Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

3
0
. 
Bir jinsli tenglamaga keltiriluvchi tenglamalar
 
Ushbu
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
( , , ,
,
,
const)
a x
b y
c
y
g
a b c a b c
a x
b y
c




 







(9)
ko‘rinishdagi tenglama, agar
1 2
2 1
0
a b
a b


bo‘lsa, bir jinsli tenglamaga 
keltiriladi. Buning uchun 
,
x
y
 
 
 
 
deb, 

va

o‘zgarmaslarni 
shunday tanlash kerakki, natijada (8) tenglamaning o‘ng tomoni 
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
,
( )
,
a
b
a
b
a
b t
g
g
h
h t
g
a
b
a
b t
a
b





















 









 


 











ko‘rinishini olsin; bunda 

va 

lar uchun ushbu 
1
1
1
2
2
2
0
0
a
b
c
a
b
c





 






tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu holda 
dy
d
y
dx
d


 

bo‘lgani uchun berilgan tenglama 
d
h
d




 
  
 
ko‘rinishdagi bir jinsli tenglamaga keladi. 
Agar 
1 2
2 1
0
a b
a b


bo‘lsa, u holda 
1
1
2
2
a
b
k
a
b


, 
1
1
2
2
(
)
a x b y
k a x b y



va (9) tenglama 
2
2
z
a x b y


almashtirish yordamida quyidagi o‘zgaruvchilari 
ajraladigan tenglamaga keltiriladi: 
1
2
2
2
.
kz
c
dz
a
b g
dx
z
c











---

38
Eslatma. (9) tenglama 
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
u
a x
b y
c





almashtirish bilan to‘g‘ridan-
to‘g‘ri o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirilishi mumkin. 
Misol 4.
Ushbu 
(
1)
(2
4)
0
x
y
dy
x
y
dx
 

 

tenglamani yeching. 

Berilgan tenglamani
2
4
1
x
y
y
x
y
 
 
 
(10) 
ko‘rinishda yozaylik. Bizda 
1
1
1
2
2
2
2,
1,
4,
1,
1,
1,
a
b
c
a
b
c


 

 

1 2
2 1
3 0
a b
a b

  
va 
,
x
y
 
 
 
 
almashtirishda 
1
(
1)
x
y
   
    
 
2
4
2
(2
4)
x
y
 
 
  
 
 
bo‘ladi. Biz 

va 

larni ushbu 
1
0
2
4
0
 
 
  


  

shartlardan tanlaymiz. Oxirgi sistemani yechib 
1,
2




ekanligini 
topamiz. Shunday qilib, 
1,
2
dy
d
x
y
dx
d






 
 





almashtirishda (10) tenglama 
2
d
d

 

 



yoki
2
1
d
d









(11) 
ko‘rinishga (bir jinsli tenglamaga)keladi. Endi (11) tenglamada 
,
,
d
du
u
u
u
d
d










 
deymiz. U holda 
2
1
du
u
u
d
u






yoki
2
2
1
du
u
d
u





tenglama hosil bo‘ladi. Oxirgi tenglamani o‘zgaruvchilarni ajratib 
integrallaymiz
2
1
2
u
d
du
u





,
2
1
ln
(
0)
2
u
d
du
c
c
u










---

39
2
1
1
arctg
ln(2
)
ln
ln
(
0)
2
2
2
u
u
c
c








2
1
arctg
ln
2
(
0)
2
2
u
u
c
c



 

2
1
exp
arctg
2
(
0)
2
2
(
)
u
u
c
c





Oxirgi tenglikda eski o‘zgaruvchilarga qaytib, berilgan tenglamaning 
oshkormas ko‘rinishdagi yechimlarini hosil qilamiz: 
2
2
1
2
exp
arctg
2(
1)
(
2)
(
0)
2
2(
1)
(
)
y
c
x
y
c
x







. 

Misol 5.
Ushbu 
2
1
4
2
3
x
y
y
x
y
 
 


tenglamani yeching. 

Qaralayotgan tenglama uchun 
1
1
2,
1,
a
b


2
2
4,
2
a
b


va 
1 2
2 1
0,
a b
a b


ya’ni 
4
2
x
y

ifoda 
2
x
y

ga 
proporsional: 
4
2
2(2
)
x
y
x
y



Shuning uchun 
2
z
x
y


deymiz. U holda 
2
z
y


 
va 
demak, berilgan tenglama 
1
2
2
3
z
z
z

  

yoki
5(
1)
2
3
z
z
z

 

ko‘rinishga keladi. Oxirgi tenglamani o‘zgaruvchilarni ajratib integrallaymiz: 
2
3
5(
1)
z
dz
dx
z



, 
1
1
2
3
ln
(
0)
5(
1)
z
dz
dx
c
c
z







Bu yerda integrallashlarni bajaramiz, eski o‘zgaruvchilarga qaytamiz va kerakli 
ixchamlashtirishlardan so‘ng berilgan tenglamaning oshkormas ko‘rinishdagi 
yechimlarini hosil qilamiz: 
2
(2
1)
x
y
e
x
y
c

  
. 

4
0
. Umumlashgan bir jinsli tenglamalar 
Ba’zi tenglamalarni 
y
z


yoki 
y
z

 
almashtirish yordamida bir jinsli 
tenglamaga keltirish mumkin. Bunday tenglamalar 
umumlashgan bir jinsli 
tenglamalar 
deyiladi. Masalan,
(
)
y
y
y
g
x
x

 
ko‘rinishdagi tenglama umumlashgan bir jinsli. 

---

40
Izoh.
y
x u


almashtirish umumlashgan bir jinsli tenglamani 
to‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga olib keladi. 
Misol 6. 
Ushbu 
4
2
y
y
x
 

differensial tenglamani yeching. 

Bu tenglama bir jinsli emas. Tenglamada
y
z


almashtirish 
bajaraylik: 
1
2
4
2 ,
z
z
z
x




 

2
1
4
2
.
z
x
z
z





 
Tushunarliki, agar 
1
1
2


  
, ya’ni
2


bo‘lsa, oxirgi tenglama bir 
jinsli bo‘ladi. Shunday qilib,
2
y
z

almashtirish natijasida ushbu 
2
z
x
z
z

 
yoki 
2
x
z
z
  
bir jinsli tenglamaga kelamiz. Oxirgi tenglamada 
z
x u
 
deymiz va 
1
2
u
xu
u


 
yoki 
2
(
1)
u
xu
u

  
tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratamiz, 
integrallashlarni bajaramiz va 
y
noma’lumga qaytamiz: 
2
(
1)
(
1)
udu
dx
u
x
u
 


,
2
(
1)
udu
dx
x
u
 



, 
1
1
ln
1
ln
ln
1
u
x
c
u
 
 


,
1
1
1
1
u
u
x c
e

   
, 
1
1
(
1)
(
)
u
z
u
xc
e
u
x




,
1
1
1
exp
(
)
(
)
/
(
)
(
)
z
z
xc
z
y
x
x




, 
exp
.
(
)
(
)
x
y
x c
y
x



(12) 
1
u

ga mos keluvchi 
,
z
x

ya’ni yo‘qolgan 
2
y
x

yechim (12) dan 
c
ning 
hech qanday qiymatida hosil bo‘lmaydi.
Javob:
2
,
exp
(
)
(
)
x
y
x
y
x c
y
x




. 

Matematik modellari o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli birinchi 
tartibli differensial tenglamalar orqali ifodalanuvchi masalalardan namunalar 
keltiraylik. 

---

41
Misol 7.
Havo shariga cho‘zilmas va vaznsiz ip bilan osilgan 
m
massali 
yuk 
0
v
tezlik bilan yerga tushib kelmoqda. Havoning sharga ta’sir etuvchi 
qarshilik kuchi tezlikning kvadratiga va shar sirti yuzasiga to‘g‘ri proporsional. 
0
t
payt shar teshiladi va uning sirt yuzasi 
0
2
0
(
)
S
S
t
t


qonunga ko‘ra kamaya 
boshlaydi (shar sirtining sferaligi saqlanadi). Shar teshilgandan so‘ng yuk 
tezligi 
v
ning o‘zgarish qonunini toping. Havoning yukka ta’sir (qarshilik) 
kuchini, sharning massasini va unga ta’sir etuvchi Arximed ko‘tarish kuchini 
hisobga olmang.

Masalaning shartiga ko‘ra sharga havoning qarshilik kuchi 
2
(
const
0)
q
F
kSv
k



(yuqoriga yo‘nalgan) va ipning taranglik kuchi 
T
(pastga yo‘nalgan) ta’sir etadi (3.1- rasm).
3.1- rasm. Havo shari va yukka ta’sir etuvchi kuchlar. 
Sharning massasi nolga teng bo‘lganligi sababli Nyutonning ikkinchi 
qonuniga ko‘ra 
q
T
F

. Ip cho‘zilmas va vaznsiz bo‘lgani uchun u shu 
q
T
F

kuch bilan yukni yuqoriga tortadi. Yukka uning og‘irligi 
mg
(yerning tortish 
kuchi) ham ta’sir etadi. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra
2
dv
m
mg
kSv
dt


yoki 
2
0
2
0
(
)
S
dv
m
mg
k
v
dt
t
t



. 
Boshlang‘ich shart 
0
0
t
v
v


. Oxirgi tenglamada 
0
t
t

 
desak, ushbu
2
0
2
kS
dv
v
g
d
m


 
o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli tenglamaga kelamiz. Uni yechish uchun 
v
u


deb yangi 
u
noma’lum funksiyani kiritamiz. Quyidagi o‘zgaruvchilari 
ajraladigan tenglama hosil bo‘ladi: 
2
0
kS
du
g
u
u
d
m


  
. 
Bu tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratamiz va 
0
0
0
/
u
v t



boshlang‘ich shartni

---

42
hisobga olib uni yechamiz. Natijada 
0
,
v
u
t
t
 

 
formulalar bilan 
v
ga 
qaytamiz va izlangan qonuniyatni topamiz:
0
0
0
(
)
2
1
2
(
)
1
m t
t
v
kS
c t
t







 






. 
Bu yerda
0
0 0
0
0 0
0
0
4
2
(
1)
1
1
,
2
(
1)
kS g
kS v
mt
c
m
kS v
mt
t










