|
funksiya va argument
rollarini almashtirish
yordamida chiziqli tenglamalar hosil qilish mumkin.
Ba’zi tenglamalarni esa
noma’lum funksiyani almashtirish
yordamida chiziqli
tenglamaga olib kelinadi.
50
Ushbu
( )
( )
(
const)
m
y
p x y
q x y
m
(13)
Bernulli tenglamasi
deb ataluvchi tenglama
1
1
m
u
y
almashtirish yordamida
( )
u
u x
ga nisbatan chiziqli tenglamaga keltiriladi
(
0,
m
1
m
deb hisoblaymiz, chunki aks holda biz chiziqli tenglamaga ega
bo‘lardik).
Bernulli tenglamasini Eyler-Bernulli usuli bilan ham yechish mumkin.
Bunda yechimni
y
u v
ko‘rinishda izlab,
u
ni
( )
0
u
p x u
shartdan tanlab
(ya’ni
exp
( )
u
p x dx
deb),
v
uchun o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama
hosil qilinadi.
Ushbu
( )
( )
(
st)
con
y
y
p x y
q x e
(14)
tenglama
ham
y
u
e
almashtirish yordamida
( )
u
u x
ga nisbatan chiziqli
tenglamaga keltiriladi.
Rikkati tenglamasi
2
( )
( )
( )
y
a x y
b x y c x
ko‘rinishga ega. U – (umumiy holda) nochiziqli tenglama. Agar Rikkati
tenglamasining
1
( )
y
y x
yechimi ma’lum bo‘lsa,
1
1
( )
y
y x
u
almashtirish
yordamida uni
( )
u
u x
ga nisbatan chiziqli differensial tenglamaga keltirish
mumkin.
Misol 1.
Ushbu
2
(
1)
, (0)
2
x
y
y
x
y
Koshi masalasi yechilsin.
Dastlab berilgan
2
(
1)
x
y
y
x
(15)
chiziqli differensial tenglamani Lagranj usuli bilan yechamiz. So‘ngra
topilgan yechimlar orasidan berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi-
ganini ajratamiz.
Mos bir jinsli tenglama
(
1)
x
y
y
ko‘rinishga ega. Bu tenglamaning umumiy yechimi (3) ga ko‘ra quyidagicha:
(
1).
y
c
x
Endi (15) tenglamaning yechimini
51
( ) (
1)
y
c x
x
(16)
ko‘rinishda izlaymiz. (16) ni berilgan tenglama (15) ga qo‘yamiz va
quyidagilarni bajaramiz:
2
(
1)( ( ) (
1)
( ))
( ) (
1)
x
c x
x
c x
c x
x
x
;
2
2
(
1)
( )
x
c x
x
;
2
2
( )
(
1)
x
c x
x
;
2
2
0
( )
,
1
(
1)
x
s
c x
c
ds x
s
;
2
0
2
1
( )
1
1
(
1)
x
c x
c
ds
s
s
;
1
( )
2ln(
1)
,
1.
1
c x
c
x
x
x
x
Oxirgi ifodani (16) ga qo‘yib berilgan tenglamaning
1
x
oraliqda
umumiy yechimini hosil qilamiz:
1
2ln(
1)
(
1)
1
)
(
y
c
x
x
x
x
yoki
(
1)
(
1)
2(
1) ln(
1) 1,
1
y
c
x
x x
x
x
x
. (17)
Endi berilgan Koshi masalasini yechish uchun (17) umumiy yechimdan
(0)
2
y
shartni qanoatlantiradiganini ajratamiz. (17) da
0
x
va
(0)
2
y
y
deymiz. Natijada
2
1
c
, ya’ni
3
c
ekanligini topamiz. Buni (17) ga qo‘yib
va ixchamlashlarni bajarib, izlangan yechimni hosil qilamiz
2
4
2 2(
1) ln(
1) (
1)
y
x
x
x
x
x
.
Bu yechimning grafigi (integral chiziq) 4.1- rasmda ko‘rsatilgan (
1
lim
1
x
y
).
4.1- rasm.
2
4
2 2(
1) ln(
1)
y
x
x
x
x
funksiya grafigi.
52
Misol 2.
Ushbu
4
2
2
(
0).
xy
y
x
x
(18)
tenglamaning umumiy yechimini toping.
Tenglamani integrallovchi ko‘paytuvchi metodi bilan yechamiz.
Berilgan tenglama
0
x
da
3
2
2
2
(
( )
)
y
y
x
p x
x
x
(19)
tenglamaga teng kuchli. Bu tenglama uchun (12) formulaga ko‘ra
integrallovchi ko‘paytuvchi
1
1
2
( )
2ln
1
2
1
( )
.
x
x
x
p s ds
ds
s
s
x
e
e
e
x
Endi (19) tenglamani
2
1
( )
x
x
ga ko‘paytiramiz va quyidagilarni bajaramiz:
2
3
1
2
2 ,
y
y
x
x
x
2
1
2 ,
y
x
x
1
2
1
1
2
,
x
y
c
sds
x
2
2
1
,
y
c
x
x
2
4
,
0.
y
cx
x
x
Javob:
berilgan tenglamaning umumiy yechimi
0
x
oraliqda
2
4
y
cx
x
formula bilan beriladi.
Misol 3.
Ushbu
2
(
)
x
y dy
ydx
tenglamani yeching.
Bu tenglama
0
y
yechimga ega. Tenglama
0
y
(yoki
0
y
)
bo‘lganda
( )
x
x y
funksiyaga nisbatan chiziqli:
1
dx
x
y
dy
y
.
Oxirgi tenglamani Eyler-Bernulli usuli bilan yechamiz.
x
u v
(
( ),
( ))
u
u y v
v y
deymiz. U holda
dx
dv
du
u
v
dy
dy
dy
va
1
dv
du
u
v
u v
y
dy
dy
y
yoki
1
dv
du
u
v
u
y
dy
dy
y
53
Endi
( )
u
u y
funksiyani
shartdan tanlaymiz. Bu tenglamaning
u
y
yechimini olamiz. U holda
( )
v
v y
funksiya uchun
,
dv
u
y
dy
ya’ni
,
1,
dv
dv
y
y
v
y
c
dy
dy
.
hosil bo‘ladi.
Shunday qilib, berilgan tenglamaning
( )
x
x y
yechimlari
(
)
x
u v
(
)
x
y
y
c
formula bilan beriladi. Bundan tashqari ( )
0
y x
yechim ham bor.
Misol 4.
Ushbu
(
)
1; (0)
0
y
e
x y
y
Koshi masalasini yeching.
Berilgan tenglama
( )
y
y x
noma’lum funksiyaning teskarisi
( )
x
x y
ga nisbatan chiziqli (
1
/
dy
dx
y
dx
dy
):
y
dx
x
e
dy
.
Bu chiziqli differensial tenglamani integrallovchi ko‘paytuvchi usuli bilan
yechamiz:
,
1,
1,
(
)
y
y
y
y
dx
dx
d
x
e
e
xe
xe
dy
dy
dy
y
xe
y
c
,
(
)
y
x
y
c e
.
Oxirgi formula berilgan tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
Boshlang‘ich shartga ko‘ra o‘zgarmas
c
ni aniqlaymiz:
0
(0)
0
0
(0
)
0
y
c e
c
.
Demak, yechim
y
x
ye
tenglikdan topiladi. Izlangan
( )
y
y x
yechim
( )
y
x y
ye
funksiyaga teskari funksiyadan iborat.
y
noma’lumga nisbatan
y
x
ye
tenglamani yechaylik.
(1
)
y
y
y
y
d
ye
e
ye
y e
dy
1
0
du
u
dy
y
54
tenglikdan ravshanki,
1
y
bo‘lganda
y
x
ye
funksiya kamayuvchi,
1
y
bo‘lganda esa – o‘suvchi. Funksiya
1
y
da minimumga ega:
1
min
1
y
x
x
e
.
y
x
ye
funksiyaning grafigi 4.2- rasmda tasvirlangan.
4.2- rasm.
y
x
ye
funksiya grafigi.
Rasmdan ravshanki,
y
x
ye
tenglama ikkita uzluksiz funksiyani
aniqlaydi:
1
[
;
)
e
oraliqda uzluksizini
0
( )
y
W x
bilan,
1
[
;0)
e
oraliqda
uzluksizini esa
1
( )
y
W
x
bilan belgilaylik. Ular Lambert funksiyalari deb
ataladi.
Demak,
ta’rifga
ko‘ra
0
( )
1
0
( )
,
[
;
)
W
x
W x e
x x
e
,
va
1
( )
1
1
( )
,
[
;0)
W
x
W
x e
x x
e
.
Tushunarliki,
1
1
0
( )
(
;
)
W x
C
e
va
1
1
1
( )
(
;0)
W
x
C
e
ham bo‘ladi. Bizni
(0)
0
y
shartni qanoatlantiruvchi
yechim qiziqtiradi. Bu yechim
0
( )
y
W x
,
1
(
;
)
x
e
. Uning grafigi
4.3- rasmda keltirilgan.
4.3- rasm.
0
( )
y
W x
funksiya grafigi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
