|
1
0
.
( )
x
funksiya
(
;
)
da uzluksiz differensiallanuvchi, chunki
uning hosilasi
2
2
2
0
0
( )
(
cos
)
cos
cos
x
x
d
x
d
x
t dt
t dt
x
x
dx
dx
,
ravshanki,
(
;
)
da uzluksiz.
2
0
.
Endi
( )
y
x
bo‘lganda berilgan tenglamaning qanoatlanishiga ishonch
hosil qilamiz:
2
2
2
2
2
0
0
( )
( )
cos
cos
cos
cos
,
(
;
)
x
x
d
x
x
x
x
t dt
x
x
x
t dt
x
x x
dx
.
Shunday qilib, biz berilgan
( )
y
x
funksiya berilgan tenglamaning
(
;
)
da yechimi ekanligini ko‘rsatdik.
Misol 3.
Ushbu
|
1|
y
x
funksiya biror differensial tenglamaning
(0; 2)
oraliqda aniqlangan yechimi bo‘la oladimi?
Yo‘q, chunki berilgan
|
1|
y
x
funksiya
(0; 2)
intervalda uzluksiz
differensiallanuvchi emas (
1
(0; 2)
(
)
y
C
,
1
(0; 2)
x
nuqtada hosila mavjud
emas).
Misol 4.
2
2
y
x
funksiya
2
y
xy
y
tenglamaning biror
I
oraliqda
yechimi bo‘la oladimi?
Tushunarliki,
2
2
2 ,
1
( )
2
( )
y
x y
C
y
x
C
. Agar
berilgan funksiya berilgan tenglamani biror
I
da qanoatlantirsa,
2
2
2
2
(
2)
(
2) ,
,
x x
x
x
I
yoki
3
4
2
2
2
4
4,
,
x
x
x
x
x
I
ya’ni
4
3
2
4
2
2
0
x
x
x
x
tenglik barcha
x
I
lar uchun o‘rinli bo‘lishi kerak. Bunday bo‘la olmaydi,
chunki 4- darajali ko‘phad (oliy algebraning asosiy teoremasiga ko‘ra) ko‘pi
bilan to‘rtta nuqtada nolga aylanishi mumkin xolos; ixtiyoriy oraliqda esa
cheksiz ko‘p nuqtalar bor.
Demak, berilgan
2
2
y
x
funksiya berilgan
2
y
xy
y
differensial
tenglamaning hech qanday oraliqda yechimi bo‘la olmaydi.
14
Misol 5.
2
ln 1 (
)
y
x
c
funksiya
c
ning ixtiyoriy qiymatida
(
;
)
intervalda
2
2
y
y
y
e
tenglamaning yechimi ekanligini
isbotlang.
Dastlab berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini
hisoblaymiz (
const
c
):
2
2
2
2
1
2(
)
ln(1 (
)
(
)
1 (
)
1 (
)
x
c
y
x
c
x
c
x
c
x
c
,
2
2
2
2
2
2
2 1 (
)
2(
) 2(
)
2 1 (
)
1 (
)
1 (
)
x
c
x
c
x
c
x
c
y
x
c
x
c
;
(
,
)
y
C
.
Endi tenglamaning qanoatlanishini tekshiramiz. Berilgan tenglamaning chap
tomoni
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1 (
)
4(
)
2
2(
)
2
1 (
)
1 (
)
1 (
)
1 (
)
x
c
x
c
x
c
y
y
x
c
x
c
x
c
x
c
. (5)
Uning o‘ng tomoni
2
2
ln(1 (
) )
2
2
2
1 (
)
y
x c
e
e
x
c
. (6)
Demak, (5) va (6) tengliklarga ko‘ra
c
ning ixtiyoriy tayinlangan qiymatida
berilgan funksiya
(
;
)
intervalda berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Misol 6.
c
ning ixtiyoriy tayinlangan qiymatida
arctg(
)
y
x
y
c
tenglik aniqlovchi uzluksiz differensiallanuvchi
( )
y
y x
funksiya ushbu
2
(
)
1
x
y
y
tenglamaning yechimi bo‘lishini ko‘rsating.
Berilgan tenglik tayinlangan
c
da biror
1
( )
( )
y
x
C I
funksiyani
oshkormas ko‘rinishda aniqlasin (
(
;
)
I
, 1.1- rasm). U holda
( )
arctg(
( ))
,
,
x
x
x
c x
I
bo‘ladi. Oxirgi tenglikni
(
x
I
ga nisbatan ayniyatni)
x
bo‘yicha
differensiallaymiz:
2
1
( )
1
( ) ,
.
1
( )
(
)
x
x
x
I
x
x
Bundan
( )
x
ni topamiz:
2
1
( )
( )
1
( )
(
)
x
x
x
x
,
2
( ) 1
( )
,
/
x
x
x
x
I
.
Demak,
2
( )
( ) 1,
x
x
x
.
x
I
15
1.1-rasm.
arctg
y =
x + y + c
tenglama grafigi.
Shunday qilib,
(
,
)
I
oraliqda
arctg(
)
y
x
y
c
tenglama
bilan oshkormas ko‘rinishda berilgan
( )
y
x
funksiya shu
I
oraliqda
2
(
)
1
x
y
y
tenglamaning yechimi.
Misol 7.
Ushbu
2
1
0
(
x c
x
y
c
parametr
)
(7)
chiziqlar oilasi qanoatlantiruvchi differensial tenglamani tuzing.
Berilgan tenglikni
x
bo‘yicha differensiallaymiz (
( )
y
y x
):
2
1
0.
1
cx
y
x
(8)
Endi (7) va (8) tengliklardan
c
ni yo‘qotamiz. (7) dan
2
1
y
x
c
x
ni topib,
uni (8) ga qo‘yamiz:
2
2
1
0
1
1
y
x
x
y
x
x
.
Bundan izlangan differensial tenglamani topamiz
2
(1
)
1
x
y
xy
.
Izoh.
Bu tenglamani (7) dan topilgan
2
1
y
x
c
x
tenglikni
differensiallash natijasida ham hosil qilish mumkin.
16
Misol 8.
Shunday differensial tenglamani tuzingki, uni ushbu
sin(ln
)
0
y
x
cx
(9)
chiziqlar oilasi qanoatlantirsin.
Berilgan tenglikni
x
bo‘yicha differensiallab topamiz(
( )
y
y x
):
sin(ln
)
cos(ln
)
0
y
cx
cx
. (10)
Endi (9) va (10) tengliklardan
c
ni yo‘qotamiz. Buning uchun (9) dan
sin(ln
)
y
cx
x
(11)
tenglikni topib, uni (10) ga qo‘yamiz:
cos(ln
)
y
y
cx
x
. (12)
Topilgan (11) va (12) tengliklarni kvadratga ko‘tarib hadma-had qo‘shamiz:
2
2
1
y
y
y
x
x
.
Oxirgi tenlikda ixchamlashlarni bajarib, izlangan differensial
tenglamani hosil qilamiz:
2
2
(
2 )
2
0
x x
y y
y
x
.
Misol 9.
( , )
x y
tekisligidagi barcha aylanalar oilasi qanoatlantiruvchi
differensial tenglamani tuzing.
Bu aylanalar oilasining tenglamasi:
2
2
2
(
)
(
)
;
x
a
y b
r
(13)
bu yerda 3 ta parametr bor:
, ,
a b r
.
Bu tenglikni
( )
y
y x
ekanligini hisobga
olib
x
bo‘yicha uch marta ketma-ket differensiallaymiz
2
(
)
0,
1
(
)
0,
3
(
)
0.
x
a
y b y
y
y b y
y y
y b y
(14)
Endi (13) va (14) tengliklardan
, ,
a b r
parametrlarni yo‘qotish kerak. Buning
uchun (14) dagi uchinchi tenglikni
y
ga ko‘paytirish va ikkinchi tenglikni
hisobga olish kifoya:
2
2
(1
)
3
0
y
y
y y
.
Bu
izlangan differensial tenglama (uchinchi tartibli)
17
Masalalar
Berilgan funksiya berilgan differensial tenglamaning qaysi
I
oraliqda
yechimi bo‘lishini aniqlang (
1
–
4
):
1.
1 2
y
x
,
3
1 0
y
xy
;
2.
2
ln(
3
1)
y
x
x
,
2
2
ln(
3
1)
0
xy
y
x
x
;
3.
2
sin (2
1)
y
x
,
2
2
4
2
15cos (2
1) 14cos (2
1) 1
y
y
x
x
;
4.
3
3
1
x
y
e
,
2
3
1
3
1
0
3
y
x
y
x
.
Oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiya berilgan differensial
tenglamaning qaysi
I
oraliqda yechimi bo‘lishini aniqlang (
Do'stlaringiz bilan baham: |
