Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

 
 
Masalalar 
Bir jinsli chiziqli oʻzgarmas koeffitsientli differensial tenglamalar sistemasini 
yeching. Yechimdan foydalanib 
tA
e
matritsani hisoblang (
1
- 
2
): 
1.
1
1
2
3
,
;
).
,
).
1 3
3
2
x
d
A
a
A
b
A
y
dt

 








 





 




x
x x
. 

---

203
2.
1
1
1
,
; ).
3
3
3 ,
2
2
2
x
d
A
y
a
A
dt
z


 


 






 


 



 


x
x x =
1
1
0
).
1
0
1 ,
1
1
2
b
A














2
1
3
).
2
1
5
1 1
6
c
A













. 
Berilgan 
A
matritsalarning xarakteristik koʻphadini toping va 
tA
e
matritsani ( (12) formulaga koʻra) hisoblang (
3
- 
8
): 
3.
3
1
1 1
A


 




.
4.
2
3
6
7
A




 



.
5.
1
2
1
1
A


 





. 
6.
2
1
3
3
2
3
1
1
2
A















.
7.
2
3
0
1
0
2
0
1
2
A











8.
1
0
1
2
2
2
3
2
1
A




 







.
Berilgan 
A
matritsalarni 
J
Jordan koʻrinishiga keltiruvchi 
S
matritsani 
toping 


1
A
SJS


va undan foydalanib 
tA
e
matritsani hisoblang (
9
- 
15
): 
9.
1
1
3
1
A


 




.
10. 
1
1
1 3
A


 




.
11.
1
2
1
1
A



 




. 
12.
2
1
3
3
2
3
1
1
2
A















.
13.
2
3
0
1
0
2
0
1
2
A











.
14.
3
2
2
2
0
1
2
2
2
A













.
15.
1
2
2
2
1
2
2
2
1
A










. 
Berilgan sistemalarning xususiy yechimini toping (
16 
-
18
): 
16. 
4
3
x
x
y
t
y
x
y
   

    

 
.
17. 
2
6
3
t
x
x
y
te
y
x
y

   

   

.
18. 
5cos
3
5sin
x
x
y
t
y
x
y
t
   

     

 
. 
Mustaqil ish № 15 topshiriqlari:
a)
Berilgan bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi uchun uning matritsasi 
A
ni yozing.
b)
Sistemaning umumiy yechimini toping. Fundamental matritsani quring va 
undan foydalanib 
At
e
matritsani hisoblang.
c)
At
e
matritsani (11) formulaga koʻra boshqa usulda hisoblang.
d)
Agar sizga 
( )
A
t
 

x
x
f
tenglama berilgan boʻlib, 
( )
t
f
ozod hadning 
kvazikoʻphad ekanligi ma’lum boʻlsa, bu tenglamaning xususiy yechimini 
qanday qurgan boʻlardingiz? Umuniy yechimini-chi? 

---

204
1. 
2
5
3
2
3
3
15
12
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 



    

   


 
2.
2
4
2
x
x
y
z
y
y
x
z
z
x
y
z
 
 

    

    

 
3.
2
2
2
2
x
x
y
z
y
x
z
z
x
y
z
 
 

   

     

 
4.
4
2
4
4
x
x
y
z
y
x
y
z
z
y
z
 
 

    

   

 
5.
6
12
3
4
12
3
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 



    

    


 
6.
3
2
2
3
2
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
   


     

    

 
7.
2
2
4
x
x
y
y
y
z
z
x
z
 


   

   

 
8.
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
    

    

    

 
9.
3
5
3
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 
 

     

    

 
10.
4
3
x
x
y
y
x
y
z
z
x
z
 


    

   

 
11.
3
2
x
x
y
z
y
x
y
z
y
z
  


   

   

 
12.
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
    

    

    

 
13.
x
y
x
y
x
y
z
x
z
  

   

   

 
14.
4
2
5
6
6
8
3
9
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
   


    

     

 
15.
3
12
4
3
12
6
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 



     

    


 
16.
2
12
4
12
4
5
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 
 

  



     

 
17.
10
3
9
18
7
18
18
6
17
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 



     

  



 
18.
4
3
x
x
y
y
x
y
z
z
y
z
   

    

   

 
19.
6
2
6
4
4
x
x
z
y
x
y
z
z
x
y
z
  

     

    

 
20.
3
4
6
2
6
6
2
6
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 
 

     

    

 

---

205
21.
5
4
12
5
12
10
3
9
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 
 

     

  



 
22.
3
12
4
3
12
6
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 



     

    


 
23. 
5
4
12
5
12
10
3
9
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 
 

     

  



 
24. 
3
x
x
y
z
y
x
y
z
x
z
   

   

   

 
25. 
2
2
4
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
   

     

    

 
26. 
3
2
2
2
2
2
2
x
x
y
z
y
x
z
z
x
y
z
 



   

     

 
27. 
2
4
2
x
x
z
y
y
z
z
x
z
  

   

    

 
28. 
2
3
4
6
7
6
x
x
z
z
y
x
y
z
z
x
y
z
   


     

    

 
29. 
3
4
2
6
6
5
x
x
y
z
y
x
z
z
x
y
z
   


   

    

 
30 
2
2
2
2
x
x
y
z
y
x
z
z
x
y
z
 
 

    

    

 
31. 
4
3
x
x
y
y
x
y
z
z
x
z
 


    

   

 
32. 
3
x
x
y
z
y
x
y
z
x
z
   

   

   

 
33. 
4
4
2
2
2
4
4
2
x
x
y
z
y
x
y
z
z
x
y
z
 



    

     

 
34. 
3
3
2
3
2
3
x
x
z
y
y
z
z
x
y
z
   

    

    
