20
9.
sin
(
)
x
y
x
c e
.
10.
ln
xy
x
cx
x
y
y
.
11.
2
2
x
y
x
y
cy
.
12.
2
2
1
2
(
)
(
)
1
x
c
y
c
.
13.
2
2
(
)
c x
y
xy
.
14.
1
2
cos
sin
y
c
x
c
x
.
15.
1
2
cos(
)
y
c
x
c
.
16.
1
2
sin(
)
y
c
x
c
.
17.
1
2
x
x
y
c e
c e
.
18.
sin
0
y
x
cxy
.
19.
2
2
ln(1
) ln(1
)
x
y
cx
.
20.
2
arctg
arctg(1
)
c
x
y
x
.
21.
2
2
2
2
ln(
)
x y
x
y
cy
.
22.
arcsin
2
c
x
xy
y
.
23.
2
2
1
1
x
c y
x
.
24.
3
3
0
6
x
y
c
x
.
25.
(
) sin
0
y
x
c
x
.
26.
3
3
3
(
)
(
)
y
x
c y
x
.
27.
cos(ln
)
0
y
x
cx
.
28.
2 3
3 2
(1
)
(1
)
0
x
c
y
.
29.
2
2ln (1
)
0
x
y
c
e
.
30.
2
2
3
3
0
x
xy
y
cx
.
31.
3
3
2
2
0
x
cy
x y
y x
.
32.
2
2
1 0
x
cy
xy
.
33.
2
(cos
)
1 0
c
x
y
y
.
34.
cos
0
cy
cx
.
35.
3
6
2
1 0
xy
cy
y
x
.
36.
2
(
)
(
) 3
0
x
c
c y
x
.
37.
3
(
)
0
y
x c
.
38.
2
3
(
2)
0
y
c x
.
39.
2
5
(
)
0
y
x c
.
40.
3
4
(
)
0
y
x c
.
2. O‘ZGARUVCHILARI AJRALADIGAN
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Maqsad
– o‘zgaruvchilari ajraladigan
differensial tenglamalarni
yechishni o‘rganish.
Yordamchi ma’lumotlar:
1
0
.
O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama
deb
( )
( )
( ) ( )
0
M x N y dx
P x Q y dy
(1)
yoki
( ) ( )
y
f x g y
(2)
ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi; bunda berilgan
,
, , , ,
M N P Q f g
funksiyalar
argumentlari biror mos intervalda o‘zgarganda uzluksiz.
( )
N y
va
( )
P x
funksiyalar nolga aylanmaydi deb hisoblab, (1)
tenglamaning
har ikkala tomonini
( )
( )
N y
P x
ga bo‘lib, o‘zgaruvchilari
ajralgan tenglamaga kelamiz:
21
( )
( )
0
( )
( )
M x
Q y
dx
dy
P x
N y
.
Oxirgi tenglamani integrallab, berilgan (1) tenglamaning barcha yechimlarini
oshkormas ko‘rinishda topamiz:
( )
( )
.
(
const)
( )
( )
M x
Q y
dx
dy
c
c
P x
N y
(3)
Agar
( )
N y
yoki ( )
P x
nolga aylanadigan bo‘lsa, (1) dan (3) ga kelish
jarayonida yechim yo‘qolishi mumkin. Masalan, agar
0
(
)
0
N y
bo‘lsa, u
holda (1) tenglama
0
y
y
yechimga ega. Bu yechim (3)
yechimlar orasida
bo‘lmasligi mumkin. Shuning uchun bunaqa yechimlarni alohida (qo‘shimcha)
topish kerak.
(2) tenglamada ham o‘zgaruvchilar yuqoridagiga o‘xshash ajratiladi. (2)
ni
( ) ( )
dy
f x g y dx
ko‘rinishda yozib olib, uni
( )
( ( )
0)
( )
dy
f x dx
g y
g y
ko‘rinishga keltiramiz. Oxirgi tenglamadan
( )
( )
dy
f x dx c
g y
yechimlarini hosil qilamiz.
( )
g y
funksiya 0 ga aylanadigan har bir
0
y
y
qiymat ham yechimni aniqlaydi.
Misol 1.
Differensial tenglamani yeching
2
3
1 0
xy y
x
.
Tenglamada
dy
y
dx
deymiz va uni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:
2
3
(1
)
xy dy
x dx
.
Bu tenglamaning har ikkala tomonini
x
ga bo‘lib,
o‘zgaruvchilarni
ajratamiz va integrallashlarni bajarib, yechimni topamiz:
2
1
3
,
const
x
y dy
dx c c
x
,
3
3
1
1
,
ln
(
)
y
dx c y
x
x c
x
,
3
ln
y
x
x
c
.
Demak,
barcha yechimlar majmuasi
3
ln
y
x
x
c
(
1
C
oraliqlarda)
formula bilan ifodalanadi; bunda
c
ixtiyoriy o‘zgarmas.
22
Misol 2.
Differensial tenglamani yeching
2
cos
1
sin
0
y
y
y
x
e
e
x
.
Tenglamaning har ikkala tomonini
2
1
1
cos
y
y
dx
e
e
x
ga
ko‘paytirib
dy
y
dx
, o‘zgaruvchilarni ajratamiz va integrallashlarni
bajaramiz:
2
1
sin
0
cos
1
y
y
x
dy
dx
x
e
e
,
2
sin
cos
1
y
y
dy
x
dx
c
x
e
e
,
2
(1
)
(cos )
cos
1
y
y
d
e
d
x
c
x
e
,
1
2 1
cos
y
e
c
x
.
Yechimlarni oshkormas ko‘rinishda topdik (ularni
( , )
y
y x c
oshkor
ko‘rinishda topish qiyin emas).
Misol 3.
a)
Ushbu
(
1)
0
xy y
dx
dy
differensial tenglamani yeching.
b) Berilgan tenglamaning
0
x
da
1
y
qiymat qabul qiluvchi
( (0)
1)
y
yechimini toping, ya’ni
ushbu
(
1)
0
(0) 1
xy y
dx
dy
y
Koshi masalasini yeching.
a) Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama. O‘zgaruvchilarni
ajratish uchun uning har ikkala tomonini (
1)
y y
ga bo‘lamiz:
0.
(
1)
dy
xdx
y y
Bundan
1
(
1)
dy
xdx
c
y y
. (4)
Lekin
2
2
x
xdx
,
1
1
ln
ln
1
(
1)
1
1
dy
dy
dy
dy
y
y
y y
y
y
y
y
.
Shuning uchun (4) ga ko‘ra
2
1
ln
ln
1
2
x
y
y
c
;
2
1
ln
ln
(
ln ,
0 )
2
1
x
y
c
c
c c
y
;
23
2
ln
(
0)
2
1
x
c y
c
y
;
2
2
1
x
y
e
c
y
(
0)
c
;
2
2
(
0) ,
1
x
y
e
c
c
y
2
2
2
2
x
x
e
y
c e
(
0)
c
. (5)
Biz tenglamani
(
1)
y y
ga bo‘lganda
0
y
va
1
y
yechimlarni
yo‘qotishimiz mumkin edi. Lekin (5) formuladan
1
y
yechim
0
c
da hosil
bo‘ladi,
0
y
yechim esa undan hosil bo‘lmaydi.
Javob:
2
2
2
2
0,
x
x
e
y
y
c e
(
c
ixtiyoriy o‘zgarmas).
b) Topilgan (5) yechimda
0
x
va
1
y
deymiz. U holda
1
1
,
2
1
c
c
hosil bo‘ladi. Demak, qo‘yilgan Koshi masalasining izlangan yechimi
2
2
2
2
,
ln 4
ln 4
1,177
2
(
),
x
x
e
y
x
e
(*)
ko‘rinishda beriladi. Bu yechim grafigi (integral chiziq) 2.1-
rasmda
ko‘rsatilgan.
2.1- rasm. (*) funksiya (yechim) grafigi.
