|
2
,
(0) 1 2
/
t
x dx
dt x
.
31.
2
(1
)
0,
(1) 1
ydx
x dy
y
.
32.
1
0,
(0)
0
x
ydx
e ydy
y
.
33
33.
sin
ln
0, (
/ 2)
1
yx
x
y
y
y
.
34.
sin(
1) ,
(0)
1
y
x
y
y
.
35.
3
1, (2)
1
y
x
y
y
.
36.
(
1)(2
1),
(0)
2
y
y
y
y
37.
4
(1
)
0,
(0) 1
ydy
x
y dx
y
.
38.
2
1
0,
(0)
1
dy
x
y
y
dx
.
39.
2
2,
(0)
0
u
x
u
u
.
40.
2
tg
0,
/ 4
1
y
x dx
dy
y
.
II.
Matematik modeli o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial
tenglamalar bilan ifodalanuvchi masalalardan namunalar keltiring.
3. O‘ZGARUVCHILARIGA NISBATAN BIR JINSLI
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Maqsad
– o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va unga keltiriluvchi
differensial tenglamalarni yechishni o‘rganish
Yordamchi ma’lumotlar:
1
0
.
Ushbu
( , )
y
f x y
(1)
ko‘rinishdagi differensial tenglama berilgan bo‘lsin; bunda
( )
f
C D
2
(
dagi
D
soha). Agar
( , )
f x y
funksiyani bir o‘zgaruvchining biror
( )
g t
funksiyasi orqali
( , )
yoki
( , )
(
)
y
x
f x y
g
f x y
g
y
x
(2)
kabi ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda (1) tenglama
o‘zgaruvchilariga
nisbatan bir jinsli differensial tenglama
deyiladi. Shunday qilib, bir jinsli
tenglama
y
y
g
x
yoki
(
)
x
y
g
y
(3)
ko‘rinishga keltiriladi.
Masalan,
2
2
( , )
xy
f x y
x
y
funksiyani (2) ko‘rinishda tasvirlash mumkin:
2
2
2
2
2
2
2
2
( , )
,
( )
1
1
xy
y
xy
y
t
x
x
f x y
g
g t
x
x
y
x
y
t
y
x
x
.
34
Bir jinsli tenglama (3) ni yechish uchun
,
y
u y
xu
x
deb yangi
( )
u
u x
noma’lum funksiyani kiritamiz. Natijada o‘zgaruvchilari ajraladigan
tenglamaga kelamiz:
(
)
,
y
xu
x u
xu
u
xu
( ),
u
xu
g u
( ( )
)
xdu
g u
u dx
,
( )
du
dx
g u
u
x
.
Oxirgi tenglamani integrallab, va dastlabki
y
xu
noma’lumga qaytib, (3)
tenglamaning bir parametrli yechimlar oilasini hosil qilamiz:
1
( )
ln
ln
,
u
x
c
bunda
1
( )
,
0.
( )
du
u
c
g u
u
Bundan
1
( )
u
x c
e
yoki
( )
(
0).
y
x
xc
c
e
(3) tenglamani yechish jarayonida
( )
0
g u
u
tenglamadan topiladigan
yechimlar yo‘qolishi mumkin. Bu holni alohida tekshirish lozim.
Misol 1.
Ushbu
2
2
(
)
2
0
x
y dy
xydx
(4)
tenglamani yeching.
Berilgan tenglama o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinslidir, chunki u
2
2
2
xy
y
x
y
yoki
2
2
1
y
x
y
y
x
(5)
ko‘rinishda yoziladi. Yuqorida aytilgan
,
y
u
y
xu
x
almashtirishni
bajaramiz.
y
u
xu
bo‘lgani uchun (5) tenglamani
2
2
1
u
u
xu
u
,
3
2
1
u
u
xu
u
ko‘rinishga keltiramiz. Oxirgi tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratamiz va
integrallashlarni bajaramiz:
2
2
1
(1
)
u
dx
du
x
u
u
,
2
1
1
2
1
ln
(
0)
(1
)
u
dx
du
c
c
x
u
u
(6)
35
Endi
2
2
1
(1
)
u
du
u
u
integralni hisoblaymiz. Integral ostidagi funksiyani sodda
kasrlar yig‘indisi sifatida tasvirlaymiz va integrallashlarni bajaramiz:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
(1
)
1
1
(1
)
ln
ln
ln(1
).
1
u
u
du
udu
du
du
u
u
u
u
u
u
d
u
u
u
u
u
Demak, (6) tenglik
2
1
ln
ln(1
)
ln
ln
u
u
x
c
yoki
2
1
(1
)
x
u
u c
yoki
2
(1
)
(
0)
x
u
uc
c
ko‘rinishni oladi. Bu yerda
y
u
x
deb eski noma’lumga qaytamiz:
2
2
1
y
y
x
c
x
x
yoki
2
2
.
x
y
cy
(7)
Biz (6) tenglamani
2
(1
)
u
u
ga bo‘lganda
0,
u
ya’ni (4) ning
0
y
yechim
yo‘qolgan bo‘lishi mumkin edi. Bu yechim (7) formuladan
c
ning hech qanday
qiymatida hosil bo‘lmaydi. Lekin, agar (7) dagi
c
ni
1
c
bilan almashtirib, uni
2
2
(
)
y
c x
y
ko‘rinishda yozsak, barcha yechimlarni ifodalagan bo‘lamiz.
Javob:
2
2
(
),
y
c x
y
c
ixtiyoriy o‘zgarmas.
Misol 2.
Ushbu
(2
ln
ln )
yy
x
y
x
tenglamani yeching.
Tenglama
(1)
(birinchi chorak) da berilgan. Uni
2 ln
(
0,
0)
x
y
y
x
y
y
x
ko‘rinishda yozib, bir jinsli tenglama ekanligini ko‘ramiz.
Tenglamada
,
,
y
u
y
xu
y
u
xu
x
deb, zaruriy ixchamlashlarni
bajaramiz va ushbu
2
2
ln
(
0,
0)
u
u
xu
x
u
u
(8)
o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelamiz.
36
2
2
ln
0
u
u
tenglama ikkita
1
u
va
2
u
1
2
(
)
u
u
yechimlarga ega. Bu
tasdiq
2
2
w
u
va
ln
w
u
funksiyalar grafiklarining ikkita nuqtada kesishi-
shidan kelib chiqadi (grafiklarni quring). Hisoblashlar
1
2
0,138,
1,564
u
u
ekanligini ko‘rsatadi. Ravshanki, (8) differensial tenglama
1
u
u
va
2
u
u
o‘zgarmas yechimlarga ega. Boshqa yechimlarni topish uchun (8) tenglamada
o‘zgaruvchilarni ajratamiz va integrallashlarni bajaramiz. Ushbu
2
( )
2 ln
udu
u
u u
belgilashni kiritib ( ( )
u
elementar funksiya emas), yechimlarni
( )
ln
ln
(
0)
u
x
c
c
oshkormas ko‘rinishda ifodalaymiz. Bu yerda dastlabki noma’lum
y
ga qaytib,
berilgan
(2
ln
ln )
yy
x
y
x
differensial
tenglamaning
oshkormas
ko‘rinish-dagi yechimlarini hosil qilamiz:
ln
ln
(
0)
( )
y
x
c
c
x
.
Bundan tashqari, berilgan tenglama
1
y
u x
va
2
y
u x
yechimlarga ham ega.
Izoh
. kiritilgan
( )
u
funksiya (8) differensial tenglamaning uchta
yechimi-ni aniqlaydi. Ular mos ravishda
1
1
2
2
0
,
,
u
u
u
u
u
u
u
intervallarida aniqlangan bo‘ladi.
2
0
.
Bir jinsli tenglama almashtirishidan foydalanib yechiladigan
tenglamalar
Ushbu
( )
( )
y
y
y
g
h x
x
x
ko‘rinishdagi tenglama o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli bo‘lmasada, uni
ham
,
( ) ,
y
xu u
u x
almashtirish yordamida ushbu
( ) ( )
xu
g u h x
o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirib yechish mumkin.
Misol 3.
Differensial tenglamani yeching
2
/
y x
xy
y
x e
.
Bu tenglamani
/
y x
y
y
x
x
e
ko‘rinishda yozib,
,
( ) ,
y
xu u
u x
almashtirishni bajarish kerakligini
ko‘ramiz. Yangi
( )
u
u x
noma’lum funksiyaga nisbatan ushbu
u
u
e
37
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratamiz va
inegrallashni bajarib, topamiz:
ln(
)
u
c
x
.
Buni
y
xu
almashtirish formulasiga qo‘yib, izlangan yechimlarni topamiz:
ln(
)
y
x
c
x
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
