
209
16.4- rasm. Egar:
1 2
0
.
5
0
.
1
va
2
xos sonlar haqiqiy, turli va har xil ishorali, ya’ni
1
2
1
2
0,
, boʻlsin. Bu holda muvozanat nuqtasi
egar
deb ataladi (16.4-
rasm). Egardan chiquvchi yoki unga kiruvchi hamda trayektoriyalar oilasini
toʻrt qismga ajratuvchi nurlardan iborat boʻlgan toʻrt dona trayektoriya mavjud.
Ularni
1
h
va
2
h
xos vektorlar yoʻnalishlari aniqlaydi. Trayektoriyalar boʻylab
harakat yoʻnalishini tezlik vektori orqali topish mumkin.
6
0
.
1
va
2
xos sonlar haqiqiy va teng (karrali xos sonlar)
boʻlsin. Agar
A
matritsaning bu karrali xos soniga ikki dona chiziqli erkli xos vektorlari mos
kelsa, ya’ni
A
matritsa diagonallashtiriluvchi boʻlsa, muvozanat nuqta
dikritik
tugun
deyiladi (16.5- rasm). Trayektoriyalar muvozanat nuqtaga kiruvchi
(
turgʻun
dikritik tugun,
1
2
0
) yoki undan chiquvchi (
noturgʻun dikritik
tugun,
1
2
0
) nurlardan iborat boʻladi.
16.5 - rasm. Dikritik tugun:
1
2
0
(
1
2
0
holda yoʻnalishlari teskari)
Agar
A
matritsa bir dona (skalyar koʻpaytuvchi aniqligida) chiziqli erkli
xos vektorga ega boʻlsa, ya’ni
A
matritsa diagonallashtiriluvchi boʻlmasa,
muvozanat nuqta
aynigan tugun
deyiladi (16.6- rasm). Bu holda xos vektor
aniqlovchi nurlardan iborat boʻlgan ikkita toʻgʻri trayektoriya mavjud boʻlib,
qolgan barcha trayektoriyalar ana shu nurlarga (xos vektorga) urinadi. Bunda
210
muvozanat holati
1
2
0
holida
Do'stlaringiz bilan baham: |
