Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

c
koʻrinishda izlaymiz. Noma’lum ( )
t
c
vektor-funksiya uchun (9) ga koʻra 
2
( )
( )
2
t
e
t
t
t



 
 



c
tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning har ikkala tomonini
1
1
( )
2
t
t
t
t
e
e
t
e
e







 






---

178 
teskari matritsaga koʻpaytirib ( )
t

c
ni, soʻngra esa ( )
t
c
ni topamiz. 
1
2
( )
( )
2
t
e
t
t
t




 




c
yoki skalyar koʻrinishda 
2
1
2
( )
( ) 1
t
t
t
c t
e
te
c t
te








 

Bu sistemadan integrallashlarni bajarib,
1
2
( )
( )
( )
с t
t
с t


 



c
, bunda 
2
1
2
1
( )
2
( )
t
t
t
t
t
с t
e
te
e
с t
t te
e









 


, 
boʻlishini topamiz (integrallashlar oʻzgarmaslarini nolga teng deb oldik). 
Demak, berilgan bir jinsli boʻlmagan sistemaning xususiy yechimi
( )
( )
x
t
t
y
 
  
 
 
c
, ya’ni 
2
1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
te
e
x
e
e
y
e
e
t
te
e










 






  
 


 








koʻrinishda boʻladi. Bu xususiy yechimga bir jinsli tenglamaning
1
2
( )
c
x
t
y
c
 
 
   
 
 
 
, ya’ni 
1
2
t
t
t
t
c
x
e
e
y
c
e
e



  
 



  
  


 
 


umumiy yechimini qoʻshib, berilgan sistemaning umumiy yechimini hosil qilamiz: 
2
1
2
1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
te
e
с
x
e
e
y
e
e
t
te
e
с







 


 






  
 


 









yoki skalyar koʻrinishda
1
2
1
2
1
2
2
1
.
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
x
c e
c e
te
e
t
y
c e
c e
te
e


 






  






Faraz qilaylik, berilgan 
1
11
12
21
22
2
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
( )
, ... ,
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
nn
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
t
t
x
t
x
t
x
t




















 























x
x
x
vektor-funksiyalar 
I
oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi va ularning 
Vronskiani noldan farqli boʻlsin, ( ) 0
W t

. Ushbu 

---

179 
1
2
( )
( )
( )
( )
n
x t
x t
t
x t







 







x
x
vektor-funksiyaning koordinata funksiyalari 
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
x t x t
x t
ga nisbatan 
chiziqli differensial tenglamalar sistemasi 
1
2
1
11
12
1
1
2
1
2
( )
( )........
( )
( )
( )........
( )
..........................................
1
( )
( )........
( )
( )
..........................................
( )
( )........
j
j
j
jn
n
j
j
j
jn
n
n
n
x
x
t
x
t
x
t
x x
t
x
t
x
t
x
x
t
x
t
x
t
W t
x
x
t
x
t
x
 


0,
1, ,
( )
nn
j
n
t


(13) 
uchun berilgan 
1
( ),...,
( )
n
t
t


x
x
x
x
funksiyalar yechimlardir 
( ) ,
k
t

(x
x
1,
,
k
n

boʻlganda bu determinantning 1- va (
1)
k

- ustunlari bir xil). (13) 
dagi 
j
- determinantning birinchi satri uning 
j
- satri hosilasidan iborat. (13) 
dagi determinantlarni birinchi ustun boʻyicha yoyib (Laplas formulasiga koʻra) 


1
1
2
2
1
( )
( )
( )
...
0,
1, ,
( )
j
j
j
jn n
W t x
b t x
b
t x
b x
j
n
W t
 

 


ya’ni
1
2
1
2
( )
( )
...
,
1, ,
( )
( )
( )
j
j
jn
j
n
b
t
b
t
b
x
x
x
x
j
n
W t
W t
W t
  

 

sistemaga kelamiz; bunda berilganga koʻra 
1
2
( )
[
( ),
( ),...,
( )]
0.
n
W t
W
t
t
t


x
x
x
(13) sistemani boshqacha usulda ham tuzish mumkin. Agar berilgan 
vronskiani noldan farqli vektor-funksiayalardan 
11
12
1
21
22
2
1
2
( )
( ).....
( )
( )
( ).....
( )
( )
.
.
.
.
( )
( )......
( )
n
n
n
n
nn
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
x
t
x
t
x
t







 







matritsani tuzsak, ushbu 
1
( ) ,
( )
( )
( ),
A t
A t
t
t




 

x
x
(14) 
normal sistemaning bazis yechimlari berilgan funksiyalardan, fundamental 
matritsasi esa tuzilgan ( )
t

dan iborat boʻladi. 

---

180 
Misol 3.
Berilgan
1
1
( )
cos
t
t


 



x
va 
2
sin
( )
1
t
t


 



x
yechimlarga ega boʻlgan normal koʻrinishdagi 2 tartibli chiziqli differensial 
tenglamalar sistemasini tuzing. 

Berilgan vektor-funksiyalarning vronskiani
1
sin
( )
(2 sin 2 ) 2
cos
1
/
t
W t
t
t



ixtiyoriy 
(
,
)
t
  
nuqtada noldan farqli va izlangan sistema (13) ga asosan 
1
2
1
1
2
2
0 cos
sin
0
1
1
1 sin
0,
1
sin
0
( )
( )
cos
1
cos
1
x
t
x
t
x
t
x
t
W t
W t
x
t
x
t

 


koʻrinishga ega. Mos determinantlarni birinchi ustun boʻylab yoyamiz va 
ixchamlashlarni bajarib, quyidagi sistemani hosil qilamiz: 
2
1
1
2
2
2
1
2
2 cos
2 cos
2 sin 2
2 sin 2
2sin
2sin
2 sin 2
2 sin 2
t
t
x
x
x
t
t
t
t
x
x
x
t
t

  





   





(
)
t
   
. (15) 
Bu izlangan sistemadir.
Eslatma.
Berilgan vektor-funksiyalardan
1
sin
( )
cos
1
t
t
t



 



matritsani tuzib, (14) formulaga koʻra normal sistemani tuzsak ham oʻsha (15) 
sistemani hosil qilamiz. 

 
Masalalar 
Vektor-funksiyalarni chiziqli erklikka tekshiring (
1
- 
5
): 
1.
1
2
2
1
1
( )
,
( )
t
t
t
t
 
 

  
 
 
 
y
y
.
2. 
1
2
3
1
2
1
( )
,
( )
,
( )
2
5
t
t
t
t
t
t
t
t

 
 





 
 


 
 


y
y
y
. 
3.
1
2
1
0
( )
,
( )
2
t
t
t
t
t
t
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
y
y
.

---

181 
4.
1
2
3
2
2
1
0
0
( )
2
,
( )
,
( )
2
3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
 


 
 


 



 


 
 
 


 
 


y
y