|
Misol 1.
a).
3
n
va soddalik uchun
1
2
3
,
,
x
x x
y x
z
deb, ushbu
3
2
0, ( , , )
,
x
y
z
yzu
xzu
xyu
x y z
tenglamani qaraylik.
Ixtiyoriy
1
( )
h
C
funksiyaga
koʻra
tuzilgan
2
2
2
( , , )
(
)
x y z
h x
y
z
funksiya berilgan tenglamaning
3
D
sohada
aniqlangan yechimini beradi. Haqiqatan ham,
1
( )
C
ekanligi ravshan va
3
2
2
2
2
2
0, ( , , )
.
x
y
z
yz
xz
xy
yzh
x
xzh
y
xyh
z
x y z
20.1- rasm. Koshi masalasining qo‘yilishi.
Misol 1.
b).
Ushbu
2
2
2
2
x
y
u
y
z
funksiya
0
x
y
z
xu
yu
zu
tenglamaning
0,
0
y
z
sohada aniqlangan
yechimi ekanligini tekshiraylik.
267
Berilgan funksiya
0,
0
y
z
sohada uzluksiz differensiallanuvchi,
chunki uning birinchi tartibli xususiy hosilalari usluksiz:
2
2
3
2
2
3
2
2
2
(
0,
0) ,
(
0,
0) ,
2
(
0,
0).
x
y
z
x
x
y
u
C y
z
u
C y
z
y
y
z
y
u
C y
z
z
Berilgan funksiya
0,
0
y
z
sohada berilgan tenglamani ayniyatga ham
aylantiradi:
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
0 (
0,
0)
x
y
z
x
x
y
y
xu
yu
zu
x
y
z
y
z
y
y
z
z
.
Birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama
ning koʻrinishi
quyidagicha:
1
2
0
1
2
( )
( )
...
( )
( )
( );
n
n
u
u
u
f x
f
x
f
x
g x u
f
x
x
x
x
bu yerda
1
2
0
,
,...,
, ,
n
f
f
f
g f
berilgan funksiyalar.
Kvazichiziqli tenglama
deb
esa
1
2
1
2
( , )
( , )
...
( , )
( , )
n
n
u
u
u
f x u
f
x u
f
x u
g x u
x
x
x
koʻrinishdagi tenglamaga aytiladi. Bu tenglama
1
2
,
, ...,
n
u
u
u
x
x
x
hosilalarga
nisbatan chiziqli,
1
2
,
,...,
n
f
f
f
koeffitsientlar va oʻng tomondagi
g
funksiya
( )
u
u x
noma’lum funksiyaga bogʻliq boʻlishi mumkin, lekin uning
hosilalariga bogʻliq emas.
II.
Ushbu
1
2
1
2
( )
( )
...
( )
0,
,
n
n
n
u
u
u
f x
f
x
f
x
x
D
x
x
x
(2)
1
1
( ),
1, ;
( )
0,
n
j
j
j
f
C D
j
n
f x
x
D
koʻrinishdagi chiziqli tenglamani qaraylik. Ushbu
1
2
1
2
...
( )
( )
( )
n
n
dx
dx
dx
f x
f x
f x
(3)
oddiy differensial tenglamalar sistemasi (1) tenglamaning xarakteristik
sistemasi deyiladi. (3) ning yechimlari
D
da egri aksincha, ya’ni (2) ning
ixtiyoriy
( )
u
u x
yechimi (3) sistemaning birinchi integralini beradi.
(2) tenglama umumiy yechimining tuzilishini quyidagi teorema ochadi.
268
Teorema 1.
Agar
1
2
1
( ),
( ), ...,
( )
n
u x
u
x
u
x
funksiyalar (3) sistemaning
erkli birinchi integrallari ( (2) tenglamaning erkli yechimlari) boʻlsa, u holda
ixtiyoriy
1
1
2
1
( ( ),
( ),...,
( )) ,
,
n
u
u x u x
u
x
C
(4)
koʻrinishdagi funksiya (2) tenglamaning yechimidir. Ixtiyoriy
0
x
D
nuqtaning biror atrofida (2) tenglamaning shunday erkli
1
2
1
( ),
( ), ...,
( )
n
u x
u
x
u
x
yechimlari mavjudki, (2) tenglamaning shu atrofda aniqlangan har qanday
yechimi (4) koʻrinishda yoziladi. Demak, (4) formula
0
x
D
nuqtaning biror
atrofida (2) tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
Misol 2.
Ushbu
0
u
u
u
x
y
xy
x
y
z
(5)
tenglamaning umumiy yechimini topaylik.
Berilgan (5) tenglama uchun xarakteristik sistemani tuzamiz ( (3) ga
qarang):
dx
dy
dz
x
y
xy
.
Bu sistemaning 2 ta erkli birinchi integralini topishimiz kerak. Buning uchun
quyidagilarni bajaramiz:
1
0
( )
0
dx
dy
x
x
ydx
xdy
d
u
y
y
x
y
;
2
0
(
2 )
0
2
0
dz
dx
ydx
dz
y
d xy
z
u
xy
z
xdy
dz
dz
dy
x
.
Ravshanki, topilgan
1
u
va
2
u
birinchi integrallar erkli va, demak, qaralayotgan
(5) tenglamaning umumiy yechimi
1
( ,
2 ) ,
,
x
u
xy
z
C
y
koʻrinishda ifodalanadi.
Chiziqli tenglamaning yechimini qurishda ba’zan superpozitsiya
prinsipidan foydalanish qoʻl keladi.
Misol 3.
Ushbu
u
u
u
x
y
xy
x
y
x
y
z
tenglamaning umumiy yechimini quraylik.
269
Ravshanki,
u
x
va
u
y
funksiyalari - bu tenglamaning o‘ng
tomonini mos ravishda
x
va
y
bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan
tenglamalarning yechimi; demak, ularning yigʻindisi
u
x
y
berilgan
tenglamaning yechimi. Endi berilgan tenglamada
u
x
y v
(*)
deb almashtirish bajarsak,
v
noma’lum funksiyaga nisbatan ushbu
0
v
v
v
x
y
xy
x
y
z
bir jinsli tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi tenglamaning umumiy yechimi misol
2 da topilgan edi:
1
( ,
2 ) ,
.
x
v
xy
z
C
y
Endi (*) almashtirishga koʻra berilgan tenglamaning umumiy yechimini
yozamiz:
1
( ,
2 ) ,
.
x
v
x
y
xy
z
C
y
(2) tenglamaning berilgan boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi
yechimini topish uchun umumiy yechim (4) ni topib, boshlangʻich shart
yordamida bu yerdagi
funksiyani aniqlash kerak bo‘ladi.
Misol 4.
Ushbu
2
3
0
u
u
u
x
y
z
(6)
tenglamaning
1
|
x
u
y
z
shartni qanoatlantiruvchi yechimini topaylik.
Dastlab
1
2
3
dx
dy
dz
xarakteristik sistemaning 2 ta erkli birinchi integralini topamiz:
1
2
.
1
2
dx
dy
x
y
c
2
3
.
1
3
dx
dz
x
z
c
Demak, berilgan (6) tenglamaning umumiy yechimi
1
(2
,3
),
,
u
x
y x
z
C
(7)
koʻrinishda boʻladi. Endi
funksiyani boshlangʻich shartning
qanoatlanishidan topamiz:
1
|
(2
,3
).
x
u
y
z
y
z
y
z
(8)
270
Oxirgi tenglikda 2
, 3
y
t
z
s
deymiz. Bunda
2
,
3
y
t
z
s
va (8)
ga koʻra 2
3
( , )
t
s
t s
boʻladi. Demak,
( , )
5
t s
t
s
.
Izlangan yechim (7) ga koʻra topiladi:
5 (2
) (3
)
u
x
y
x
z
, ya’ni
5 5
u
x
y
z
.
III.
Endi
1
n
O
sohada aniqlangan ushbu
1
2
1
2
( , )
( , )
...
( , )
( , ) , ( , )
,
n
n
u
u
u
f x u
f
x u
f
x u
g x u
x u
O
x
x
x
(9)
1
1
bunda
,
( ),
1, ;
( , )
0, ( , )
n
j
j
j
g f
C O
j
n
f x u
x u
O
kvazichiziqli tenglamani qaraylik. (9) tenglamaning xarakteristik sistemasi
quyidagicha:
1
2
1
2
...
.
( , )
( , )
( , )
( , )
n
n
dx
dx
dx
du
f x u
f x u
f x u
g x u
(10)
Bu sistemaning
O
sohadagi yechimlari (9) tenglamaning xarakteristikalari deb
ataladi. (9) tenglamaning yechimi
( )
u
u x
gipersirtni (
1
n
oʻlchamli fazodagi
n
oʻlchamli sirtni) ifodalaydi.
( )
u
u x
gipersirt (9) ning yechimi boʻlishi
uchun uning xarakteristikalardan tuzilgan boʻlishi yetarli va zarurdir.
Agar
( , )
v x u
(
1
2
( ,
,...,
, )
n
v x x
x u
) funksiya (10) sistemaning birinchi
integrali va
0
0
(
,
)
x u
O
nuqtada
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
,
0
v x u
v x u
v
u
boʻlsa, u holda
0
( , )
v x u
v
tenglik
0
0
(
,
)
x u
nuqtaning biror atrofida (9) tenglamaning
oshkormas koʻrinishdagi
( )
u
u x
yechimini aniqlaydi.
(9) kvazichiziqli tenglama umumiy yechimining tuzilishi quyidagi
teoremada ochiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
