Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

17.
 
(1 ln
ln )
xy
y
x
y
 


; 
4
3
2
(2
)
2
xy
x
y
x y
y




. 
18.
 
4
3
2
yy
x
y
 


; 


4
2
2
3
2
1
0
x y
x y dx
x dy
 


. 
19.
 
tg
y
xy
y
x
x
  
; 
4
5
.
6
5
x
y
y
x
y


 
 
20.
 
3
2
2
2
3
2
.
2
y
yx
xy
y
x

 

; 
(5
2
1)
2
0
x
y
y
x
y




 
. 
21.
 
2
.
2
x
y
y
x
y

 

; 
2
2
3
2
y
x
y
 

. 
22.
 
2
2
2
.
xy
x
y
y
 


; 
3
3
4
3
y
x
y
 

. 
23.
 
2
(
)
x x
y y
y



; 
(
1) ln
1
1
y
x
y
x
y
x
x


 



. 
24.
 
x
y
y
x
y

 

; 
1
tg
1
1
y
y
x
y
x
x


 



. 
25.
 
3
2
2
2
3
2
2
y
yx
xy
y
x

 

; 
3
2
4
x y
y
x
 

. 
26.
 
2
2
(
)
2
0
y
xy dx
x dy



; 
2
3
2
2
x y
y
xy
 

. 
27.
 
(
4 )
0
x
y y
y


 
; 
/
ln
y x
y
y
e
x
x
  
. 
28.
 
(
2 )
(2
)
y
x dy
y
x dx



; 
3
4
2
2
2(
1
)
x y
x y
x y
 
 
.

---

47
29.
 
2
2
(
)
x
x
y
y
y




; 
2
3
4
x y
y
xy
 

. 
30.
 
2
2
(
)
x
x
y
y
y




; 
2
3
x y
y
xy
 

. 
31.
 
sin
sin
0
(
)
y
y
x
dx
x
y
dy
x
x



; 
5
6
.
7
6
x
y
y
x
y


 
 
32.
 
ctg
y
xy
y
x
  
; 
2
1
.
2
2
x
y
y
x
 
 

33.
 
(
)
(2
)
x
y dy
x
y dx



; 
2
3
4
x y
y
xy
 

. 
34.
 
(2
3 )
(
)
y
x dy
y
x dx



; 
5
3
6
6
4
xy y
x
y
 

.
35.
 
(
)arctg
y
xy
y
x
x
 

; 
6
6
.
5
4
9
y
y
x
y

 


36.
 
2
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
y
xy
x


 


; 
2
3
3
2
x y
y
xy
 

. 
37.
 
3
4
4
3
(2
)
2
xy
x
y
y
x y




; 
(
3)
1
x
y
y
x
y

 
  
. 
38.
 
2
2
(4
)
0
xydx
y
x dy



; 
2
4
(4
)
2
x
y
y
xy



. 
39.
 
sin
y
xy
y
x
  
; 
6
7
.
8
7
x
y
y
x
y


 
 
40.
 
(
2 )
(2
)
0
x
y dx
x
y dy




; 
2
2
tg
1
1
y
y
x
y
x
x


 



.
II. 
Matematik modeli o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli differensial 
tenglamalar bilan ifodalanuvchi masalalardan namunalar keltiring. 
4. BIRINCHI TARTIBLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR 
Maqsad
– birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni hamda 
ularga keltiriluvchi tenglamalarni yechishni o‘rganish 
Yordamchi ma’lumotlar: 
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
deb 
( )
( )
y
p x y
q x
 

(1) 
ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi; bunda
( )
p x
va 
( )
q x
funksiyalari 
( )
C I

. 
Tushunarliki, 
( )
( )
( ), ( )
0,
r x y
p x y
q x r x
 


ko‘rinishdagi tenglama 
ham (1) ko‘rinishga keladi. 
Ushbu
( )
0
y
p x y
 

(2) 
tenglama (1) ga mos bir jinsli differensial tenglama deyiladi. 

---

48
Jumla
.
Bir jinsli tenglama (2) ning har qanday yechimi 
0
( )
x
x
p s ds
y
c e

 

(3) 
formula bilan beriladi; bunda 
0
x
I

− tayinlangan, 
x
I

− o‘zgaruvchi 
nuqtalar, 
c

ixtiyoriy o‘zgarmas 
0
(
( ))
c
y x

. 
Chiziqli tenglama (1) ni yechishning uch usulini keltiramiz. 
1. Lagranj usuli.
(1) ga mos bir jinsli tenglama yechimidagi ixtiyoriy 
o‘zgarmasni variyatsiyalab (o‘zgaruvchi deb qarab) (1) ning yechimini 
izlaymiz, ya’ni uning yechimini 
0
( )
( )
x
x
p s ds
y
c x e



(4) 
ko‘rinishda izlaymiz bunda 
( )
c x
hozircha noma’lum funksiya. (4) ni (1) ga 
qo‘yib uning qanoatlanishi shartidan 
( )
c x
ga nisbatan tenglama hosil qilamiz: 
0
0
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
x
x
x
x
p s ds
p s ds
c x e
p x c x e
q x






 







yoki 
0
0
0
( )
( )
( )
( )
( )
(
( ))
( ) ( )
( )
x
x
x
x
x
x
p s ds
p s ds
p s ds
c x e
c x e
p x
p x c x e
q x





 





, 
ya’ni 
0
( )
( )
( )
x
x
p s ds
c x e
q x




. 
Oxirgi tenglamadan dastlab 
( )
c x

ni, so‘ngra esa 
( )
c x
ni topamiz: 
0
( )
( )
( )
x
x
p s ds
c x
q x e



,
0
0
( )
0
( )
(
)
( )
t
x
p s ds
x
x
c x
c x
q t e
dt




(5) 
bu yerda 
0
(
)
c x

ixtiyoriy o‘zgarmas; biz uni 
c
harfi bilan belgilaymiz:
0
(
)
c
c x

(5) ni (4) ga qo‘yib (1) ning barcha yechimlarini (umumiy yechimini 
ifodalovchi formulani) topamiz: 
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
t
x
x
x
x
x
p s ds
p s ds
p s ds
x
x
y
ce
e
q t e
dt









(6) 
(1) tenglamaning umumiy yechimini beruvchi (6) formuladagi birinchi 
qo‘shiluvchi mos bir jinsli tenglama (2) ning umumiy yechimidan, ikkinchi 
qo‘shiluvchi esa (1) ning xususiy (aniqrog‘i 
0
x
x

da nolga aylanuvchi) 
yechimidan iborat.

---

49
2. Eyler-Bernulli usuli.
(1) tenglamaning yechimini
y
u v
 
ko‘rinishda 
izlaymiz; bunda 
( )
u
u x

va 
( )
v
v x

hozircha noma’lum funksiyalar. Biz 
ularni shunday tanlaymizki, natijada 
y
u v
 
funksiya (1) ni qanoatlantirsin. 
Quyidagilarga egamiz: 
(
)
( )
( ),
uv
p x uv
q x
 

( )
( ),
u v
uv
p x uv
q x





(
( ) )
( )
u
p x u v
uv
q x





. (7) 
Endi 
u
ni ushbu 
( )
0
u
p x u
 

(8) 
shartdan tanlaymiz. U holda (7) dan 
( )
uv
q x
 
(9) 
bo‘lishi kerakligini topamiz. (8) tenglamaning ushbu 
0
( )
x
x
p s ds
u
e



(10) 
yechimini olaylik. U holda (9) ga ko‘ra 
0
( )
( )
x
x
p s ds
e
v
q x


 

, ya’ni
0
( )
( )
x
x
p s ds
v
q x e
 

bo‘lishini topamiz. Bundan 
0
0
( )
( )
.
x
t
p s ds
x
x
v
c
q t e
dt
 


(11) 
Endi (10) va (11) ga ko‘ra (1) ning
y
u v
 
yechimini topamiz. Bunda yana (6) 
formula hosil bo‘ladi. 
3. Integrallovchi ko‘paytuvchi usuli. 
(1) tenglamani integrallovchi 
ko‘paytuvchi deb ataluvchi ushbu 
0
( )
( )
x
x
p s ds
x
e



(12) 
funksiyaga ko‘paytiramiz. Quyidagilarga ega bo‘lamiz: 
0
0
0
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
x
p s ds
p s ds
p s ds
y e
p x e
y
q x e


 



;
0
0
( )
( )
( )
x
x
x
x
p s ds
p s ds
ye
q x e




 






; 
0
0
0
( )
( )
( )
x
x
x
t
p s ds
p s ds
x
x
ye
c
q t e
dt
 



;
0
0
0
( )
( )
( )
( )
.
x
x
x
x
x
o
t
p s ds
p s ds
p s ds
x
x
y
ce
e
q t e
dt









Yana (6) formula bilan ifodalangan yechimni hosil qildik. 
Ba’zi tenglamalar chiziqli bo‘lmasada, ulardagi