Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

f
p
q
(haqiqiy) kvaziko‘phaddan iborat bo‘lsa 

,
( ), ( )
t
t
 


, p
q
vektor koeffit-
sientli ko‘phadlar
)
, ya’ni


( ) cos
( ) sin
t
A
e
t
t
t
t



 


x
x
p
q
(19) 
sistema berilgan bo‘lsa (
A

haqiqiy sonlardan tuzilgan matritsa), u holda Eyler 
formulasidan topilgan
(
)
(
)
cos
Re(
) , sin
Re(
)
t
i
t
i
t
e
t
e
t
ie

 
 







munosabatlarga ko‘ra
(
)
(
)
(
)
( )
( )
cos
( )
sin
( ) Re(
)
( ) Re(
)
Re
( )
( )
(
)
(
)
t
t
i
t
i
t
i
t
t
t e
t
t e
t
t
e
t
ie
e
t
i t


 
 
 













f
p
q
p
q
p
q
ifodalashdan kelib chiqib, haqiqiy sohada berilgan (19) sistema o‘rniga 
kompleks sohadagi ushbu 


( )
( ) ,
,
t
A
e
t
i t
i

 

 


 
x
x
p
q
sistemani tuzib, uning xususiy yechimini kompleks holda keltirilgan 
algoritmga ko‘ra topib, topilgan yechimning haqiqiy qismini ajratish kerak.
Bu holda xususiy yechimni kompleks sohaga chiqmasdan to‘g‘ridan 
to‘g‘ri qursa ham bo‘ladi. (19) sistemaning xususiy yechimini birdaniga


( )
( ) cos
( ) sin
t
t
e
t
t
t
t





x
m
n
ko‘rinishda izlash mumkin. Bu yerda 
( ), ( )
t
t

m
n
vektor koeffitsientli 
ko‘phadlar va 




max deg
,deg
max deg ,deg
k
 
m
n
p
q
, 
k
bilan 
A
matritsaning 
i



xarakteristik sonining karralilik darajasi belgilangan; 
i



xarakteristik son bo‘lmaganda esa 
0
k

deb hisoblanadi. Bunday 
ko‘rinishdagi yechimni topish uchun uni (19) sistemaga qo‘yib, hosil bo‘lgan 
ayniyatdan noma’lum koeffitsientlarni topish kerak.
Agar berilgan sistemadagi ozod had ikki (yoki undan ortiq) kvaziko‘phad 
yig‘indisidan iborat, ya’ni
( )
( )
t
t
A
e
t
e
t


 


x
x
p
r
bo‘lsa, bu sistemadan ushbu
( )
t
A
e
t

 

x
x
p
, 
( )
t
A
e
t

 

x
x
r
sistemalarni tuzib, ularning xususiy yechimlarini qo‘shib, berilgan 
sistemaning xususiy yechimi quriladi.
Misol 1.
Ushbu
x
y
z
y
x
z
z
x
y
  

   

   

(20) 
tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping.

---

191 
Eslatma.
Biz bu sistemani birinchi integrallar yordamida yechgan edik (§ 
13, misol 7). Hozir esa biz uni o‘rganilayotgan metoddan foydalanib yechamiz. 

Berilgan sistemaning vektor koʻrinishi:
x
x
d
y
A y
dt
z
z
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
, (20) 
bu yerda 
A
matritsa: 
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A




 





. 
Xarakteristik tenglama
1
1
det(
)
1
1
0
1
1
A
E










yoki
3
3
2
0



 
.
3
2
3
2
(
2)(
1)





 


boʻlgani uchun xarakteristik tenglamaning 
1
2


bir karrali (ya’ni oddiy) ildizi, 
2
1

 
esa uning ikki karrali ildizi boʻladi.
Oddiy ildiz 
1
2


ga mos keluvchi xos vektor 
h
1
(
)
0
A
E



h
yoki
1
2
3
2
1
1
1
2
1
0
1
1
2
h
h
h

 


 




 



  


  
tenglamadan aniqlanadi. Oxirgi sistemani yechib, ushbu
1
1
1
 
 
  
 
 
h
xos vektorni topamiz. Demak, 
1
2


xarakteristik songa berilgan (20) sistemaning
2
1
1
,
1
t
x
y
e
z
   
   

   
   
   
(21) 
ya’ni 
2
2
2
,
,
t
t
t
x
e
y
e
z
e



yechimi mos keladi.

---

192 
Endi 
2
1

 
ikki karrali xarakteristik songa mos keluvchi yechimni 
topaylik. Yechim


1
0
t
x
y
t
e
z

 
  

 
 
 
p
p
, 
ya’ni 
t
x
a
y
t
b
e
z
c






 
 
 


 
 
 




 
 
 
 
 
 


 
 
 


(22) 
koʻrinishda boʻladi. (22) ni (20) ga qoʻyib, , , , , ,
a b c
  
noma’lumlarga 
nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
0
1
1
1
0
1
1
1
0
t
t
t
a
e
t
b
e
t
b
e
c
c
a
















 
 
 
 
 






 
 
 
 
 










 
 
 
 
 




 
 
 
 
 






 
 
 
 
 




yoki 
0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0
1 1 1
1 1 1
0
a
t
b
c






 
     




 
     









 
     








 
     




 
     
; 
bundan 
0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 ,
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0
a
b
c






   
   




   
   








   
   








   
   




   
   
Hosil boʻlgan tenglamalarnining skalyar koʻrinishi:
0,
,
,
a b c
a b c
a b c
  



  
  
  
  
. 
Oxirgi uch tenglamadan 
  
 
ekanligi ravshan. Birinchi tenglamadan 
0
  
  
ni topamiz. Nihoyat, hosil boʻlgan yagona tenglama 
0
a
b
c
  
ni yechamiz:
1
2
1
2
1
2
,
,
( ,
const)
a
c b
c
c
c
c
c c


  

. 
Endi (22) ga koʻra berilgan (20) sistemaning 
2
1

 
xarakteristik songa mos 
keluvchi yechimini yozamiz: 
1
2
1
2
t
c
x
y
c
e
z
c
c



 


  


 
  

 
  

. (23) 
Bundan 
1
2
1,
0
с
с


va 
1
2
0,
1
с
с


deb, ikkita chiziqli erkli yechimni 
topishimiz ham mumkin (agar kerak boʻlsa). 

---

193
Endi (21) va (23) yechimlarga koʻra (20) ning umumiy yechimini 
yozamiz: 
3
1
2
2
3
1
2
3
t
t
c
c
x
y
c
e
c
e
z
c
c
c

 


 
 


  
  


 
  

 
 
  

 
yoki skalyar koʻrinishda
2
1
3
2
2
3
1
2
3
2
1
2
3
( ,
,
const).
(
)
t
t
t
t
t
t
x
c e
c e
y
c e
c e
c c
c
z
c
c e
c e



 






   



 
Misol 2. 
Ushbu 
2
1
1
,
2
1
2 ,
1
1
2
x
x
d
y
A y
A
dt
z
z


 
 


 
 






 
 




 
 



 
 
2
2
2
2
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z




 



    






    



(24) 
sistemaning umumiy yechimini toping va 
A
e
matritsani hisoblang. 

Berilgan sistema (
A
matritsa)ning xarakteristik tenglamasi
3
2
1
1
det (
)
2
1
2
(
1)
0
1
1
2
A
E










 

  



bitta 
1


uch karrali ildizga ega. (24) sistemaning yechimini 
0
2
1
2
2
1
0
2
1
0
t
x
y
t
t
e
z















 
 






 
  








 
 
 


 




 


 




(25) 
koʻrinishda izlaymiz. (25) ni berilgan (24) sistemaga qoʻyib topamiz: 
0
0
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
0
0
1
2
2
1
1
2
1
0
0
,
2
,
A
A
A

























 


 

   


 

 


 

   


 






 


 

   


 

 

   


 

 


 

   


 

 

. 
Skalyar tenglamalarga oʻtamiz:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2





















  



---

194
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2

 













 








  
 

0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2
2
2
2


























  



Bu yerdagi birinchi sistema bitta tenglamaga aylanadi : 
2
2
2
0.






(26) 
Ikkinchi sistemadan
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2

 


 


 


  

    

   

2
2
2
2



 
 

; 
(26) ga koʻra 
2
2
2
0






; demak, yana bitta tenglama hosil boʻladi:
1
1
1
0.
  

 
(27) 
Uchinchi sistemadan 
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
/














 




 






1
1
2




va 
1
1


 
; 
oxirgi shartlar (27) ni qanoatlantiradi; demak, bu yerda ham bitta tenglama 
hosil boʻladi: 
0
0
0
1

 



 
. 
Endi 
0
1
0
2
0
3
,
,
c
c
c






deb, qolgan noma’lumlarni aniqlaymiz: 
1
0
0
0
1
2
3
(
)
c
c
c


 
 


   
,
1
1
1
2
3
2
2(
)
c
c
c



   
, 
1
1
1
2
3
c
c
c


    
; 
2
2
2
0






edi. 
Topilgan qiymatlarni (25) ga qoʻyib, berilgan sistema (24) ning umumiy 
yechimini yozamiz: 
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
3
((
)
)
(2(
)
)
((
)
)
t
t
t
x
c
c
c t
c e
y
c
c
c t
c e
z
c
c
c t
c e
    



  


   


yoki vektor koʻrinishida

---

195
1
2
3
1
( )
,
( )
2
2
1
2
1
t
c
x
t
t
t
y
t
c
t
e
t
t
t
t
t
t
z
c
 
 
 


 
 


 




 
 




 
 

 


 
 
. 
A
e
ni hisoblash uchun 
1
( )
(0)
At
e
t

  
formuladan foydalanamiz. 
Quyidagilarni ketma-ket hisoblaymiz:
1
0
0
(0)
0
1
0
0
0
1
E








 







, 
1
(0)
E


 
, 
1
2
1
1
2
1
1
(1)
(0)
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
A
e
e
E
e












  
  


















. 
