O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan birinchi tartibli

_{O`zgaruvchilari} ajralgan va ajraladigan birinchi tartibli
.M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0 ko‘rinishdagi tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi. Bu tenglamada oldin o‘zgaruvchilar ajratiladi, so‘ngra integrallanadi.
II ko‘rinishdagi tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
= u almashtirish bilan integrallanadi. o‘lchovli bir jinsli funksiya.
tenglama bir jinsli differensial tenglama. Bu tenglamani y=ux almashtirish bajarib, integrallaymiz, y=ux dan ;
; ; ;
o‘zgaruvchilarni ajratamiz
du integrallaymiz ln x + ln C =-1/(3u³)-ln u ;
ln Cxu = ; ln Cx ; ln Cy=- ;
tenglamaning umumiy integrali.
2. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan birinchi tartibli
tenglamalar
5-ta`rif. ko`rinishdagi tenglamaga o`zgaruvchilari ajralgan differentsial tenglama deyiladi.
Bunday differentsial tenglamani bevosita, tenglikni integrallab uning umumiy yechimi topiladi, ya`ni

bo`ladi.
6-ta`rif.

ko`rinishdagi tenglamaga o`zgaruvchilari ajraladigan differentsial tenglama deyiladi.
Bunday differentsial tenglamani ga bo`lib, ga ko`paytirib
( 1.1)

o`zgaruvchilari ajralgan differentsial tenglamaga keltirish bilan yechimi topiladi.

O`zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar ushbu ko`rinishda ham bo`lishi mumkin.
, (1.2)
Bu ko`rinishdagi tenglamani ham (1) ko`rinishga keltiramiz, yani

Agar belgilash kiritsak, (1.2) tenglama (1.1) ko`rinishni oladi. Uni yuqorida ko`rilgan usulda yechimini topish mumkin.
Quyidagi differentsial tenglama berilgan bo`lsin.
(1.3)
Agar M(x,u) va N(x,u) funktsiyalar bir xil tartibdagi bir jinsli funtsiyalar bo`lsa, u holda (3) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi.

1. 
   Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.
   

Malumki, berilgan f(x,y) funktsiyan tartibli bir jinsli funktsiya deyiladi, agar ixtiyoriy t uchun

(2.1)
tenglik o`rinli bo`lsa .
Endi ushbu ma’lumotdan foydalanib, (1) tenglamani tahlil yetamiz
(4) tenglikda almashtirish bajaramiz.

yoki
(2.2)
(5) formuladan foydalanib ( 3 ) ni quyidagicha yozamiz .

Demak bir jinsli tenglama
. (2.3)
Bu tenglamadan ko`rinadiki, koordinata boshida birorta ham integral chiziq o`tmaydi.
Bir jinsli tenglamani yechish uchun
(2.4)
almashtirish qilamiz, bunda yangi noma’lum funktsiya (2.4) ni (2.3) tenglamaga qo`yamiz, ko`rinishda yozish mumkin.
Differentsialni (hosilani ) topamiz. soddalashtirsak,

yoki

ko`rinishga keladi.
Bu o`zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir, so`ngi tenglamani integrallab

funktsiyani olamiz.
So`ng almashtirishdan z ni topib
yoki
umumiy integralga ega bo`lamiz.
Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differentsial tenglamalardan biri
(2.5)
ko`rinishdagi tenglama bo`lib, unda s₁ va s₂ lardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsin. Unda 2 holni qaraymiz.
1-hol:
bo`lsin
Bu holda sistemani yechib, x=x₀,u=u₀ yechimni topamiz va
(2.6)
almashtirish bajaramiz. (2.6) almashtirishni (2.5) tenglamaga qo`ysak
, ko`rinishga keladi.
Bundan (6) ko`rinishdagi bir jinsli tenglamani olamiz, ya’ni
.
Bu tenglamani oldingi usulda yechish mumkin.
2-hol. Agar

bo`lsa, u holda
tenglikka ega bo`lamiz.
Bundan esa
bo`ladi. (2.6) tenglamaga qo`ysak
( 2.7 )
ko`rinishdagi tenglamaga ega bo`lamiz.
(10) tenglamadaz=a₂x+b₂y almashtirish bajaramiz, u holda o`zgaruvchilarni ajraladigan

tenglamaga hosil bo`ladi.
Birinchi tartibli bir jinsli differentsial tenglamalar. funktsiya uchun tenglik bajarilsa, funktsiyaga tartibli bir jinsli funktsiya deyiladi, bunda biror son. Masalan, funktsiya uchun bo`lib, funktsiya tartibli bir jinsli funktsiya bo`ladi. tartibli bir jinsli funktsiyadir( buni tekshirib ko`ring).
6-ta`rif. differetsial tenglamada funktsiya no`linchi tartibli bir jinsli funktsiya bo`lsa, bunday differentsial tenglamaga birinchi tartibli bir jinsli differentsial tenglama deyiladi.
Bir jinsli, tenglama almashtirish bilan o`zgaruvchilari ajraladigan

differentsial tenglamaga keltiriladi.