|
x
x
f
.
26.
1
2
sin
cos
( )
,
( )
;
( )
sin 2
cos 2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
27.
1
2
cos 2
sin 2
1 cos 2
( )
,
( )
;
( )
1
2
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
28.
2
1
2
1
( )
,
( )
;
( )
t
t
t
t
e
e
t
t
t
t
t
e
x
x
f
.
29.
2
1
2
2
2
1
( )
,
( )
;
( )
1
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
30.
1
2
ln(
1)
( )
,
( )
;
( )
2
2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
31.
2
1
2
cos
1
( )
,
( )
;
( )
3
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
32.
1
2
sin
sin 2
1
( )
,
( )
;
( )
cos
cos 2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
33.
1
2
tg
1
( )
,
( )
;
( )
1
2
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
34.
1
2
1
( )
,
( )
;
( )
tg2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
184
35.
1
2
1
1
1
( )
,
( )
;
( )
2
3
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
36.
1
2
1
1
( )
,
( )
;
( )
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
37.
1
2
sin
1
1
( )
,
( )
;
( )
cos 2
2
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
38.
1
2
cos
sin
( )
,
( )
;
( )
sin
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
39.
2
1
2
1
( )
,
( )
;
( )
1 2
t
t
t
t
e
e
t
t
t
t
t
e
e
x
x
f
.
40.
1
2
2
1
1
cos
( )
,
( )
;
( )
1
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
f
.
15. CHIZIQLI OʻZGARMAS KOEFFITSIENTLI
NORMAL DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI.
EKSPONENSIAL MATRITSA
Maqsad
– chiziqli oʻzgarmas koeffitsientli normal differensial
tenglamalar sistemasining umumiy yechimini qurishni va matritsaning
exponentasini oʻrganish
Yordamchi ma’lumotlar:
Chiziqli oʻzgarmas koeffitsientli normal differensial tenglamalar
sistemasi
ning umumiy koʻrinishi quyidagicha:
1
11 1
12
2
1
1
2
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
...
( )
...
( )
...
( )
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a x
a x
a x
f t
x
a x
a x
a x
f t
x
a x
a x
a x
f t
(1)
bunda
( ) (
1, ,
1, )
kj
a
t
k
n j
n
koeffitsientlar
oʻzgarmas sonlar,
1
2
( ),
( ),
f t
f t
...,
( )
n
f t
ozod hadlar
biror
I
oraliqda uzluksiz funksiyalar. (1) ning vektor
koʻrinishi
( );
A
t
x
x
f
(2)
bunda
185
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
,
( )
,
||
||
.
( )
( )
kj
n n
n
n
x t
f t
x t
f t
t
t
A
a
x t
f t
x
x
f
I.
(2) – bir jinsli boʻlmagan tenglama (umumiy holda). Unga mos bir
jinsli tenglama
A
x
x
(3)
koʻrinishda boʻladi (ozod had nolga teng).
Agar biz (3) differensial tenglamaning umumiy yechimini qura olsak, (2)
ning ham yechimini topa olamiz. Buni ixtiyoriy oʻzgarmaslarni variatsiyalash
(Lagranj usuli) bilan amalga oshirishimiz mumkin.
(3) tenglamaning umumiy yechimini qurishda Eyler usulini qoʻllaymiz.
Bir jinsli tenglama (3) ning xarakteristik tenglamasi deb
det(
)
0
A
E
(4)
tenglamaga aytiladi; bunda
E
n n
oʻlchamli birlik matritsa. (4) xarakteristik
tenglama
n
-darajali algebraik tenglamadan iborat. Uning ildizlari
A
matritsaning xarakteristik (xos) sonlari deb ataladi.
(3) differensial tenglamaning umumiy yechimi uning
n
dona chiziqli
erkli yechimlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat. Bu chiziqli erkli
yechimlar (4) xarakteristik tenglamaning ildizlaridan (xos sonlardan)
foydalanib quriladi.
1
0
.
Xarakteristik sonlar oddiy
. Xarakteristik tenglama (4) ning ildizlari
1
2
,
,...,
n
turli boʻlsin
(
,
).
j
k
j
k
A
matritsaning
j
xarakteristik
soniga mos keluvchi xos vektori
j
h
ni ushbu
(
)
0 ,
1,
,
j
j
A
E
j
n
h
(5)
tenglamadan topamiz va (3) ning
1
2
1
2
,
,...,
n
t
t
t
n
e
e
e
h
h
h
yechimlarini quramiz (ular chiziqli erkli boʻladi). (3) ning umumiy yechimi
1
(
)
j
n
t
j
j
j
j
c e
c
const
x
h
(6)
koʻrinishda yoziladi.
2
0
.
Karrali xarakteristik son mavjud.
Aytaylik,
j
son (4)
xarakteristik tenglamaning
j
r
r
karrali ildizi boʻlsin. U holda (3) tenglama-
ning bu xarakteristik songa mos keluvchi yechimi
( )
t
t e
h
p
(7)
koʻrinishda boʻladi; bunda
1
1
1
0
( )
...
r
r
t
t
t
p
p
p
p
(8)
186
vektor koeffitsientli koʻphad.
( )
t
p
koʻphadni topish uchun (7) ni (3) ga qoʻyamiz:
( )
( )
( )
t
t
t
t e
t e
A t e
p
p
p
yoki
(
) ( )
( )
A
E
t
t
p
p
. (9)
(8) ga koʻra (9) tenglikdan quyidagini topamiz:
1
2
1
1
0
1
1
(
)(
...
)
(
1)
...
r
r
r
r
A
E
t
t
r
t
p
p
p
p
p
. (10)
(10) ayniyat boʻlishi uchun
t
ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlar teng
boʻlishi kerak:
1
2
1
0
1
(
)
0
(
)
(
1)
......................................
(
)
r
r
r
A
E
A
E
r
A
E
Do'stlaringiz bilan baham: |
