Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

2
0
. 
O‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriluvchi tenglamalar.
 
Ushbu
(
)
(
0)
y
f ax
by
c
b
 



ko‘rinishdagi tenglama 
u
ax by
c



formula bilan yangi 
( )
u
u x

noma’lum 
funksiyani kiritish yordamida o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga 
keltiriladi: 
,
( ).
u
ax
by
c
u
a
by
u
a
bf u






 

 
Misol 4.
Ushbu 
4
1
y
x
y
 


tenglamani yeching. 

4
1
u
x
y
 

deb, yangi 
( )
u
u x

noma’lum funksiyani kiritamiz. U 
holda 
1 4
u
y


 
va berilgan tenglama 
1
4
u
u
  
, ya’ni 
4
1
u
u
 

ko‘rinishga keladi. Bundan
4
1
du
dx
u


(yechim yo‘qolmaydi, chunki 
0 да 4
1 1 0
u
u

  
), yoki 
4
1
du
x
c
u
 


. (6) 
Bu yerdagi integralni hisoblash uchun 
2
(
0),
u
t t
u
t



almashtirishni 
bajaramiz. U holda 
2
du
tdt

va
2
1
4
1 4
1 1
1
1
1
1
ln(4
1)
4
1
2 4
1
2
4
1
2
2 4
1
2
8
4
1
1
1
ln(4
1).
2
8
du
tdt
tdt
t
dt
dt
dt
t
t
t
t
t
t
u
u
u
 







 














Demak, (6) ga ko‘ra 
1
1
ln(4
1)
2
8
u
u
x c

  
. 
Bu yerda 
y
noma’lumga 
4
1
u
x
y
 

formulaga ko‘ra qaytib, berilgan 
tenglamaning oshkormas ko‘rinishdagi yechimlarini hosil qilamiz: 
4
1
4
1
ln(
1)
8
.
4
4
x
y
x
y
x
c





 

Yechimning 
32, 26, 20,14,8, 2, 4, 10, 16,
c

 

bo‘lgandagi 
grafiklari 
(chapdan o‘ngga) 2.2- rasmda keltirilgan. Yechimlar grafigi 
4
1
0
x
y

 
yarim tekislikda joylashadi. 


---

25
2.2- rasm. Misol 4 dagi tenglamaning yechimlari. 
Endi o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamalarga keltiriluvchi ayrim 
amaliy masalalar bilan tanishaylik. 
Misol 5.
Choyning sovishi.
Issiq modda sovuq xonaga kiritilganda, 
modda o‘zidagi issiqlikni tashqi muhitga bera boshlaydi va, demak, uning 
temperaturasi (harorati) kamayadi. 
T
(
t
) bilan moddaning 
t
paytdagi 
temperaturasini 
T
0
bilan tashqi muhitning temperaturasini belgilasak, u holda 
sovish uchun Nyuton qonuniga ko‘ra predmet temperaturasining kamayish 
tezligi tashqi muhit va predmet temperaturalari farqiga to‘g‘ri proporsional: 
0
(
)
(
0)
dT
k T
T
k
dt
 


. (7) 
0
T

const deb faraz qilamiz. U holda (2) 

o‘zgaruvchilari ajraladigan 
tenglama. 
0
T
T

(xona moddaga qaraganda sovuq) bo‘lgani uchun 
0
dT
dt

va, 
demak, vaqt o‘tishi bilan modda temperaturasi kamayadi. (7) tenglamada 
o‘zgaruvchilarni ajratamiz va zarur integrallashlarni bajarib, uning umumiy 
yechimini topamiz: 
0
kt
T
T
сe



. 
Bu yerdagi 
k
sovish konstantasi deb ataladi. Konkret misol qarab chiqaylik.
Misol.
Temperaturasi 
60
C
bo‘lgan bir piyola choy temperaturasi 
20
C
bo‘lgan xonaga qo‘yildi. 5 minutdan so‘ng choyning temperaturasi 
50
C
ga 
tushdi. Qancha vaqtdan so‘ng choy temperaturasi 
30
C
bo‘ladi? 

Choyning sovishi Nyutonning qonuniga bo‘yso‘nadi deb faraz 
qilamiz. U holda choyning 
t
paytdagi temperaturasi yuqoridagiga ko‘ra 

---

26
0
0
( )
,
20
kt
T t
T
сe
T
C




formula bilan aniqlanadi.(
t
-minutlarda o‘lchanadi). 
Vaqtni choy xonaga qo‘yilgan paytdan boshlab hisoblaymiz. U holda 
(0)
60
T
C

bo‘ladi. Bu shartdan 
(0)
60
20
40
T
c
c


  
. 
Demak, ( )
20 40
kt
T t
e



. (5)
50
T
C

bo‘lgani uchun sovish konstantasi 
k
ni 
topish mumkin: 
5
1
4
(5)
50
20 40
ln
5
3
k
T
e
k
 



 
. 
Demak, 
1
4
ln
5
3
( )
20 40
t
T t
e









. 
Shunday qilib, choy xonaga qo‘yilgandan so‘ng 
t
vaqt o‘tgach, uning 
temperaturasi ( )
30
T t
C

bo‘lishini aniqlash uchun 
1
4
ln
5
3
20 40
30
t
e









tenglamadan 
t
ni topish kerak.
Oxirgi tenglamani yechib, 
5 ln 4 (ln 4 ln 3)
24
/
t
 


minut ekanligini topamiz.
Shunday qilib, choy 5 minut ichida 
60
C
dan 
50
C
gacha sovigandan 
so‘ng uning temperaturasi 
30
C
gacha tushishi uchun yana 24 - 5 =19 minut 
kutish kerak. 

Misol 6.
Parashutchi tezligini topish. 
Samolyotdan (tayoradan) sakragan 
Parashutchi tezligi 
v
0
ga yetgandan so‘ng Parashutini ochdi. Havoning 
Parashutchi harakatiga qarshilik kuchi Parashutchining tezligi 
v
ga to‘g‘ri 
proporsional deb hisoblab, Parashutchi tezligining o‘zgarish qonunini toping.

Parashutchiga havoning yuqoriga yo‘nalgan 
q
F
kv

– qarshilik kuchi
(
0
k
 
proporsionallik koeffitsienti) va pastga yo‘nalgan 
P
= 
mg
– og‘irlik 
kuchi ta’sir etadi (
m
– Parashutchi massasi, 
g

erkin tushish tezlanishi). 
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra 
q
ma
P
F
 
yoki 
ma
mg
kv


, 
bu yerda 
dv
a
dt

– Parashutchining tezlanishi. Demak, Parashutchining harakat 
tenglamasi 
,
dv
k
g
Bv B
dt
m
 

. 
Bu tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratamiz va integrallashlarni bajaramiz: 

---

27
dv
dt
g
Bv




,
1
1
ln
g
Bv
t
с
B


 
,
Bt
g
Bv
сe



. 
0
(0)
v
v

bo‘lishi uchun 
0
g
Bv
с


bo‘lishi kerak. Demak,
0
(
)
Bt
g
Bv
g
Bv e




,
0
1
1
Bt
g
B
v
v
e
B
g






 








,
0
1
1
k
t
m
mg
k
v
v
e
k
mg
















. 
Vaqt o‘tishi bilan 
( )
v
v t

tezlik o‘zgarmas 
mg
k
limit tezlikka intiladi: 
lim ( )
t
mg
v t
k


. Bu intilish eksponensial tezlik bilan bo‘ladi. Bundan tashqari, 
limit tezlik boshlang‘ich tezlik 
v
0
ga bog‘liq emas. 
Agar 
g
= 0,98 m/s
2
, 
m
= 70 kg, 
k

110 kg/s bo‘lsa, Parashutchining limit 
tezligi 
6, 2
mg
k

m/s bo‘ladi. Bu tezlik bilan yerga urilish Parashutchi uchun 
xavfsiz. 

Misol 7.
Aholining ko‘payishi.
Aholining ko‘payishini o‘rganish katta 
amaliy ahamiyatga ega. 
t 
paytdagi aholining sonini 
( )
N t
bilan belgilaylik. Biz 
( )
N
N t

funksiyani uzluksiz differensiallanuvchi deb faraz qilamiz. Aslida u 
faqat butun qiymatlar qabul qiladi va uzluksiz emas. Lekin katta 
N
lar uchun 
biz uni silliq funksiya deb hisoblashimiz mumkin. 
Aholining 
dN
dt
o‘sish tezligi tug‘ilish tezligi bilan o‘lish tezligining 
ayirmasiga teng. Umumiy holda bu tezliklar qaralayotgan payt va shu paytdagi 
aholining soniga bog‘liq. Tug‘ilish tezligini mavjud aholi soni 
N
ga to‘g‘ri 
proporsional, o‘lish tezligini esa 
N
2
ga to‘g‘ri proporsional deb hisoblaymiz 
(katta 
N
larda o‘lish tezligi tug‘ilish tezligidan ortiq bo‘ladi). Demak, bizning 
farazlarimizga ko‘ra aholi sonining o‘zgarishi ushbu 
2
dN
aN
bN
dt


(8) 
differensial tenglama bilan ifodalanadi. Bu yerda 
a
va 
b
lar — musbat 
konstantalar, (8) o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani 
0
(0)
N
N

boshlang‘ich 
shartda yechishimiz kerak. Tushunarliki, agar aholining dastlabki soni 
0
/
N
a b

bo‘lsa, 
( )
/
N t
a b

o‘zgarmas funksiya tenglamaning yechimi bo‘ladi (vaqt 
o‘tishi bilan aholi soni o‘zgarmaydi). Endi faraz qilaylik, 
0
(0)
/
N
N
a b



---

28
bo‘lsin. U holda ( )
N t
yechim kichik 
t
lar uchun 
/
a b
ga teng bo‘lolmaydi. (1) 
tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratamiz, integrallashni va soddalashtirishlarni 
bajaramiz: 
(
)
dN
dt
N a bN


,
1
b
dN
dN
dt
a a bN
a N



,
0
0
0
0
0
1
N
N
t
b
dN
dN
dt
a
a bN
a
N






, 
0
0
ln
ln
N
N
at
a
bN
a
bN




,
0
0
at
N
N
e
a bN
a bN



, 
0
0
0
,
(
)
/
cheg
cheg
at
cheg
N
N
N
N
a b
N
N
N e





. 
Topilgan bu yechimdan vaqt o‘tishi bilan aholining soni, agar 
0
(0)
cheg
N
N
N


bo‘lsa, ortib, 
0
(0)
cheg
N
N
N


bo‘lganda esa kamayib, 
cheg
N
ga yaqinlashishini ko‘ramiz:
( )
cheg
t
N t
N


( 2.3- rasm).
Jahon aholisi uchun 
a

0,3 va 
b

3

10
- 1 2
deyish mumkin. Bunda vaqt 
o‘tishi bilan jahon aholisining soni 10
1 1
(yuz milliard) kishiga yaqinlashadi 
(albatta, agar bizning farazlarimiz to‘g‘ri bo‘lsa!). 

2.3-rasm. Aholi sonining o‘zgarishi. 
Misol 8
(kimyoviy). Faraz qilaylik, 
A
va 
B
moddalardan 
C
moddaning 
hosil bo‘lishi ushbu
2
2
A
B
C
 
kimyoviy reaksiya tenglamasi bilan ifodalansin. Kimyoviy reaksiya tezligi 
C
moddaning hosil bo‘lish tezligini xaraterlaydi va temperatura o‘zgarmas 
bo‘lganda bu tezlik massalar qonuniga ko‘ra reaksiyaga kiruvchi 
A
va 
B
moddalar konsentratsiyalari ko‘paytmasiga to‘g‘ri proporsional bo‘ladi. 
Moddaning konsentratsiyasi uning molekulalari soni bilan aniqlanadi. Reaksiya 
tenglamasidan ravshanki, 
C
moddaning 
( )
x
x t

dona molekulasi hosil bo‘lishi 
uchun 
A
moddaning 
x
ta molekulasi 
B
moddaning esa 
/ 2
x
ta molekulasi 

---

29
kerak. Aytaylik, 
0
t

paytda 
A
va 
B
moddalarning konsentratsiyalari mos 
ravishda 
a
va 
b
(
0,
0)
a
b


, 
C
moddaning konsentratsiyasi esa 
(0)
0
x

bo‘lsin. 
t
paytdagi reaksiya tezligi 
dx
dt
shu paytdagi 
A
va 
B
moddalarning 
a
x

va 
2
/
b
x

konsentratsiyalari ko‘paytmasiga to‘g‘ri proporsional, ya’ni
 
(
)
2
dx
x
k a
x b
dt



; (9) 
bu yerdagi 
const
0
k


proporsionallik koeffitsienti reaksiya tezligi 
konstantasi deb ataladi. Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani yechamiz. 
Dastlab 
2
a
b

deb faraz qilamiz. Quyidagilarni topamiz 
(
,
2 )
x
a x
b


: 
2
2
ln
ln
(
0)
2
b
x
kt
c c
a
x
b
a






, 
2
2
exp
(
0)
2
b
x
kt
c
c
a
x
b
a



 







. 
Bu yerdagi 
c
ga 
0
qiymat qabul qilishga “ruxsat” berib, yo‘qolgan 
2
x
b

yechimni hosil qilamiz. 
x
a

yechim ham bor. Barcha yechimlar quyidagicha


2
a
b

: 
2
2
,
2
1
t
t
b cae
k
x
b
a
ce








, va 
x
a

. 
Endi 
(0)
0
x

boshlang‘ich shartdan 
c
o‘zgarmasning qiymatini aniqlaymiz va 
x
ning o‘zgarish qonunini hosil qilamiz (
2
a
b

): 
1
2
2
t
t
e
x
ab
a
be





, 
2
2
k
b a



. 
Yechimni analiz qilaylik. Agar 
2
a
b

(
0)


bo‘lsa, 
t
 
da 
(reaksiya tugaganda) 
2
x
b

. Agar 
2
a
b

(
0)


bo‘lsa, 
t
 
da 
1
2
2
t
t
e
x
ab
a
be
a








. Demak, 
x
ning qiymati monoton ortadi va 
t
 
da 
max
min{ , 2 }
x
a b

ga intiladi. 
Endi 
2
a
b

holni qaraymiz. Bu holda (9) tenglama
2
(
)
2
dx
k
a
x
dt


ko‘rinishni oladi. Bu tenglamaning 
(0)
0
x

boshlang‘ich shartni qanoatlan-
tiruvchi yechimi 
2
2
a kt
x
akt


. 
t
 
da 
2
x
a
b
 
. 



---

30