Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

Teorema 
(
MYaT
). 
Agar 
1
( , ,...,
),
1, ,
i
n
f t x
x
i
n

funksiyalarning 
barchasi 
1
0
10
0
( ,
,...,
)
n
n
t x
x


nuqtaning biror atrofida uzluksiz va shu atrofda 
1
2
( ,
,...,
)
n
x x
x
o‘zgaruvchilarga nisbatan Lipshits shartini qanoatlantirsa, u 
holda (1), (2) Koshi masalasi biror 
0
|
|
(
0)
t
t
h h



oraliqda yechimga ega 
va bu yechim yagona.
Agar aytilgan shartlar 
D
sohaning har bir nuqtasining biror atrofida 
o‘rinli 
bo‘lsa (buning uchun, masalan, 
( );
( ),
1, ,
1, ,
i
i
j
f
f
C D
C D i
n j
n
x






bo‘lishi yetarli), u holda (1), (2) Koshi masalasi eng katta aniqlanish sohasiga 
ega bo‘lgan yagona yechimga ega (u davomsiz yechim deyiladi). Bu yechim
D
sohaning “chegarasidan chegarasigacha” boradi.
Quyida 
,
1, ,
i
f i
n

funksiyalarni yetarlicha marta differensiallanuvchi 
deb faraz qilamiz.
(1) sistemani yechimini topishning ikki asosiy usuli mavjud. Ularning 
biri 
yo‘qotish usuli
dir. Bu usulga ko‘ra (1) sistemani 
1
n

ta noma’lumni 
yo‘qotish natijasida bitta 
n
-tartibli differensial tenglamaga olib kelinadi. (1) 

---

163 
sistemadan 
2
3
,
,
,
n
x x
x
noma’lumlarni yo‘qotaylik. Buning uchun (1) dagi 
birinchi tenglamani differensiallaymiz (uchraydigan barcha hosilalar mavjud 
deb faraz qilinadi) va bunda 
2
,...,
n
dx
dx
dt
dt
hosilalar o‘rniga ularning qiymatlarini 
(1) sistemaning tenglamalaridan keltirib qo‘yamiz: 
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
...
...
n
n
n
n
dx
d x
f
f dx
f dx
f
t
x dt
x
dt
x
dt
dt
f
f
f
f
f
f
f
t
x
x
x







 












 




yoki 
2
1
2
1
2
2
( , ,
,...,
),
n
d x
F t x x
x
dt

(3) 
bunda
1
1
1
1
2
1
2
1
2
...
n
n
f
f
f
f
F
f
f
f
t
x
x
x







 




.
Endi (3) tenglamani differensiallaymiz va yuqoridagiga o‘xshash ishlarni 
bajaramiz. Natijada
3
1
3
1
2
3
( , ,
,...,
)
n
d x
F t x x
x
dt

ko‘rinishdagi munosabatga kelamiz. Bunaqa ishlarni takrorlab quyidagi 
sistemani hosil qilamiz: 
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
( ,
,
,...,
) (
)
( ,
,
,...,
)
...........................................
( ,
,
,...,
)
n
n
n
n
n
n
dx
F t x x
x
F
f
dt
d x
F t x x
x
dt
d x
F t x x
x
dt














Bu sistemadagi dastlabki 
1
n

ta tenglamadan 
2
,...,
n
x
x
larni topamiz (agar 
mumkin bo‘lsa) : 
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
, ,
,
,
,
, ,
,
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
dx
dx
d
x
d
x
x
x t x
x
x t x
dt
dt
dt
dt






(4) 
va ularni sistemadagi oxirgi tenglamaga qo‘yamiz. Natijada 
1
1
( )
x
x t

ga 
nisbatan ushbu 

---

164 
1
1
1
1
1
,
,...,
(
)
n
n
n
n
d x
dx
d
x
F t
dt
dt
dt



n

tartibli differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechib, 
1
1
( )
x
x t

ni topamiz, so‘ngra (4) formumlalarga ko‘ra 
2
2
( ),...,
( )
n
n
x
x t
x
x t


larni 
topamiz. 
Umumiy 
holda 
shu 
yo‘sinda 
topilgan 
1
1
2
2
( ),
( ),...,
( )
n
n
x
x t x
x t
x
x t



funksiyalar (1) sistemaning yechimini beradi. 
Ba’zi hollarda 
1
1
( )
x
x t

ga nisbatan bir dona 
n
- tartibli differensial tenglama 
hosil bo‘lmasligi mumkin. Masalan, bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan ikki 
tenglamadan tuzilgan ushbu 
x
x
y
y
 

  

sistemadan, tushunarliki, 
( )
x
x t

ga nisbatan bir dona ikkinchi tartibli 
differen-sial tenglama hosil qilib bo‘lmaydi. Sistemaning yechimi:
1
2
,
t
t
x
c e y
c e


. 
(1)
sistemani yechishning ikkinchi usuli 

bu integrallanuvchi kombinat-
siyalar tuzishdir. Berilgan differensial tenglamalar sistemasidan kelib 
chiquvchi va osongina yechiladigan (integrallanadigan) natijaviy tenglama 
integrallanuvchi kombinatsiya 
deyiladi. Integrallanuvchi kombinatsiyalar 
yordamida birinchi integrallar topiladi. Agar 
1
2
( , ,
,
,
)
n
t x x
x

funksiya 
1
C
sinfga tegishli va o‘zgarmasdan farqli bo‘lib, 
(1)
sistemanining har qanday 
1
1
2
2
( ),
( ),...,
( )
n
n
x
x t x
x t
x
x t



yechim bo‘ylab (yechimida) o‘zgarmasga 
aylansa, 
ya’ni 
1
2
( , ( ),
( ),
,
( ))
n
t x t x t
x t


const 
bo‘lsa, 
bunday 
1
2
( , ,
,
,
)
n
t x x
x

funksiya 
(1)
sistemanining birinchi integrali
deb ataladi. Bu 
holda 
1
2
( , ,
,
,
)
n
t x x
x

funksiya 
bilan 
birgalikda 
1
2
( , ,
,
,
)
(
const)
n
t x x
x
c c



ham birinchi integral deb yuritiladi. 
1
2
( , ,
,
,
)
n
t x x
x

funksiyaning 
1
1
2
2
( ),
( ),...,
( )
n
n
x
x t x
x t
x
x t



yechim 
bo‘ylab o‘zgarmasligi 
1
2
( ,
( ),
( ),
,
( ))
0
n
d
t x t x t
x t
dt


ekanligidan kelib 
chiqadi.
Agar 
(1)
sistemaning
n
dona erkli birinchi integrallari
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
( , ,
,
,
)
( , ,
,
,
)
...........................
( , ,
,
,
)
n
n
n
n
n
t x x
x
c
t x x
x
c
t x x
x
c






(5)

---

165 
topilgan bo‘lsa, u holda 
(5)
tengliklar sistemasi 
(1)
ning umumiy yechimini 
aniqlaydi.
(5)
integrallarning erkliligi ular orasida 
1
2
( ,
,...,
)
0
n
  


ko‘rinishdagi 
funksional bog‘lanishning mavjud emasligini anglatadi. funksiyalarining 
erkliligini ushbu 
1
1
1
1
2
1
2
...
...
...
...
...
0
...
...
...
...
...
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x



















(6)
shart ta’minlaydi.
(1)
sistemani integrallash to‘g‘risidagi yuqorida aytilgan fikrlar ushbu 
1
2
1
1
2
1
1
...
( ,...,
)
( ,...,
)
( ,...,
)
n
n
n
n
n
dx
dx
dx
g x
x
g x
x
g x
x

 
(7)
simmetrik ko‘rinishdagi differensial tenglamalar sistemasi uchun ham o‘rinli. 
Bu sistemada bitta o‘zgaruvchi erkli o‘zgaruvchi, qolgan 
(
1)
n

ta o‘zgaruvchi 
esa 
– 
noma’lum 
funksiyalar. 
(7)
sistemadan 
integrallanuvchi 
kombinatsiyalarni tuzishda quyidagi tasdiqdan foydalanish ba’zan qo‘l keladi: 
agar
1
2
1
2
...
n
n
a
a
a
b
b
b

 
bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 
1
2
,
,...,
n
 

sonlar uchun 
1 1
2
2
1
2
1
2
1 1
2 2
...
...
...
n
n
n
n
n n
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b







 

 


 
(8) 
ham o‘rinli bo‘ladi. 
Misol 1.
Ushbu
2
2
2
,
2
dx
dy
x
x
y
t
dt
dt
y



 
(9) 
differensial tenglamalar sistemasini yeching. 

Yo‘qotish usulini qo‘llaymiz. Birinchi tenglamani differensiallaymiz: 
2
2
2
2
2
d x
dx
dy
y
t
dt
dt
dt



(10) 
(9) sistemaning ikkinchi tenglamasidan 

---

166 
2
dy
y
x
dt
 
kelib chiqadi. Buni (10) ga qo‘yib, 
( )
x
x t

ga nisbatan ikkinchi tartibli chiziqli 
tenglamaga kelamiz:
2
2
2
2
d x
dx
x
t
dt
dt

 
.
Bu tenglamani yechib, uning umumiy yechimini topamiz: 
1
2
2
4
t
t
x
c e
c te
t


 
. (11) 
(9) sistemaning birinchi tenglamasidan 
2
2
2
1
2
2
2
(
)
4
6
t
t
dx
у
x t
c
c e
c te
t
t
dt


   

   
(12) 
(11) va (12) tengliklar (9) sistemaning ushbu
1
2
2
2
1
2
2
2
4
(
)
4
6
t
t
t
t
x
c e
c te
t
у
c
c e
c te
t
t
 

 


  

   

umumiy yechimini aniqlaydi. 

Misol 2.
2
( , , )
t x y
x
ty



funksiya ushbu
2
2
2
,
dx
x
dy
x
ty
dt
t
dt
t

 

sistemaning birinchi integrali ekanligini isbotlang. 

Ixtiyoriy 
( ),
( )
x
x t y
y t


yechim bo‘ylab berilgan funksiyaning 
hosilasi aynan nolga teng: 
2
( )
( )
( , ( ), ( ))
(
( )
( ))
2 ( )
( )
d
d
dx t
dy t
t x t y t
x t
ty t
x t
y t
t
dt
dt
dt
dt







2
2
( )
2
( )
( )
2 ( )
( )
0
x t
x t
ty t
x t
y t
t
t
t












. 
Demak, berilgan funksiya har qanday yechim bo‘ylab o‘zgarmaydi, ya’ni 
u birinchi integral. 

Misol 3.
Quyidagi sistemani birinchi integrallar yordamida yeching.
,
dx
dy
y
x
dt
dt


. 

Berilgan sistemaning tenglamalarini hadma-had qo‘shib va ayirib, 
ikkita erkli birinchi integralni topamiz: 

---

167 
1
2
(
)
,
;
(
)
(
) ,
.
t
t
d x
y
x
y x
y
c e
dt
d x
y
x
y
x
y
c e
dt


 
 

  
 
 
Birinchi integrallardan yechim osongina topiladi: 
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
c
c
x
e
e
x
y
c e
c
c
x
y
c e
y
e
e



 


  





 






 
yoki qisqaroq ko‘rinishda
1
2
1
2
t
t
t
t
x
c e
c e
y
c e
c e


 






