10. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi

69-ma’ruza
Darajali qatorning tekis yaqinlashishi. Darajali qatorning xossalari


1⁰. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi. Aytaylik, ushbu
(1)
darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lsin.
1-teorema. (1) darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi, bunda .
◄ Ravshanki, (1) darajali qator da absolyut yaqinlashuvchi bо‘ladi.
Aytaylik, bо‘lsin. Unda va da

bо‘lganligi uchun, Veyershtrass alomatiga kо‘ra (1) qator da tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi. ►
Demak, darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lsa, yuqorida keltirilgan teoremaga kо‘ra bu qator da tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi. Bunda sonni songa har qancha yaqin qilib olish mumkin bо‘lsada, qator da tekis yaqinlashmasdan qolishi mumkin. Masalan, ushbu

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , biroq qator da tekis yaqinlashuvchi emas.
2⁰. Darajali qatorning xossalari. Ma’lumki, darajali qatorlar funksional qatorlarning xususiy holi. Binobarin, ular tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar-ning xossalari kabi xossalarga ega.
2-teorema. Agar

darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lib, yiђindisi

bо‘lsa, funksiya da uzluksiz bо‘ladi.
◄ Ravshanki, qaralayotgan darajali qator da yaqinlashuvchi bо‘ladi.
Aytaylik, bо‘lsin. Ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini olaylik. Unda darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorning xossasiga kо‘ra darajali qatorning yiђindisi funksiya da uzluksiz, jumladan nuqtada uzluksiz. ►
3-teorema. Aytaylik, darajali qatorning yaqinlashish radiusi bо‘lib, yiђindisi bо‘lsin:
.
Bu qatorni ga tegishli bо‘lgan ixtiyoriy bо‘yicha hadlab integrallash mumkin:
.
Xususan, uchun
(2)
bо‘ladi.
◄ Ravshanki, darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorning xossasiga kо‘ra uni hadlab integrallash mumkin. Ayni paytda, (2) qatorning yaqinlashish radiusi ga teng bо‘ladi. Haqiqatan ham Koshi-Adamar teoremasiga kо‘ra

bо‘ladi. ►
Natija. Aytaylik, darajali qator berilgan bо‘lib, uning yaqinlashish radiusi bо‘lsin. Bu qatorni bо‘yicha ixtiyoriy marta hadlab integrallash mumkin. Integrallash natijasida hosil bо‘lgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bо‘ladi.