|
x
x
yechim
barcha
1
2
[ , ]
t
t t
larda aniqlangan va
( ; )
t
oʻzgaruvchilar boʻyicha uzluksiz
vektor-funksiyadan iborat boʻladi,
0
1
2
( ; )
[ , ]
(
);
(
)
n
t
C t t
B
.
Teorema 1
′
(
yechimning boshlang‘ich ma’lumotlar va parametrlarga
uzluksiz bog‘liqligi
).
Faraz qilaylik,
(
,
)
n
C D M
f
boʻlsin va u
D M
sohada
x
vektor oʻzgaruvchi boʻyicha lokal Lipshits shartini qanoatlantirsin
hamda
0
boʻlganda (1) masala
1
2
[ , ]
t
t t
(
0
1
2
[ , ]
t
t t
,
0
0
0
( ,
,
)
)
t
D M
x
segmentda aniqlangan
0
0
0
( ; ,
,
)
t t
x
x
yechimga ega boʻlsin. U holda
shunday yetarlicha kichik
0
soni topiladiki, ushbu
0
|
|
t
,
0
||
x ||<
va
0
||
||
shartlar bajarilganda
( ; , , )
t
x
yechim
barcha
1
2
[ , ]
t
t t
larda aniqlangan va
( ; , , )
t
(
t
yechimning argumenti,
( , )
boshlangʻich maʼlumotlar,
parametrlar) oʻzgaruvchilar boʻyicha
uzluksiz
vektor-funksiyadan
iborat
boʻladi,
ya’ni
0
0
1
2
0
0
( ; , , )
[ , ] (
,
)
(
)
(
);
(
)
n
t
C t t
t
t
B
B
x
Quyidagi teoremada soddalik uchun parametrlar soni birga teng deb
hisoblanadi. Bu holda
1
m
,
M
sonli interval,
M
.
Teorema 2
(
yechimning parametr boʻyicha differensiallanuvchiligi
)
.
Aytaylik,
( , , )
t
f
x
,
( , , )
(
1,..., )
j
t
j
n
x
f
x
,
( , , )
t
f
x
funksiyalar
( , , )
t
D M
x
sohada uzluksiz, (1) masalaning
( ; )
t
x
yechimi esa har
bir
M
uchun
1
2
0
1
2
[ , ] (
[ , ])
t
t t
t
t t
segmentda aniqlangan boʻlsin. U holda
bu yechimning
( ; )
t
u
(
( ; )
t
u
u
) hosilasi
1
2
( , )
[ , ]
t
t t
M
boʻlganda uzluksiz va u variatsiya uchun tenglama deb ataluvchi ushbu
0
,
0,
t t
d
dt
u
f
f
u
u
x
(2)
chiziqli tenglamani qanoatlantiradi, bunda xususiy hosilalar
( ; )
t
x
boʻlganda hisoblangan, ya’ni
256
( ; )
( ; )
( , , )
( , , )
,
t
t
t
t
x
x
f
f
x
f
f
x
x
x
.
Variatsiya uchun (2) vektorli tenglamaning skalyar koʻrinishi quyidagi
variatsiyalar uchun tenglamalar sistemasidan iborat:
0
1
,
0 (
1,..., )
n
i
i
i
j
i t t
j
j
du
f
f
u
u
i
n
dt
x
. (3)
Keltirilgan teorema parametrlar soni bittadan koʻp boʻlganda ham oʻrinli.
Bu holda
1
2
( ;
,
,...,
)
m
t
x
yechimning har bir
( ; )
(
1,..., )
j
j
t
j
m
u
xususiy hosilasi variatsiya uchun mos (2) chiziqli tenglamani qanoatlantiradi:
0
,
0 (
1,..., )
j
j
j
t t
j
d
j
m
dt
u
f
f
u
u
x
.
Keltirilgan teoremani quyidagicha qisqaroq (lekin noaniqroq) ifodalash
mumkin:
agar
( , , )
t
x
f
x
sistemaning oʻng tomoni
1
( , , )
t
C
f
x
boʻlsa,
uning
( ; )
t
x
yechimi ham
1
C
sinfga tegishli boʻladi.
Variatsiyalar uchun (3) tenglamalar sistemasini (yoki uning (2) vektor
koʻrinishini) hosil qilish uchun ushbu
1
(
) ,
( , )
,
( , ),...,
( , ),
(
1,..., )
i
i
n
d
t
f t
t
t
i
n
dt
ayniyatlarni
boʻyicha differensiallash va aralash hosilalarda differensiallash
tartibini almashtirish kerak. Agar
( ; )
t
x
yechim biror
da ma’lum
boʻlsa,
ning shu qiymatida yechimning
boʻyicha hosilasi
( ; )
t
u =
ni
(2) (yoki(3)) masalani yechib aniqlash mumkin.
(1) masala
0
0
( ; ,
, )
t t
x
x
yechimining
0
0
( ,
, )
t
x
larga bogʻliqligini
oʻrganishni boshqa sistema yechimining faqat parametrlarga bogʻliqligini
oʻrganishga keltirish mumkin. Buning uchun (1) da
0
x
y
x
formula bilan
y
ga va
t
oʻrniga
0
t
t
erkli oʻzgaruvchiga oʻtish kifoya.
Endi yechimni boshlangʻich qiymatlar boʻyicha differensiallash
masalasini qaraylik. Ushbu
0
( , )
t
t
x
f
x
x|
(4)
257
Koshi masalasi berilgan boʻlsin; bunda
0
( , )
( , )
)
(
t
D
t
D
x
,
D
1
n
fazodagi soha. Bu masalaning yechimini
( ; )
t
x
0
( ; )
(
)
t
koʻrinishda
belgilaymiz (boshlangʻich payt (vaqt)
0
t
tayinlangan).
Teorema 2
′
(
yechimning boshlangʻich qiymatlar
boʻyicha differensial-
lanuvchanligi
).
Aytaylik,
( , )
t
f
x
vektor-funksiya va uning
( , )
t
f
x
x
xususiy
hosilasi
D
sohada uzluksiz hamda (4) masalaning
0
dagi
0
( ;
)
t
x
yechimi
1
2
[ , ]
t
t t
oraliqda aniqlangan boʻlsin. U holda
0
nuqtaning biror
0
0
(
)
B
atrofiga tegishli boʻlgan barcha
lar uchun
( ; )
t
x
yechimning
boshlangʻich qiymatlar boʻyicha
( ; )
(
1,..., )
j
j
t
j
n
w
hosilalari
0
0
1
2
( , )
[ , ]
(
)
t
t t
B
toʻplamda uzluksiz va ular quyidagi masalalar
yechimlaridir:
o'rin
,
(0,..., 0, 1 , 0,...0)
1,
(
),
j
j
j
j
j
T
j
d
j
n
dt
w
f
w
w
e
e
x
;
bunda
( ; )
( , )
t
t
x
x
f
f
x
x
.
Bu masalani hosil qilish uchun ushbu
0
( ; )
( , ( ; )) ,
( ; )
t
t
t
t
t
f
ayniyatlarni
j
boʻyicha differensiallash va
2
2
( ; )
( ; )
j
j
j
t
t
t
t
t
w
deyish kifoya.
Nihoyat, yechimning boshlangʻich payt boʻyicha differensiallanuvchi-
ligini qarab chiqamiz.
Ushbu
0
( , )
t
x
f
x
x|
x
(5)
boshlangʻich masalani qaraylik; bunda
0
( , )
( ,
)
)
(
t
D
D
x
x
. Bu masalaning
yechimini
0
( ; )
( ; )
(
)
t
x
x
koʻrinishda belgilaymiz (boshlangʻich
qiymat
0
x
tayinlangan).
Teorema 2
”
(
yechimning boshlangʻich payt boʻyicha differensial-
lanuvchiligi
)
.
Aytaylik,
( , )
t
f
x
vektor-funksiya va uning
( , )
t
f
x
x
xususiy
hosilasi
D
sohada uzluksiz hamda (5) masalaning
0
t
boʻlgandagi
258
0
( ; )
t t
x
yechimi
1
2
[ , ]
t
t t
oraliqda aniqlangan boʻlsin. U holda
0
t
nuqtaning
biror yetarlicha kichik
0
0
0
0
(
,
)
t
t
atrofiga tegishli boʻlgan barcha
lar
uchun
( ; )
t
x
yechimning boshlangʻich payt boʻyicha
( ; )
t
w
hosilalasi
1
2
0
0
0
0
( , )
[ , ] (
,
)
t
t t
t
t
toʻplamda uzluksiz va u ushbu
0
( , ( ; ))
|
( ,
)
t
d
t
t
dt
Do'stlaringiz bilan baham: |
