|
p
p
p
p
p
Oxirgi sistemani yuqoridagi tenglamadan boshlab quyiga qarab yechamiz va
1
1
0
,...,
,
r
p
p p
vektor koeffitsientlarni topamiz. Ular
j
r
r
dona ixtiyoriy
oʻzgarmas son orqali ifodalanadi. (7) yechimda
r
ta ixtiyoriy oʻzgarmas
qatnashadi. Bu oʻzgarmaslarning bittasini birga qolganlarini esa nolga
tenglashtirib,
r
dona chiziqli erkli yechim topishimiz mumkin.
Barcha xarakteristik sonlarga mos kelgan chiziqli erkli yechimlarning
(ular
п
ta boʻladi ) chiziqli kombinatsiyasi (3) ning umumiy yechimini beradi.
Umumiy yechimni ushbu
( )
t
x
c
koʻrinishda ham yozish mumkin. Bu yerda ( )
t
fundamental matritsa,
c
esa
ixtiyoriy oʻzgarmas vektor. Fundamental matritsa
п
ta chiziqli erkli yechim
koordinatalarini ustunlar boʻylab yozishdan hosil boʻladi.
Agar (3) tenglamaning koeffitsientlari haqiqiy sonlardan iborat boʻlsa,
odatda bunday holda uning haqiqiy yechimlarini topish talab qilinadi. Bu holda
xarakteristik kompleks sonlar oʻzaro qoʻshma kompleks sonlar koʻrinishida
uchraydi. (3) ning haqiqiy yechimlarini topish uchun kompleks yechimlarning
haqiqiy va mavhum qismlarini ajratish kerak.
II.
(3) tenglamaning normalangan
(0)
E
fundamental matritsasini
eksponensial martitsa orqali
( )
At
t
e
exp(
)
At
koʻrinishda ham ifodalash mumkin. Bunda
2
2
,
,
!
2!
k
At
k
A
A
e
E
At
t
t
t
k
(11)
Bu yerdagi matritsaviy qator ixtiyoriy segmentda tekis yaqinlashuvchi va uni
hadma-had xohlagancha marta differensiallash mumkin:
187
2
2
!
2!
k
At
k
At
d
A
A
e
A E
At
t
t
Ae
k
dt
.
A
matritsaning eksponentasi
A
e
ni hisoblashda ta’rifdagi matritsaviy
qatordan foydalanish umumiy holda noqulay. Bunda mos (3) tenglamaning
biror fundamental matritsasi ( )
t
ni topib, ushbu
1
( )
(0)
At
e
t
formuladan foydalanish mumkin.
A
e
ni hisoblashning boshqa usuli quyidagicha. Dastlab
A
matritsaning
xarakteristik koʻphadi ( )
det(
)
def
A
E
ni tuzamiz. Soʻngra
)
(0)
( )
0,
,
0,
1;
Kroneker simvoli
(
( )
i
j
i
j
ij
ij
d
d
t
i j
n
dt
dt
,
boshlangʻich masalalarni yechamiz va, nihoyat,
2
1
0
1
2
1
( )
( )
( )
...
( )
tA
n
n
e
t E
t A
t A
t A
(12)
matritsani hisoblaymiz.
( )
n n
A
matritsaning eksponentasini hisoblashning yana bir usuli
matritsaning Jordan koʻrinishiga asoslanadi. Shunday teskarilanuvchi
S
matritsa topamizki, uning uchun
1
1
(
)
J
S AS
A
SJS
,
1 1
2
2
,
,
,
diag(
,
,
,
,
)
k
k
n
n
n
J
J
J
J
1 1
2
2
,
,
,
k
k
n
n
n
J
J
J
, (13)
boʻladi, bunda
J
Jordan (katakli-diagonal) matritsasining diagonali boʻylab
Jordan kataklari, boshqa oʻrinlarda esa nollar joylashgan boʻlib, u quyidagicha
tuziladi. Faraz qilaylik,
A
matritsaning turli xos sonlari
1
2
,
,
,
(
)
s
s
n
mos ravishda
1
2
,
,
,
s
k k
k
karrali (
1
2
s
k
k
k
n
) hamda
q
xos songa
mos kelgan chiziqli erkli vektorlar soni
q
p
, ya’ni
dim{ | ( -
)
0}
q
q
A
E
p
x
x
(
rank(
)
q
q
p
n
A
E
) boʻlsin. U holda
q
xos songa
q
p
dona
188
,
1
2
1
1
( ) ,
1
1, 2,
,
(
),
q
q j
q j
q j
q
q
q
d
d
d
q
q
q
q
q
q p
q
J
j
p
d
d
d
k
1
2
,
,
,
q
q
q
q p
d
d
d
oʻlchamli Jordan kataklari mos keladi; bu yerda ham boʻsh
oʻrinlarda nollar yozilgan deb tushunish kerak. Ravshanki,
q
ga mos kelgan
Jordan kataklarining eng katta oʻlchami
1
2
max{
,
,
,
}
q
def
q
q
q
q p
q
k
d
d
d
k
boʻladi. (13) formulada Jordan kataklari boshqacha indekslangan.
S
matritsa
umumlashgan xos vektorlardan tuziladi:
1
1
1 1
1,
2,
,
[
,
,
,
,
]
n
n
n n
S
h
h
h
,
1
1
1
1 1
1
1
1
1,
1
2,
1,
1
,
1,
(
)
0, (
)
,
, (
)
,
.
n
n
n
n n
n
n
A
E
A
E
A
E
h
h
h
h
h
1
A
SJS
boʻlgani uchun
1
( )
tA
S tJ S
va (13) ga koʻra
,
,
,
1 1
2
2
1
1
diag(
,
,
,
,
)
n
n
n
k
k
tJ
tJ
tJ
tA
tJ
e
Se S
S
e
e
e
S
. (14)
Demak, biz Jordan katagini
t
ga koʻpaytmasining eksponentasini hisoblashimiz
kerak. Ushbu
,
1
1
( )
1
p
p p
J
tipik Jordan katagini olaylik. Qulaylik uchun
0
1
1
0
1
1
( ) ,
( )
0
1
1
0
p
p p
p
p p
E
N
belgilashlarni kiritamiz. U holda
,
p
p
p
J
E
N
va
189
,
2
1
2
1
1!
2!
(
1)!
0
1
1!
(
)!
2
0
0
0
1!
0
0
0
1
p
p
p
p
t J
tN
t
t
t
t
t
p
t
t
p
e
e e
e
t
. (15)
boʻladi. Shunday qilib, agar
A
matritsani Jordan kanonik koʻrinishiga
keltiruvchi
S
matritsa ma’lum boʻlsa, u holda (15) va (14) formulalar orqali
tA
e
(
t
)
matritsani hisoblash mumkin.
III.
Bir jinsli boʻlmagan (2) tenglamaning umumiy yechimi
At
e
eksponensial matritsa yordamida quyidagicha ifodalanadi:
(
)
( )
t s A
tA
e
s ds
e
x
f
c
.
Bu yerda
(
)
( )
t s A
e
s ds
f
qoʻshiluvchi (2) tenglamaning xususiy yechimi,
tA
e
c
qoʻshiluvchi esa mos bir jinsli (3) tenglamaning umumiy yechimi
c
ixtiyoriy
oʻzgarmas vektor
)
. Xususiy yechimni ( )
t
f
ozod had kvaziko‘phaddan iborat
bo‘lganda integrallash amalini ishlatmasdan topish mumkin.
Kvaziko‘phad (kompleks sohada) deb
( )
( )
t
t
e
t
f
p
(16)
ko‘rinishdagi
vektor-funksiyaga
aytiladi;
bu
yerda
va
1
1
1
0
( )
...
m m
m
m
t
t
t
t
p
b
b
b
b
(kompleks) vektor koeffitsientli ko‘phad.
Ozod hadi kvaziko‘phaddan iborat bo‘lgan ushbu
( )
t
A
e
t
x
x
p
(17)
sistema kvaziko‘phad ko‘rinishidagi xususiy yechimga ega. Bu yechimni
noma’lum koeffitsientlar metodi yordamida topish mumkin.
Buning uchun dastlab quyidagi
k
nomanfiy butun sonni aniqlash kerak:
agar
son
A
matritsaning xarakteristik soni bo‘lmasa,
0
k
deymiz; agar
son
A
matritsaning xarakteristik soni bo‘lsa,
k
bilan uning karralilik darajasini
belgilaymiz. Endi xususiy yechim
( ), deg ( )
deg ( )
t
e
t
t
t
k
x =
q
q
p
, (18)
kvaziko‘phad ko‘rinishida izlanadi.
( )
t
q
ko‘phadning koeffitsientlarini
hozircha noma’lum deb, ularni sistemaning qanoatlanishi shartidan topish
kerak.
Agar haqiqiy sohada berilgan (2) sistemada ( )
t
f
ozod had
190
( )
( ) cos
( ) sin
t
t
e
t
t
t
t
Do'stlaringiz bilan baham: |
